學(xué)會(huì)分析最重要

單秀華

解一元一次不等式的全部過(guò)程，與解一元一次方程相比，只是在最后一步上有所變化.所以，在熟練掌握解一元一次方程的基礎(chǔ)上，解一元一次不等式的關(guān)鍵是集中精力細(xì)心完成最后一步——用未知數(shù)的系數(shù)去除不等式的兩邊.

初學(xué)不等式，為了減少不必要的失誤，在用未知數(shù)的系數(shù)去除不等式的兩邊時(shí)，分三步來(lái)思考比較合適：

1.由未知數(shù)的系數(shù)的正負(fù)性，確定不等號(hào)的方向是否改變；

2.由不等號(hào)兩邊的符號(hào)確定商的符號(hào)；

3.弄清楚誰(shuí)除誰(shuí).

掌握上述規(guī)律就可以解決很多不等式的基礎(chǔ)習(xí)題，然而對(duì)于不等式中出現(xiàn)的一些小綜合的題目，部分同學(xué)解決起來(lái)還是感到困難，現(xiàn)通過(guò)以下分析，希望對(duì)同學(xué)們能有所幫助.

一、一元一次不等式與方程的綜合

我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題.

例1若不等式（2k+1）x<2k+1的解集是x＞1，則k的取值范圍是.

分析：這是一個(gè)含參數(shù)的關(guān)于x的不等式的解集已知的問(wèn)題.解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵是觀察不等式中不等號(hào)的方向與其解集中不等號(hào)的方向是否一致.若不一致，則說(shuō)明未知數(shù)的系數(shù)為負(fù)數(shù)；若一致，則說(shuō)明未知數(shù)的系數(shù)為正數(shù).從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式，解這個(gè)不等式得到參數(shù)的解.本問(wèn)題中因?yàn)椴坏仁降牟坏忍?hào)方向和其解集的不等號(hào)方向不一致，從而斷定2k+1<0，所以k<-.

例2如果關(guān)于x的不等式(2a－b)x＋a－5b>0的解集為x<，求關(guān)于x的不等式ax>b的解集.

解：由不等式（2a－b）x＋a－5b>0的解集為x<，可知2a－b<0，且=，得b=a.結(jié)合2a－b<0，b=a，可知b<0，a<0.則ax>b的解集為x<.

評(píng)注：這道題的內(nèi)涵極為豐富，它牽涉到不等式的基本性質(zhì)，不等式的解的意義，不等式的求解等內(nèi)容.它將式的恒等變形、不等式、方程融合在一起，以不等式為背景，構(gòu)成了一道精巧的小綜合題.

例3若3x－5<0，且y=7－6x，則y的取值范圍是什么？

解法1：由3x－5<0，得3x<5.兩邊同時(shí)乘以2，得6x<10.

兩邊再同時(shí)乘以－1，得－6x>－10.

兩邊再同時(shí)加上7，得7－6x>－3.

因?yàn)閥=7－6x，所以y>－3.

解法2：由y=7－6x，可得x=.將它代入不等式3x－5<0，得一個(gè)關(guān)于y的不等式3×-5<0，解這個(gè)不等式易得y>－3.

評(píng)注：解法1多次反復(fù)運(yùn)用不等式的性質(zhì)，最終得到問(wèn)題的解，初學(xué)者應(yīng)反復(fù)揣摩其變形技巧.解法2利用等式中x與y的相互表示，將求y的取值范圍問(wèn)題迅速轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)關(guān)于y的不等式的問(wèn)題，從而得到問(wèn)題的解.兩種解法對(duì)大家來(lái)說(shuō)都不陌生，比較容易理解，也具有較強(qiáng)的可操作性.事實(shí)上，解法2是解決不等式與方程（或今后學(xué)習(xí)的函數(shù)）綜合問(wèn)題的重要方法.同學(xué)們要仔細(xì)領(lǐng)會(huì)這一方法，將它程序化、步驟化，從而熟練掌握.

二、一元一次不等式的整數(shù)解問(wèn)題

求出不等式的解集后，就可寫出不等式的一些整數(shù)解或正整數(shù)的解.這一類問(wèn)題較為簡(jiǎn)單，教材上有詳細(xì)的例題解析，不再贅述.

若一個(gè)含參數(shù)的不等式已知其正整數(shù)解，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)先根據(jù)正整數(shù)解確定不等式的解集，再確定參數(shù)的取值范圍.

例4已知不等式4x－a≤0只有4個(gè)正整數(shù)解1，2，3，4，那么正數(shù)a的取值范圍是什么？

解：由4x－a≤0得x≤.

易知x≤4時(shí)的正整數(shù)解為1，2，3，4；x≤4.1時(shí)的正整數(shù)解為1，2，3，4；…；x≤5時(shí)的正整數(shù)解為1，2，3，4，5.所以4≤<5，則16≤a<20.

其實(shí)，本題利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解更直觀易懂.根據(jù)題意畫(huà)出示意圖如下圖.

因?yàn)椴坏仁街挥?個(gè)正整數(shù)解1，2，3，4，設(shè)若在4的左側(cè)（這里指3和4之間），則不等式的正整數(shù)解只能是1，2，3，不包含4；若在5的右側(cè)（這里指5和6之間）或與5重合，則不等式的正整數(shù)解應(yīng)當(dāng)是1，2，3，4，5，與題設(shè)不符.所以在4和5之間，能與4重合，但不能與5重合.因此有4≤<5，故16≤a<20.

試一試：

已知關(guān)于x的不等式3x－m<5+2(2m－x)的正整數(shù)解是1，2，3，求m的取值范圍.

(答案：2

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>