關(guān)注反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題

張　雷

反比例函數(shù)是中考命題的主要考點(diǎn)，近幾年中考試卷中出現(xiàn)了不少將反比例函數(shù)與其他函數(shù)、幾何圖形、方程（組）等綜合編擬的解答題.其中，將反比例函數(shù)與其他函數(shù)綜合命題是中考命題的新動(dòng)向.

例1已知正比例函數(shù)y = kx與反比例函數(shù)y = 的圖象都過(guò)點(diǎn)A（m，1），求此正比例函數(shù)的解析式及另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．

分析：由A點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足y = 可求得m值，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y = kx可求得正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組可求得另一交點(diǎn)坐標(biāo).

解：因y = 的圖象過(guò)A（m，1），即1 = ，故m = 3，即A（3，1）．將A（3，1）代入y = kx，得k = ，所以正比例函數(shù)解析式為y = x．

聯(lián)立方程組，得y =

，

y =

x，解得x1 = 3，

y1 = 1或x2 =- 3，

y2 = - 1.

故另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（- 3，- 1）．

點(diǎn)評(píng)：解此類(lèi)題時(shí)，一般是先構(gòu)造方程或方程組，再來(lái)解決問(wèn)題.

例2如圖1，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別是直線AB和雙曲線．直線AB與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為C，CD垂直x軸于點(diǎn)D，OD = 2OB = 4OA = 4．求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．

分析： 由已知三條線段之間的關(guān)系，可求得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，由此利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.

解：由已知OD = 2OB = 4OA = 4，得A（0，- 1）、B（- 2，0）、D（- 4，0）．

設(shè)一次函數(shù)解析式為y = kx + b.點(diǎn)A、B在一次函數(shù)圖象上，所以b = - 1，

- 2k + b = 0，即k = -

，

b = - 1.則一次函數(shù)解析式是y = -x - 1.

點(diǎn)C在一次函數(shù)圖象上，當(dāng)x = - 4時(shí)，y = 1，即C（- 4，1）．

設(shè)反比例函數(shù)解析式為y = ．點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，則1 =，得m = - 4．故反比例函數(shù)解析式是y = - ．

點(diǎn)評(píng)：反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題常涉及特殊線段、三角形面積等條件，這些幾何圖形的邊長(zhǎng)常常與某些點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān).這類(lèi)題體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的特色.

例3如圖2，反比例函數(shù)y = 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（- ，b），過(guò)點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為.

（1） 求k和b的值.

（2） 若一次函數(shù)y = ax + 1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并且與x軸相交于點(diǎn)M，求AB ∶ OM的值.

分析：以面積為突破口，可求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)b和系數(shù)k，結(jié)合A點(diǎn)的雙重特性（A點(diǎn)既在直線上，又在反比例函數(shù)圖象上）求解相應(yīng)問(wèn)題.

解：（1）∵AB⊥BO，A點(diǎn)坐標(biāo)為（- ，b），

∴ S△AOB = AB·BO = ，即b · ｜ - ｜ = .

∴ b = 2.

又點(diǎn)A在雙曲線y = 上，

∴k = 2 × （- ） = - 2.

（2）∵點(diǎn)A在直線y = ax + 1上，

∴ 2 = - a + 1.

∴ a = - .

∴ y = - x + 1.

當(dāng)y = 0時(shí)，x = .所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）.

∴ AB ∶ OM = 2 ∶ .

點(diǎn)評(píng)：縱觀近年來(lái)的中考試題，關(guān)于反比例函數(shù)的綜合題大多是與一次函數(shù)相結(jié)合，做題時(shí)常利用交點(diǎn)的雙重特性來(lái)構(gòu)造方程（組）解決問(wèn)題.

例4Rt△ABC中，∠A = 90°，∠B = 60°，AC = ，AB = 1.將它放在直角坐標(biāo)系中，使斜邊BC在x軸上，直角頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y = 的圖象上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

分析：通過(guò)畫(huà)圖可發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A的位置有2種情況（在第一象限的那支圖象上或在第三象限的那支圖象上），點(diǎn)B、C的位置也有2種情況（可能點(diǎn)B靠近原點(diǎn)，也可能點(diǎn)C靠近原點(diǎn)），解題時(shí)要注意利用反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性．

解：本題共有4種情況．

（1）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC1于D，

∵ AB = 1，∠B = 60°，

∴ BD = ，AD = .

∴ 點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為．將其代入y = ，得x = 2，即OD = 2．

在Rt△ABC1中，DC1 = 2 -= .所以O(shè)C1 = ，即點(diǎn)C1的坐標(biāo)為

，0．

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，得點(diǎn)C3的坐標(biāo)為

-，0.

（2）如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC2于E，則仿（1）可求得AE = ，OE = 2，C2E = .

所以O(shè)C2 = ，即點(diǎn)C2的坐標(biāo)為

，0．

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，得點(diǎn)C4的坐標(biāo)為-

，0．

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為：

，0、

，0、

-，0、-

，0．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，進(jìn)行分類(lèi)，是解決本題的突破口．此題涉及與反比例函數(shù)相關(guān)的許多問(wèn)題，能較好地展示同學(xué)們的思維過(guò)程和思維方式，考查同學(xué)們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，具有較好的選拔功能．

[即學(xué)即練]

1. 如圖5，反比例函數(shù)y = - 與一次函數(shù)y = - x + 2的圖象交于A、B兩點(diǎn)．

（1） 求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2） 求△AOB的面積．Y