填空題的非常規(guī)化的求解策略

代衛(wèi)東　張守武

填空題是高考重點考查的題型，具有小巧靈活，跨度大，覆蓋面廣，概念性強，運算量不大，不需要寫出求解過程而只需直接求出結(jié)論等特點.怎樣才能做到“正確、合理、迅速”地解答填空題？下面以一些典型的高考題為例，介紹解填空題的幾種常用的策略，從中體會到解題的要領(lǐng)與技巧.

1 探源化策略

每一個數(shù)學(xué)問題的設(shè)置都要考查一些專門的知識點.面對問題，當(dāng)通性通法比較困惑時，要敢于立足問題源頭，追根求源，剖析實質(zhì)，弄清來龍去脈，獲得解決問題的坦途.

1.(2004年北京）如圖，在正方體中，P是側(cè)面內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是________

解析 在平面B1C1CB內(nèi)，點P到直線BC與直線C1D1的距離相等，這樣的軌跡無法直接探求.若想到圓錐曲線的統(tǒng)一定義：“在平面內(nèi)，到定點和到定直線距離之比是一個常數(shù)e的軌跡是圓錐曲線.”

自然想到將到兩直線的距離轉(zhuǎn)化為到定點和定直線的距離即可.而C1D1⊥平面B1C1CB，所以點P到C1D1的距離也就是點P到C1的距離，從而將P到直線BC與直線C1D1的距離相等轉(zhuǎn)化為P到點C1的距離與到直線BC的距離相等，所以動點P的軌跡所在的曲線是拋物線.

2.(x+1x+2)5的展開式的常數(shù)項是.

解析 本題作為變式二項式問題，運用二項展開式的通項公式能夠得出答案，但比較繁瑣且易出錯，若思考二項式定理的本質(zhì)，其系數(shù)的構(gòu)成是由組合原理決定的，這樣問題的解決便顯得自然且得心應(yīng)手.

C55·25+C25C23x²(1x）2·2+C15C14x·1x·23=252

所以所求展開式的常數(shù)項是252.

注：根據(jù)基本知識的特點，尋根求源.

2 替代化策略

運用數(shù)學(xué)化歸思想，依據(jù)條件特征、特殊數(shù)字、特定結(jié)論等，通過等效替代，化陌生為熟悉、化繁雜為簡捷、化難為易、化非常為平常，使問題的解決自然、有理.

3.sin163°sin223°+sin253°sin313°=_____

解 sin163°sin223°+sin253°sin313°

=-sin17°sin43°+sin73°sin133°

=-sin17°cos47°+cos17°sin47°

=sin30°=12.

注；抓住公式特征，進(jìn)行式子和角的變形.

4、已知x、y∈R+，x+2y=1，則1x+1y的最小值是_______.

解 1x+1y=1·(1x+1y）=(x+2y)·(1x+1y)=(3+xy+2yx）≥3+22

當(dāng)且僅當(dāng)xy=2yx即x=22+2,y=12+2時，取“=”，故所求1x+1y的最小值是3+22.

注：抓住數(shù)字“1”進(jìn)行巧妙替換.

3 嵌入化策略

運用數(shù)學(xué)模型的方法，將問題嵌入到一個模型當(dāng)中，以模型為背景，借助模型的固有屬性，化抽象為具體、化一般為特殊、化數(shù)為形，使問題快速得到解決，這里的模型泛指幾何圖形、幾何體、代數(shù)數(shù)式等.

5.三棱錐P-ABC中，棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，若O為△ABC內(nèi)的一點，且∠APO=45°，∠BPO=60°，則cos∠CPO=________.

解析 易證得長方體的對角線與每條棱夾角關(guān)系為：cos2α+cos2β+cos2γ=1，由于棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，所以以PA、PB、PC為棱，以PO所在直線為對角線作一個長方體，將問題嵌入到長方體中，運用上述結(jié)論易求得cos∠CPO=12

注:緊扣題目條件,構(gòu)造熟悉的圖形.

4 結(jié)論化策略

除常見的公式、定理、性質(zhì)外，解題中已經(jīng)證明了的一些問題能夠作為結(jié)論加以應(yīng)用.解決新的問題時，聯(lián)想類比，觸類旁通，運用和發(fā)揮一些小結(jié)論的作用，使問題的解決柳暗花明.

6.已知O點在△ABC的內(nèi)部，且OA+2OB+3OC=0，則△AOB與△AOC的面積之比為__________.

解析 如圖：延長OB至E，使OE=2OB，延長OC至F，使OF=3OC，則OA+OE+OF=0由三角形及向量性質(zhì)知O是△AEF的重心，

所以S△AOC=13S△AOF=19S△AEF

S△AOB=12S△AOE=16S△AEF

故所求面積之比為23.

注:記住相關(guān)結(jié)論,往往收到事半功倍的效果.

5 破域化策略

數(shù)學(xué)問題奇妙無比，知識體系既相互獨立又相互聯(lián)系.問題解決時要靈活機(jī)動，不要思維呆滯，要敢于打破知識體系，走出常規(guī)，實現(xiàn)思維跨越與創(chuàng)新.

7.已知x1是方程lgx=3-x的根，x2是方程10瑇=3-x的根，則x1+x2=________.

解析 題目本身是要求方程的根，而方程又解不了.所以轉(zhuǎn)化為兩圖像的交點的問題.而y=lgx與y=10瑇的圖像關(guān)于直線y=x對稱，且y=x與y=3-x互相垂直可知：x1+x2=3.

注：將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題，從而將問題簡化.

6 特殊化策略

特殊化策略就是取滿足條件的特例(包括取特殊值、特殊點、以特殊圖形代替一般圖形、以特殊數(shù)列代替一般數(shù)列等）從而得出結(jié)論的方法.

8.函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖像關(guān)于直線x=-π8對稱，則a=_______.

解 由圖像關(guān)于直線x=-π8對稱，所以f(0)=f(-π4)，所以a=-1.

注：抓住圖像的對稱特征，巧妙進(jìn)行賦值

9.過拋物線y=ax²(a>0）的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段FP與FQ的長分別是ｐ、ｑ，則1p+1q=_________.

解析 由題意知，對任意的過拋物線焦點F的直線，1p+1q的值都是a的表示式，因而取拋物線的通徑進(jìn)行求解，則ｐ＝ｑ＝12a，所以1p+1q=4a.

注：針對圖形的特點，取其特殊位置進(jìn)行計算,往往收到意想不到的效果.

總之，在高考數(shù)學(xué)試題中，填空題注重多個知識點的小型綜合，滲透各種數(shù)學(xué)思想和方法，體現(xiàn)以考查“三基”為重點的導(dǎo)向.因而要做好填空題，一定要根據(jù)不同的題目特點，一定要選準(zhǔn)思維策略，要不擇手段的巧做，同時確保迅速準(zhǔn)確無誤.

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