化零為整的一條有效途徑——旋轉(zhuǎn)變換

在數(shù)學(xué)的圖形變換中，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法。有些幾何問(wèn)題條件分散，如果能設(shè)法把圖形繞一個(gè)定點(diǎn)，在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角，使圖形的某部分移到一個(gè)新的位置，往往能使分散的條件集中，達(dá)到化零為整的目的，使問(wèn)題化難為易。

圖形中某一部分到底要旋轉(zhuǎn)多少度角，要因題而異，可以根據(jù)需要，把部分圖形轉(zhuǎn)到有利于進(jìn)行計(jì)算或證明的最佳位置上。

例1 在圖1中，半徑為6 ㎝的圓的內(nèi)、外各有一個(gè)正方形，圓內(nèi)正方形的4個(gè)角的頂點(diǎn)都在圓周上，圓外正方形的四條邊與圓都只有一個(gè)接觸點(diǎn)。問(wèn)大正方形的面積比小正方形大多少？

分析 這道題按一般方法需先求出大正方形面積，再求小正方形面積，然后用大正方形面積減去小正方形面積。如果把小正方形繞圓的圓心旋轉(zhuǎn)45°，那么小正方形的4個(gè)頂點(diǎn)正好落在大正方形和圓的接觸點(diǎn)上（即大正方形邊上的中點(diǎn)處）。圖2就是旋轉(zhuǎn)后的情形。易看出：小正方形正好是大正方形面積的一半。兩正方形的面積差就是：(6×2)²÷2=144÷2=72（㎝²）。

例2 如圖3所示，分別以正方形ABCD的邊AB、AD為直徑畫(huà)半圓，若正方形的邊長(zhǎng)為a，求陰影部分的面積。

解 如圖4所示，連AC、BD交于點(diǎn)O，繞點(diǎn)O將圖中②逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到圖中④，將圖中①繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到圖中③，則原圖中陰影部分的面積就和△DBC的面積相等，所以圖中陰影部分的面積：S_△DBC =1/2S_{正方形ABCD} = a²。

這里用旋轉(zhuǎn)變換的方法改變圖中①和②的位置，從而順利地完成計(jì)算。

例3 如圖5所示，P是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5:6:7，則以PA、PB、PC為邊的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比是（從小到大）（）

A. 2:3:4 B. 3:4:5 C. 4:5:6 D.不能確定

分析 由于PA、PB、PC尚未構(gòu)成三角形，所以需要作輔助線構(gòu)造成以它們?yōu)檫叺娜切巍?/p>

解 將△ABP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CBD，如圖6所示，則△ABP≌△CBD ∴PA=CD，PB=DB，∠PBD=60°∴△BPD是等邊三角形，即PB=PD∴△PCD就是以PA、PB、PC為邊的三角形

∵∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，于是∠PDC=∠BDC-∠BDP=100°-60°=40°，∠CPD=∠BPC-∠BPD=120°-60°=60°，∠PCD=180°-(60°+40°)=80°，即∠PDC:∠CPD:∠PCD=40°:60°:80°=2:3:4，故應(yīng)選A。

例4 如圖7所示，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結(jié)MN，形成△AMN，求證：△AMN的周長(zhǎng)等于2。

分析 欲證△AMN的周長(zhǎng)等于2，需要證明MN=BM+CN，考慮到∠MBD=∠DCN=Rt∠且BD=DC，可將△DBM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△DCM'，易知N、C、M'三點(diǎn)共線，且CM'=BM，于是只需證MN=NM'即可。

證明 將△DBM繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△DCM'，如圖8所示，則BM=CM'，DM=DM'， ∠1=∠2∵△ABC是等邊三角形，△DBC為頂角是120°的等腰三角形∴∠MBC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°∴∠DBM=∠NCD=90°∴∠NCD+∠DCM'=∠DCN+∠DBM=180°∴N、C、M'三點(diǎn)共線。在△DM'N和△DMN中，DN=DN，∠NDM' =∠2+∠3=∠1+∠3=60°=∠NDM，DM'= DM∴△DM'N≌△DMN (SAS) ∴NM'= NM 而CM'=BM ∴MN=BM+NC∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=1+1=2

例5 如圖9所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90。，D是BC上任一點(diǎn)，試說(shuō)明BD2+ DC2=2AD2。

分析 本題考慮到BD、DC、AD三線段分散在兩個(gè)三角形中，而且構(gòu)成平方和的條件不明顯，若利用旋轉(zhuǎn)變換，將BD、DC放到一個(gè)三角形中，這個(gè)三角形若是直角三角形，則創(chuàng)造BD2+ DC2就能接近所證的目標(biāo)。

證明 將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。到△AEB，如圖10所示，連結(jié)DE，易知△ADE、△DBE均為直角三角形，且AE=AD，BE=DC，所以在Rt△EBD中有BD2+BE2=DE2=BD2+DC2，在Rt△AED中有DE2=2AD2，所以BD2+ DC2=2AD2。

新一輪課程改革，對(duì)幾何作了較大幅度的調(diào)整，加強(qiáng)了“幾何變換”的內(nèi)容，即從變換的角度去認(rèn)識(shí)傳統(tǒng)幾何中的問(wèn)題。而圖形的旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置，故解題時(shí)可充分利用圖形旋轉(zhuǎn)變換的這一特點(diǎn)，把圖形位置進(jìn)行改變，從而達(dá)到優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步整合圖形〔題設(shè)〕信息的目的，使較為復(fù)雜的問(wèn)題得以順利解決。