數(shù)學(xué)家與一元一次方程

張海生

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青教授去法國(guó)進(jìn)行學(xué)術(shù)訪問(wèn)時(shí)，一位陪同他的數(shù)學(xué)家在電車?yán)锝o蘇教授出了幾個(gè)題目.

法國(guó)數(shù)學(xué)家說(shuō)：“蘇教授您好！可以請(qǐng)教您一個(gè)問(wèn)題嗎？”蘇步青教授說(shuō)：“當(dāng)然可以，您請(qǐng)說(shuō)！”“是一個(gè)關(guān)于行程的問(wèn)題.具體是這樣的：A、B兩地相距50 km.甲在A地，乙在B地，兩人同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，甲每小時(shí)走3 km，乙每小時(shí)走2 km，那么他倆幾小時(shí)可以碰到呢？”

當(dāng)然，這道題目對(duì)蘇教授來(lái)說(shuō)是很容易的，他很快便回答出來(lái)了.

“生活中關(guān)于行程問(wèn)題有兩大類，相遇和追及.您所問(wèn)的正是一個(gè)很典型的相遇問(wèn)題.用列一元一次方程的方法就能解決.您看，我們可以設(shè)甲、乙兩人x h相遇，根據(jù)題意，得3x+2x=50，即x=10，因此，他們10 h能相遇.”

“聽您一說(shuō)，真是挺簡(jiǎn)單的.”法國(guó)數(shù)學(xué)家沒想到這個(gè)中國(guó)人能這么快就回答了自己的問(wèn)題.接著又提了一個(gè)問(wèn)題：一只小狗每小時(shí)跑5 km，它同甲一起出發(fā)，碰到乙時(shí)它就返身往甲這邊跑，碰到甲時(shí)它就返身往乙這邊跑.小狗在甲、乙相遇時(shí)一共跑了多少千米？

你想，在國(guó)外，又是電車上，要用心算解決這個(gè)問(wèn)題可有點(diǎn)難了，但是蘇教授思考了一會(huì)兒，還是在下車前解決了這個(gè)問(wèn)題.

蘇教授不慌不忙地說(shuō)：“顯然，小狗往返奔跑，直到甲、乙相遇時(shí)才停下來(lái)，所以小狗跑的時(shí)間就是甲、乙相遇的時(shí)間，問(wèn)題由此迎刃而解.可做如下解答：由上題知，他們10 h后相遇，所以狗也跑了10 h，共跑了5×10=50（km）.因此，小狗在甲、乙相遇時(shí)一共跑了50 km.”

“蘇教授您真了不起，中國(guó)人真聰明.”法國(guó)數(shù)學(xué)家驚奇而佩服地說(shuō).

蘇教授思考問(wèn)題的方法，對(duì)同學(xué)們是否有所啟迪？

聰明的同學(xué)們，上述條件不變，如果甲、乙、小狗都從A地出發(fā)去B地，同向而行，其速度皆不變，乙和小狗先出發(fā)3 h，甲再出發(fā)追趕乙，當(dāng)甲追上乙時(shí)，小狗跑了多少千米？

變換情境后，變成了什么問(wèn)題？問(wèn)題的等量關(guān)系又是什么？小狗跑的路程=小狗跑的速度×小狗跑的時(shí)間，故問(wèn)題的關(guān)系還是要求出小狗跑的時(shí)間，而這個(gè)時(shí)間就是甲追上乙的時(shí)間，可由以下追及問(wèn)題中的等量關(guān)系求得.甲行走的速度×甲追上乙的時(shí)間=乙行走的速度×甲追上乙的時(shí)間+乙行走的速度×乙提前行走的時(shí)間.同學(xué)們，嘗試解一下……

設(shè)甲追上乙用了x h，根據(jù)題意得3x=2x＋2×3，解得x=6，5×（6＋3）=45（km）.因此當(dāng)甲追上乙時(shí)，小狗跑了45 km.

如果上述條件不變，甲、乙、小狗都從A地出發(fā)去B地，同向而行，其速度皆不變，而乙先走5 h，甲才和小狗一起出發(fā)，當(dāng)小狗追上乙時(shí)，乙走了多少千米？到達(dá)目的地之前，甲還能追上乙嗎？為什么？

顯然，小狗和乙又形成了追及問(wèn)題.設(shè)小狗追上乙的時(shí)間為x h，則有5x=2x＋5×2,解得x=10/3，5×10/3=50/3（km）；假設(shè)甲能追上乙，且是y h后追上.則3y=2×5＋2y，解得y=10；顯然，到達(dá)目的地之前，甲能追上乙.因此，當(dāng)小狗追上乙時(shí)，乙走了 50/3km；甲能追上乙.