消點(diǎn)法的運(yùn)用（二）

張景中　彭翕成

在上一期我們向大家介紹了消點(diǎn)法，并對(duì)消點(diǎn)法的應(yīng)用舉例進(jìn)行說明.消點(diǎn)法是一個(gè)普遍有效的解題方法.消點(diǎn)法解題的要點(diǎn)如下：

（1）把題目中涉及的點(diǎn)按作圖順序排隊(duì).作圖過程中先出現(xiàn)的點(diǎn)排在前面，后出現(xiàn)的點(diǎn)排在后面.（2）把要解決的問題轉(zhuǎn)化成對(duì)某個(gè)式子進(jìn)行處理、化簡的問題.（3）從要化簡的式子中，逐步消去由約束條件產(chǎn)生的點(diǎn)，后產(chǎn)生的先消去.（4）消點(diǎn)時(shí)，一方面應(yīng)用該點(diǎn)產(chǎn)生的幾何條件，一方面對(duì)照?qǐng)D形.注意發(fā)現(xiàn)圖形給我們提示的捷徑.

掌握了消點(diǎn)法之后，做幾何題時(shí)，你便會(huì)胸有成竹了.你可以嘗試著解下面這道題.

例如圖1，在△ABC中，BD=2DC，AE=ED，BF=3FE.已知S△ABC=12，求S△AFE .

解：首先利用==消去點(diǎn)F；再利用==消去點(diǎn)E；最后利用==消去點(diǎn)D.這樣，一個(gè)簡潔的證明便產(chǎn)生了：

因=··=··=，所以S△AFE=1.

消點(diǎn)法雖然不能夠解決所有幾何問題，但我們可以將它當(dāng)作解題的指導(dǎo)方針.而且，我們還可以將消點(diǎn)法教給計(jì)算機(jī)，讓計(jì)算機(jī)來幫助我們解題.這就是自動(dòng)推理.

計(jì)算機(jī)是人的學(xué)生，它的本領(lǐng)是人教的.它是笨學(xué)生，不教不會(huì)；但它又是好學(xué)生，會(huì)牢牢記住你教給它的方法，一絲不茍地按寫好的程序去做，如果你循循善誘，它又能青出于藍(lán)而勝于藍(lán).計(jì)算機(jī)解題靠人教.人會(huì)解一道題，把方法教給計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)就會(huì)解這道題.這道題中的數(shù)字換成字母，成了更一般化的一個(gè)題型.把處理這個(gè)題型的竅門教給計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)就會(huì)解這個(gè)題型的全部題.人掌握了一類題目的規(guī)律，把這規(guī)律總結(jié)提煉成有章可循的算法，實(shí)現(xiàn)為程序，計(jì)算機(jī)本領(lǐng)就會(huì)更大，會(huì)解這一類題了.人推演、計(jì)算、論證容易走神或出錯(cuò)，時(shí)間長了，所掌握的方法甚至有可能遺忘.但計(jì)算機(jī)一旦學(xué)會(huì)一套方法，就不會(huì)忘記，也很少出錯(cuò)，并且做題做得飛快！

幾何題有計(jì)算題、證明題，還有作圖題.它們雖然各有特點(diǎn)，但又是相通的.

計(jì)算和作圖都要有個(gè)道理.講清楚道理就是證明.古希臘人研究幾何最講究證明.中國古代的幾何學(xué)則講究計(jì)算，把畫圖和推理都?xì)w結(jié)為計(jì)算，叫做寓理于算.計(jì)算、作圖和證明，問題的形式不同，卻也有相通之處.三類問題的前提，都可以用幾何圖形來表示.證明可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算.要證明兩條線段相等，只要算出兩者的比為1或差為0就行了.要說明計(jì)算是準(zhǔn)確的，作圖過程是合理的，歸根結(jié)底要證明.三類問題在解決過程中都要推演論證，推演論證所用的規(guī)則又是一致的，這就是三者的相通之處.

幾千年來，人們解幾何問題的招數(shù)層出不窮，爭(zhēng)奇斗艷.概括起來，不外這四類：檢驗(yàn)、搜索、約化和轉(zhuǎn)換.近50多年來，數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家費(fèi)盡心思，循循善誘，把個(gè)中奧秘向計(jì)算機(jī)傳授，使得計(jì)算機(jī)解幾何題的能力有了長足的提高.除了靈機(jī)一動(dòng)添加輔助線，或千變?nèi)f化的問題轉(zhuǎn)換之外，前三種招數(shù)計(jì)算機(jī)都學(xué)得十分出色了.用計(jì)算機(jī)幫助研究幾何，甚至代替老師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，已經(jīng)從古老的夢(mèng)想變?yōu)榱爽F(xiàn)實(shí).

許多幾何問題包含了大量的信息.人在進(jìn)行解題思考時(shí)能借助于直覺和經(jīng)驗(yàn)，抓住最關(guān)鍵的信息進(jìn)行解答；計(jì)算機(jī)卻靠機(jī)械地搜索，大魚小魚一網(wǎng)打盡，工作量就非同小可了.譬如一個(gè)三角形和它的三條高以及垂心，這是個(gè)很簡單的幾何圖形，用計(jì)算機(jī)搜索幾何信息，居然發(fā)現(xiàn)圖中有105組成比例的線段！

計(jì)算機(jī)在搜索中得到的有用信息很多，但沒用的信息更多.大量的操作才能從許多信息中尋找出有用的結(jié)論，難度就好比沙里淘金.這種一網(wǎng)打盡、涸澤而漁的搜索式推理，并不是什么新的發(fā)明，而是一種古老的機(jī)械化推理設(shè)想.在沒有計(jì)算機(jī)的時(shí)代，也只能想想而已，因?yàn)楣ぷ髁刻罅?一旦有了計(jì)算機(jī)，科學(xué)家就希望將之付諸實(shí)踐.現(xiàn)在，這個(gè)夢(mèng)想已經(jīng)成為現(xiàn)實(shí).這個(gè)成功來之不易，是許多科學(xué)家多年努力的成果.其中，中國科學(xué)家的工作起了決定性的作用.而他們用到的“武器”，恰恰就是我們?cè)谇懊嫖恼轮薪榻B的共邊定理、共角定理、消點(diǎn)法這些東西，你沒有想到吧！