§３．５　二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

張玉明

第1課時(shí)二次函數(shù)的概念和性質(zhì)

主要知識點(diǎn)

1. 二次函數(shù)的概念

一般地，稱y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)）表示的函數(shù)為二次函數(shù).

2. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1） 二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為y=a（x-h）2+k（a≠0），它的圖象是對稱軸平行于y軸的拋物線.

（2）圖象特征：① 當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下.② 對稱軸為直線x=h.③ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）.

（3） 增減性：當(dāng)a＞0時(shí)，如果x≤h，那么y隨x的增大而減小；如果x≥h，那么y隨x的增大而增大.當(dāng)a＜0時(shí)，如果x≤h，那么y隨x的增大而增大；如果x≥h，那么y隨x的增大而減小.

（4） 最值：若a＞0，當(dāng)x=h時(shí)，y最小值=k；若a＜0，當(dāng)x=h時(shí)，y最大值=k.

練習(xí)題

1. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，并且經(jīng)過點(diǎn) （-1，2），（1，0）.下列結(jié)論正確的是（）.

A.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大

B.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小

C.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x0，使得當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大

D.存在一個(gè)正數(shù)x0，使得當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大

2. 當(dāng)-2

3. 二次函數(shù)y=x2-2x-3的最小值是?搖 ?搖?搖.

4. 求二次函數(shù)y=x2-2x-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)及它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

第2課時(shí)二次函數(shù)與一元二次方程

主要知識點(diǎn)

一、二次函數(shù)的解析式

1. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)）.

2. 頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

如果已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過一般的三點(diǎn)，可設(shè)解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c；如果所給條件中有頂點(diǎn)（或?qū)ΨQ軸、最值等），應(yīng)設(shè)解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0）.

二、二次函數(shù)圖象的平移

任何拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）都可轉(zhuǎn)化為y=a（x-h）2+k（a≠0）.這時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對稱軸為x=h，因此任何拋物線都可由拋物線y=ax2經(jīng)適當(dāng)平移得到，具體平移方法如圖：

三、 二次函數(shù)圖象與一元二次方程

1. 如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0就有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2.

2. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下關(guān)系.

（1） 如果圖象與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，那么對應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2） 如果圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么對應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

（3） 如果圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，那么對應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.反之，根據(jù)一元二次方程的根的情況，可以知道二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系.

3. 利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象求方程ax2+bx+c=0的解的步驟.

（1） 畫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象.

（2） 根據(jù)圖象確定拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)之間.

（3） 利用計(jì)算器探索其解的十分位數(shù)字，從而確定方程的近似解.

經(jīng)典例題

例 1 已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為（1，-4），且拋物線在x軸上截得的線段長為4，求拋物線的解析式.

解析：由于拋物線是軸對稱圖形，因此拋物線在x軸上截得的線段被拋物線的對稱軸垂直平分，從而可求得拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

∵ 拋物線的頂點(diǎn)為（1， 4），

∴ 設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4.

∴ 拋物線的對稱軸為直線x＝1.

又∵ 拋物線在x軸上截得的線段長為4，

∴ 拋物線與x軸的交點(diǎn)為（-1，0），（3，0）.

將點(diǎn)（-1，0）或（3，0）代入，得0＝4a-4.解得a＝1.

∴ 拋物線的解析式為y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

評注：函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，是數(shù)形結(jié)合思想方法的重要運(yùn)用.本題通過形（圖象及其位置）的條件得出數(shù)（相等和不等關(guān)系）的結(jié)論.同學(xué)們在復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)對這種思想方法的理解和運(yùn)用.

例 2 若拋物線y=a（x-h）2+k向下平移一個(gè)單位后，再向左平移3個(gè)單位，所得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），且a+h+k=4.求原拋物線的解析式.

解析：拋物線平移，主要抓住頂點(diǎn)的平移，由于平移中a不變，只要變動(dòng)頂點(diǎn)就行了.對于這類已知平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求原頂點(diǎn)坐標(biāo)的問題，采用逆推法更易獲解.

原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）向下平移1個(gè)單位后為（h，k-1），再向左平移3個(gè)單位后為（h-3，k-1）.依題意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2.所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3.

評注：二次函數(shù)的圖象是對稱軸平行于y軸的拋物線，只要a值相同，拋物線的開口方向、大小和形狀完全相同，只是位置不同，而且拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）都可通過配方轉(zhuǎn)化為y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其圖象可以由y=ax2（a≠0）經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频玫?

例 3 已知二次函數(shù)y=x2+ax+a-2，求證：不論a取何值，總有拋物線y=x2+ax+a-2的頂點(diǎn)Q在x軸下方.

分析：要說明拋物線的頂點(diǎn)在x軸下方，由于拋物線的開口向上，只要說明Δ＞0即可.也可以驗(yàn)證頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于0.

方法1：由Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，且拋物線的開口向上，可知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以頂點(diǎn)恒在x軸的下方.

第3課時(shí)二次函數(shù)的應(yīng)用

主要知識點(diǎn)

1. 二次函數(shù)的應(yīng)用常見題型

（1） 求最值.解決這類題要根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解，但應(yīng)注意自變量的取值必須在實(shí)際生活中有意義.

（2） 與幾何圖形相結(jié)合的問題.運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)建立變量間的函數(shù)關(guān)系式，借用函數(shù)的性質(zhì)求解.

2. 利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的步驟

（1） 找出等量列出等式.

（2） 引入變量，將等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式.

（3） 利用二次函數(shù)的圖象畫出草圖.

（4） 結(jié)合實(shí)際，找出符合實(shí)際問題的那部分圖象.

（5） 抓住圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)或最低點(diǎn)這些特殊點(diǎn)，求出最后結(jié)果.

3. 善于不斷改進(jìn)學(xué)習(xí)方法的小迪發(fā)現(xiàn)，對解題進(jìn)行回顧反思，學(xué)習(xí)效果更好.某一天小迪有20 min時(shí)間可用于學(xué)習(xí).假設(shè)小迪用于解題的時(shí)間x（單位：min）與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖5所示，用于回顧反思的時(shí)間x（單位：min）與學(xué)習(xí)收益y的關(guān)系如圖6所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點(diǎn)），且用于回顧反思的時(shí)間不超過用于解題的時(shí)間.

（1）求小迪解題的學(xué)習(xí)收益量y與用于解題的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）求小迪回顧反思的學(xué)習(xí)收益量y與用于回顧反思的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式.

（3）小迪如何分配解題和回顧反思的時(shí)間，才能使這20 min的學(xué)習(xí)收益總量最大？

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