杠桿平衡條件與數(shù)學(xué)相互滲透的競(jìng)賽題

《杠桿平衡條件》是歷屆科學(xué)競(jìng)賽命題中的重點(diǎn)之一，它往往與數(shù)學(xué)等知識(shí)相結(jié)合，綜合性很強(qiáng)，考查同學(xué)們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決科學(xué)問題的能力，現(xiàn)舉例如下。

例1 （浙江省第11屆初中生科學(xué)競(jìng)賽）如圖所示，均勻桿AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，可以繞轉(zhuǎn)軸A點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，在A點(diǎn)正上方距離L處固定一個(gè)定滑輪，細(xì)繩通過定滑輪與桿的另一端B相連，并將桿從水平位置緩慢向上拉起，已知桿水平時(shí)，細(xì)繩的拉力為T1，當(dāng)桿與水平面的夾角為30°時(shí)，細(xì)繩的拉力為T2，則T1∶T2是

A．2∶1。B．2∶1。

C．3∶1。D．1∶1。

解析 本題考查杠桿平衡條件與三角函數(shù)相結(jié)合來解決物理題。當(dāng)桿在水平時(shí)，細(xì)繩的拉力為T1，拉力的力臂為L(zhǎng)1=Lcos45°，杠受到重力為G，重力的力臂為L(zhǎng)2=L/2，則以A點(diǎn)為支點(diǎn)，根據(jù)杠桿平衡條件：T1 Lcos45°=G L/2，T1=2G/2；當(dāng)桿與水平面的夾角為30°時(shí)，細(xì)繩的拉力為T2，拉力的力臂為L(zhǎng)1=Lcos30°，杠受到重力為G，重力的力臂為L(zhǎng)2=Lcos30°/2，則以A點(diǎn)為支點(diǎn)，根據(jù)杠桿平衡條件：T2 Lcos30°=G Lcos30°/2，T2= G /2。因此T1∶T2=2∶1。故正確選項(xiàng)為A。

例2 (浙江省第九屆自然科學(xué)競(jìng)賽)在一次校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，小明騎一質(zhì)量為m的獨(dú)輪車，以速度v勻速通過一重為G、長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平獨(dú)木橋，獨(dú)木橋的兩端由兩根豎直支柱A、B支撐著，如圖2所示。設(shè)獨(dú)輪車騎上A端支柱處為初始時(shí)刻（t=0），圖3所示中哪一個(gè)圖正確地表示了B端支柱所受壓力FB與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系？（不考慮獨(dú)木橋的形變）解析 本題考查杠桿平衡條件與數(shù)學(xué)圖像相結(jié)合來解決物理問題。重為G、長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平獨(dú)木橋的兩端由兩根豎直支柱A、B支撐著，分別對(duì)水平獨(dú)木橋的支持力為FA、FB， 水平獨(dú)木橋受到重力為G，獨(dú)輪車對(duì)獨(dú)木橋的壓力為F=（m+m人）g。以A點(diǎn)為支點(diǎn)，根據(jù)杠桿平衡條件：FB L=GL/2+（m+m人）gv t所以 FB= G/2+（m+m人）gv t/L，又根據(jù)壓力與支持力是一對(duì)相互作用力大小相等，因此FB=FB= G/2+（m+m人）gv t/L，從而可知B端支柱所受壓力FB與時(shí)間t是一條一次函數(shù)的圖像（不經(jīng)過原點(diǎn)）。故正確選項(xiàng)為B。

例3 (浙江省第五屆自然科學(xué)競(jìng)賽)如圖4所示OB為粗細(xì)均勻的均質(zhì)杠桿，O為支點(diǎn)，在離O點(diǎn)距離為a的A處掛一個(gè)質(zhì)量為M的物體，杠桿每單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為m，當(dāng)杠桿為多長(zhǎng)時(shí)，可以在B點(diǎn)用最小的作用力F維持杠桿平衡？

A．2Ma/m。 B．Ma/m 。

C．2Ma/m。D．無限長(zhǎng)。

解析 本題考查杠桿平衡條件的靈活應(yīng)用與利用一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系來解決物理問題。設(shè)OA=a，OB=x，每米長(zhǎng)杠桿重為mg/m。以O(shè)為支點(diǎn)，根據(jù)杠桿平衡條件可以列出方程：aMg+x/2 mgx=Fx，整理后為

mgx2－2Fx+2aMg=0。①

這個(gè)方程有解的條件是Δ≥0，其中

Δ=（-2F）2-8mgaMg。②

由此解出F≥ 2amMg。從①式可以解出杠桿長(zhǎng)x，x=2F±4F2-8aMmg22mg。由于拉力最小時(shí)Δ=0，所以拉力最小時(shí)的杠桿長(zhǎng)為：

x=F/mg=2Ma/m。故正確選項(xiàng)為A。

例4 (浙江省第八屆自然科學(xué)競(jìng)賽)如圖5所示，質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為L(zhǎng) 的均勻橋板AB，A端連在橋墩上可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，B端擱在浮在水面的浮箱C上。一輛質(zhì)量為m的汽車P從A處勻速駛向B處。設(shè)浮箱為長(zhǎng)方體，上下浮動(dòng)時(shí)上表面保持水平，并始終在水面以上，上表面面積為S；水密度為ρ；汽車未上橋面時(shí)橋板與浮箱上表面夾角為α。汽車在橋面上行使的過程中，浮箱沉入水中的深度增加，求深度的增加量ΔH跟汽車P離開橋墩A的距離x的關(guān)系(汽車P可以看作一點(diǎn))。

解析 本題是平衡條件與三角函數(shù)相結(jié)合的物理問題。設(shè)橋面上沒有汽車時(shí)，浮箱浸入水中的深度為ΔH0，浮箱對(duì)橋板的支持力為N0，N0=ρSΔH0g，以A為支點(diǎn)，根據(jù)杠桿平衡條件：MgL2cosα=N0Lcosα，則浮箱浸入水中的深度為ΔH0：ΔH0=ML2ρsL；汽車開上橋面后，汽車對(duì)橋板AB的壓力為mg，浮箱浸入水中的深度為ΔH＇，浮箱對(duì)橋板的支持力為N，N=ρSΔH＇g，以A為支點(diǎn)，根據(jù)杠桿平衡條件：(MgL2+mgx) cosα=NL cosα，則浮箱浸入水中的深度為ΔH＇：ΔH＇=ML+2mx2ρSL，故浮箱浸入水中的深度變化了ΔH：ΔH=ΔH＇-ΔH0= mxρSL。 因此深度的增加量ΔH跟汽車P離開橋墩A的距離x的關(guān)系為ΔH=mxρSL。

除此之外，杠桿平衡條件還可以與數(shù)學(xué)中勾股定律、相似三角形、三角形中位線等知識(shí)結(jié)合起來，在這里不再例舉。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。