四種相等關(guān)系的妙用

劉海慶

對(duì)于圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系，我們有以下定理和推論.

定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等.

推論：在同圓和等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

上述定理和推論共同的特點(diǎn)是：命題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)明，題設(shè)含一個(gè)判斷，容易找出，結(jié)論有三個(gè)判斷，選擇應(yīng)用，靈活方便．應(yīng)用上述定理和推論，可簡(jiǎn)捷地證明和解決有關(guān)圓中的角、弧、弦及弦心距的相等關(guān)系問(wèn)題.

例1 如圖1，已知O是正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F.

（1）求證：CD與⊙O相切.

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求⊙O的半徑.

（3）從五邊形AEMNF的邊的相等關(guān)系考慮，你可以得出什么結(jié)論？請(qǐng)給出證明.

解析：（1）（2）解略．

（3）從五邊形AEMNF的五條邊的相等關(guān)系考慮有：①AE=AF=MN；②EM=FN.

①連接OE、OF，

則有∠OFA=∠OAF=∠OAE=∠OEA=45°．

∴∠AOE=∠AOF=∠MON=90°．

故有AE=AF=MN（同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等）．

②∵∠EOC=∠FOC=90°, ∠COM=∠CON=45°，

∴∠EOM=∠NOF=45°．

即有EM=FN（同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等）．

評(píng)析：直接應(yīng)用定理“同圓中相等的圓心角所對(duì)的弦相等”一次推理到位，干脆利落.

例2 已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)O2在⊙O1上.

（1）如圖2，AD是⊙O2直徑，連接DB，并延長(zhǎng)交⊙O1于C.求證：CO2⊥AD．

（2）如圖3，如果AD是⊙O2的一條弦，連接DB并延長(zhǎng)交⊙O1于C，那么CO2所在的直線是否與AD垂直？并證明你的結(jié)論.

解析：（1）證明略.

（2）如果AD是⊙O1的一條弦，那么仍有CO2⊥AD．

如圖4，連接AC交⊙O2于E，過(guò)O2作O2P⊥AC，O2Q⊥DC,垂足分別為P、Q.

∵AO2=BO2，

∴∠1=∠2，且O2P=O2Q．

∴AE=DB（同圓中，相等的弦心距所對(duì)應(yīng)的劣弧相等）．

于是有 = ，∠A=∠D，AC=DC，即有CO2⊥AD．

評(píng)析：將⊙O1中圓周角的相等關(guān)系∠1=∠2，轉(zhuǎn)化為⊙O2中的弦心距的相等關(guān)系O2P=O2Q，問(wèn)題迎刃而解.

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