巧構(gòu)相似三角形　妙證等積式

劉艷麗

在探求結(jié)論是等積式（或比例式）的幾何題時，若能根據(jù)題設(shè)和圖形特征，恰當(dāng)添加輔助線，巧構(gòu)相似三角形，往往會使得某些看似困難的幾何題迅速找到解題途徑，現(xiàn)略舉幾例解析如下．

例1在△ABC中，∠B=2∠C，試說明AC2=AB2＋AB·BC．

分析：可將結(jié)論變形為AC2=AB（AB+BC），故聯(lián)想到構(gòu)造一條長等于AB+BC的線段．如圖1，延長AB至D，使BD=BC，連接CD，構(gòu)成共邊共角相似三角形，然后說明△ABC∽△ACD，從而使問題得以解決.

解：如圖1，延長AB至D，使BD=BC，連接CD，則 ∠BDC=∠BCD．又∠ABC=∠BDC+∠BCD，所以 ∠ABC=2∠BDC．又∠ABC=2∠ACB，所以∠ACB=∠BDC．又∠CAB=∠DAC，所以△ABC∽△ACD，得到AB∶AC=AC∶AD，故AC²=AB·AD＝AB（AB＋BD）＝AB²＋AB·BD＝AB²＋AB·BC．

例2銳角等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于點D，試說明BC²=2AC·CD．

分析：結(jié)論可變形為BC²=AC·（2CD），故聯(lián)想到構(gòu)造一條長等于2CD的線段，因此可延長CD至E，使DE=CD，連接BE，構(gòu)成共邊共角相似三角形，然后說明△ABC∽△BEC，從而使問題得解.

解：延長CD至E，使DE=CD，連接BE，如圖2.由DE=CD，BD⊥AC，得△BCE是等腰三角形，所以∠C=∠E.又∠C=∠CBA，所以∠CBA=∠E.又∠ACB=∠BCE（公共角）,所以△ABC∽△BEC，則BC∶CE=AC∶BC，故BC2=AC·CE＝AC·（2CD）＝2AC·CD．

例3如圖3，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D．FG垂直平分AD，分別交AB、AD及BC的延長線于點F、E、G，試說明DG2＝CG·BG．

分析：由于DG、CG、BG三條線段在同一條直線上，它們之間的比例關(guān)系難以確定．可考慮將線段轉(zhuǎn)移，等量代換．由于題設(shè)中有FG是AD的垂直平分線，所以AG=DG，從而連接AG，如圖4，可構(gòu)成共邊共角相似三角形．通過△ABG∽△CAG，可使問題獲解.

解：如圖4，連接AG．因為FG垂直平分AD，所以DG=AG，且∠ADG=∠DAG．又因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC．又因為∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠ACG=∠DAC+∠ADG，所以∠BAG=∠ACG．又∠BGA=∠AGC（公共角），所以△ABG∽△CAG，從而AG:CG=BG:AG，故AG2＝CG·BG，而DG=AG，所以DG2＝CG·BG．

例4在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC是對角線，試說明AC²＝AD²＋AB·CD．

分析：如圖5，要證AC²＝AD²＋AB·CD，可在AC上適當(dāng)選擇一點P，則AC=AP+PC，若能得到AC·AP＝AB·CD，及AC·PC＝AD²，兩式相加，即可獲解．而要得到這兩個等式，又要有△ABP∽△CAD及△ABC∽△BPC，因而需要構(gòu)造相似三角形．以點B為頂點，BA為一邊作∠ABP=∠CAD，交AC于點P，可使問題獲解.

解：如圖5，以點B為頂點，BA為一邊作∠ABP=∠CAD，交AC于點P．由AB∥CD，得∠BAP=∠ACD，所以△ABP∽△CAD，則AB∶AC=AP∶CD，即AC·AP＝AB·CD ．①

由等腰梯形ABCD得∠DAB=∠CBA，而∠ABP=∠CAD，所以∠BAC=∠PBC．又∠ACB=∠BCP，所以△ABC∽△BPC．所以AC∶BC=BC∶PC，即AC·PC＝BC²．②

①+②，得 AC·AP＋AC·PC＝AB·CD＋BC²．而AC·AP＋AC·PC＝AC（AP＋PC）＝AC²，BC=AD，所以AC²＝AD²＋AB·CD．

例5如圖6，△ABC和△ABD在公共邊AB的同側(cè)，AC和BD相交于點E，且∠C+∠D=180°，試說明 AB²＝AE·AC＋BE·BD．

分析：要證AB2＝AE·AC＋BE·BD，可在AB邊上適當(dāng)選擇一點P，則AB=AP+BP.若能得到AE·AC＝AB·AP及BE·BD＝AB·BP，兩式相加，即可獲解.而要得到這兩個等式，又需有△AEP∽△ABC及△EBP∽△ABD，因而聯(lián)想到構(gòu)造相似三角形.

解：以點E為頂點，AE為一邊作∠AEP=∠ABC，交AB于點P，如圖7.又∠EAP=∠BAC，得△AEP∽△ABC，從而AE∶AB=AP∶AC，即

AE·AC＝AB·AP ．①

因為∠APE+∠BPE=180°，∠C+∠D=180°，而∠APE=∠C，所以∠BPE=∠D．又∠EBP=∠ABD，所以△EBP∽△ABD，從而BE∶AB=BP∶BD，即BE·BD＝AB·BP ．②

①+②，得AE·AC＋BE·BD＝AB·AP＋AB·BP＝AB（AP＋BP）＝AB·AB＝AB²．

從以上幾例可以看出，巧妙構(gòu)造相似三角形，借助相似三角形的有關(guān)性質(zhì)，可迅速找到解題途徑.其解題思想就是：結(jié)論需要什么，就設(shè)法構(gòu)造出什么．比如，構(gòu)造出某角2倍的角，某邊2倍的邊，某種比例關(guān)系式等．