例談方程在幾何計算中的應(yīng)用

趙振昆

幾何圖形的計算問題，一般以求角度和線段長度最為常見，方法也很多，如用方程、三角函數(shù)、相似三角形成比例的線段，結(jié)合幾何中的重要定理，其中用方程求解是常用的數(shù)學(xué)方法．其靈活地設(shè)未知量求值是同學(xué)們應(yīng)掌握的基本方法，同時應(yīng)用也較廣泛，它是數(shù)形結(jié)合的重要內(nèi)容之一．下面筆者就方程在幾何計算中的應(yīng)用，列舉幾例加以說明，僅供參考.

例1如圖１，若2∠3＝3∠1，求∠2、∠3、∠4的度數(shù)．

解：由題意可知： 2∠3＝3∠1， ①∠1+∠3＝180°．②

說明：這里將∠1和∠3看做兩個未知量，列出方程組，從而得解.同學(xué)們要抓住圖形的特點，找出已知量和未知量的關(guān)系，樹立一種用方程解決問題的思想.

例2一個長方形的周長為26 cm，若它的長減少1 cm，寬增加2 cm，就變成了一個正方形，求它的長和寬各是多少，并求出它的面積S是多少.

解：設(shè)長方形的長為ｘ cm，寬為ｙ cm，則可得方程組2（x+y）=26，x-1=y+2．

整理得x+y=13，x-y=3．解得x=8，y=5．

∴長方形的長為8 cm，寬為5 cm，面積S＝40 cm２．

例3如圖２，在等腰三角形中，一腰上的中線把三角形的周長分為6 cm和15 cm兩部分，求此三角形的底邊長是多少.

點撥：本題關(guān)鍵是對中線把三角形的周長分為兩部分的理解，應(yīng)仔細(xì)審題.題目中兩部分是指（AB+AD）一部分，另一部分是指（DC+BC）,因為AD=DC，可將AB與AD當(dāng)做兩個未知量列方程組，更重要的是本題要分兩種情況考慮．

解：（1）AB+AD=6，DC+BC=15．解得AB=AC=4，BC=11．

因為AB+AC=8＜11，所以此種情況不成立.

（2） AB+AD=15，DC+BC=6． 解得AB=AC=10，BC=4．

因為AB+AC＞4，所以底邊長為4 cm．

說明：分類討論是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，它有助于培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，對所得結(jié)果進行辨析，篩選出科學(xué)的結(jié)論，避免出現(xiàn)魚目混珠的現(xiàn)象.在做此類型習(xí)題時一定要認(rèn)真審題，仔細(xì)考慮.

例4如圖３，長方形的長10 cm，寬6 cm，將長方形折疊，使C與A重合，求折痕EF的長.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

分析：由折圖易證:AF=FC=AE,DE=D′E=BF=NC．EF的長可通過Rt△EFN求出，但關(guān)鍵是求FN的長，可先利用Rt△ABF并由勾股定理AB2+BF2=AF2,求出BF的長，從而求出EF的長.

解：設(shè)BF＝ｘ cm，則AF＝（10-ｘ）cm．

在Rt△ABF中，由勾股定理得62+ｘ=（10-ｘ2），解得ｘ=3.2（cm），即BF=3.2 cm．

∴FC=6.8 cm．

∴DE=NC=3.2 cm．

∴FN=FC-NC=3.6 cm．

在Rt△EFN中，由勾股定理得

說明:例4是折紙問題的計算問題,目前在以新課標(biāo)為指導(dǎo)思想的教材中是比較流行的題目,解題時要善于捕捉問題中的等量關(guān)系,通過方程解決未知的量.當(dāng)然本題還可有其他解法，不同的思路，請讀者繼續(xù)探究.

綜上所述，幾何圖形的計算，未知量有的是角度，有的是線段的長度，用方程幫助求解是一種基本方法，但不是唯一方法，要根據(jù)圖形的特點，所給條件，因題而異．請讀者靈活地運用基礎(chǔ)知識，提高自己的解題能力.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文