不等式（組）錯解剖析

王堯興　等

不等式（組）是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，理解不等式（組）的解與解集的意義，靈活運用不等式的基本性質(zhì)，是正確解決不等式（組）問題的關鍵.同學們在解決這部分問題時，往往會出現(xiàn)一些錯誤，現(xiàn)將易出現(xiàn)的錯誤歸類剖析如下，以幫助同學們提高認識，不犯類似的錯誤.

1. 性質(zhì)不清

例1判斷下列說法是否正確.

（1）若a>b，則ac2>bc2.（2）若ab>c，則a>.

（3）若a-b>a，則b>0.（4）若ab>0，則a>0，b>0.

【錯解】（1）因為c2>0，故ac2>bc2正確.

（2）不等式兩邊同除以b，得a>，故正確.

（3）不等式兩邊同時減去a，再同乘以-1，得b>0，故正確.

（4）根據(jù)同號相乘得正的法則可知這種說法正確.

[剖析：]上述解答的錯因主要是對不等式的基本性質(zhì)理解不清，或者是對問題所涉及的范圍未作全面分析.

【正解】（1）不正確.當c=0時，ac2=bc2.此處應注意，若ac2>bc2，則a>b，這里隱含了c≠0的條件.

（2）不正確.若b<0，則要改變不等號的方向；若b = 0，則不等式兩邊不能同除以b.

（3）不正確.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1，不等式兩邊都減去a，得-b>0.再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3，不等式兩邊同乘以-1，不等號的方向改變，得b<0.

（4）不正確.ab>0，則a、b同號，可能是a>0，b>0，但也可能是a<0，b<0.

[點評：]利用不等式的性質(zhì)解題時，要注意不等號的方向是否變化，分析同乘以（或除以）的那個數(shù)的符號特征，并善于用特征推證命題的正確與否.

2. 去分母時漏乘某一項

例2解不等式-1<.

【錯解】去分母，得x+5-1<3x+2.

移項，合并同類項，得-2x<-2.

兩邊同除以-2，得x>1.

[剖析：]去分母時，不等式左邊的-1沒有乘以2.

【正解】不等式兩邊同乘以2，得

2 ×

-1<2 × .

化簡，得x+5-2<3x+2.解得x>.

[點評：]去分母時，根據(jù)不等式的性質(zhì)，不等式兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘不含分母的項.

3. 不明題意

例3求不等式≥-1的非負整數(shù)解.

【錯解】去分母，得3-x≥-2.

移項并合并同類項，得-x ≥-5.

兩邊都除以-1，得x ≤ 5.

故原不等式的非負整數(shù)解為1，2，3，4，5.

[剖析：]非負整數(shù)包括正整數(shù)和0，錯解漏掉了非負整數(shù)中的0.

【正解】解不等式的過程同上，原不等式的非負整數(shù)解為0，1，2，3，4，5.

[點評：]解題時要弄清題目中所要求的內(nèi)容，不要大意.

4. 考慮不仔細

例4關于x的不等式組x ≥ 3，

x ≤ m無解，則m的取值范圍為.

【錯解】填 m ≤ 3.

[剖析：]當m = 3時，不等式組x ≥ 3，

x ≤ m存在公共部分x=3，因此必須排除m=3.

【正解】填m<3.

[點評：]由不等式組有解（或無解），求待定字母的取值范圍時，一定要考慮全面.尤其是端點的值能否取等號，需要特別加以考慮，以確保不重不漏.

5. 忽略隱含條件

例5一輛有12個座位的小型公共汽車上已有4名乘客，到一個站后又上來x名（x可以等于0）乘客，此時車上仍有空座位.試判斷x可以取哪些值.

【錯解】根據(jù)題意可得不等式x+4<12.

解得x<8.故x可以取小于8的任意數(shù).

[剖析：]這道題中的x是又上來的乘客的人數(shù)，應該是自然數(shù)，所以這道題隱含了x是自然數(shù)這個條件.

【正解】x可以取小于8的自然數(shù).

[點評：]求實際問題中某個量的取值范圍時一定要注意，要考慮使實際問題有意義.

6. 理解偏差

例6甲、乙兩隊進行足球比賽，規(guī)定每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.兩隊一共比賽了10場，甲隊保持不敗，得分超過22分.甲隊至少勝了多少場？

【錯解】設甲隊勝了x場.

根據(jù)題意，得3x+（10-x）>22.

解得x>6.故甲隊至少勝了6場.

[剖析：]解答中前面的部分都正確，錯在最后一步.

因為x>6并不包括6，根據(jù)題意，滿足x>6的最小整數(shù)為7.

【正解】解題過程略，甲隊至少勝了7場.

[點評：]在具體問題中，要根據(jù)一些關鍵詞（如超過、不足、以外、打破紀錄等）所蘊含的不等關系列出不等式（組），在求出不等式（組）的解集后，應仔細考慮題目的要求，寫出合理的答案.要特別注意“至少”、“超額”等關鍵詞語的含義，然后找出符合題意的正確答案.

【責任編輯：潘彥坤】

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