線中的數(shù)學(xué)思想

馬　靜／等

在直線、射線、線段這部分內(nèi)容中，滲透了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，下面舉例說(shuō)明.

1. 數(shù)形結(jié)合思想

例1同學(xué)們?nèi)ス愤呏矘?shù)，每隔3 m植一棵樹(shù)，那么在21 m長(zhǎng)的公路邊可植幾棵樹(shù)？

解： 從圖1中可以看出，可植8棵樹(shù).

[說(shuō)明：]你可能會(huì)不假思索地回答，三七二十一，可植7棵樹(shù)，那就錯(cuò)了.對(duì)于這類(lèi)題目，要注意考慮線段的端點(diǎn)，否則容易出錯(cuò).

2. 方程思想

例2如圖2，點(diǎn)D、E在線段AB上，且都在AB中點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)D分AB為2 ∶ 5兩部分，點(diǎn)E分AB為4 ∶ 5兩部分，若DE=5 cm，則AB的長(zhǎng)是多少？

解： 設(shè)AB=x cm，則AD=x cm，AE=x cm.

由AE-AD=DE，得x-x=5.

解得x=31.5.

故AB=31.5 cm.

3. 整體思想

例3如圖3，C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn) D、E 分別是AC、CB的中點(diǎn)，若AB=10 cm，求線段DE的長(zhǎng).

解： ∵D、E分別是AC、CB的中點(diǎn)，

∴DC=AC，CE=CB.

∴DE=DC+CE

=AC+CB

=（AC+CB）

=AB

= × 10

=5（cm）.

[說(shuō)明：]解答本題的關(guān)鍵是逆用分配律，得出待求線段和已知線段的關(guān)系.

4. 分類(lèi)討論思想

例4已知線段AB=8 cm，在直線AB上畫(huà)線段BC，使BC等于3 cm，求線段AC的長(zhǎng).

解： 點(diǎn)C可能在線段AB上，也可能在線段AB之外，因此需要分類(lèi)討論.

當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖4所示，有

AC=AB-BC

=5 cm.

當(dāng)點(diǎn)C在線段AB之外時(shí)，如圖5所示，有

AC=AB+BC

=11 cm.

因此線段AC的長(zhǎng)為5 cm或11 cm.

5. 歸納猜想思想

例5根據(jù)題意，完成下列填空.

l1與l2是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有1個(gè)交點(diǎn)，如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫(huà)出第3條直線l3，那么這3 條直線最多可有個(gè)交點(diǎn)；如果在這個(gè)平面內(nèi)再畫(huà)出第4條直線l4，那么這4條直線最多可有個(gè)交點(diǎn)……由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，6條直線最多可以有個(gè)交點(diǎn)，n（n為大于1的整數(shù)）條直線最多可以有個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）.

解： 畫(huà)圖觀察，如圖6.根據(jù)圖6可歸納出表1.

由此猜想：

a2=1；

a3=a2+2=1+2；

a4=a3+3=1+2+3；

a5=a4+4=1+2+3+4；

……

于是，可猜想n條直線最多可有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：

an=an-1+（n-1）

=1+2+3+4+…+（n-1）

=n（n-1）.

【責(zé)任編輯：穆林彬】

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