巧用雙曲線的對(duì)稱性

反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象是雙曲線，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．它有兩條對(duì)稱軸，分別是直線y=x和y=-x.坐標(biāo)原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心.利用雙曲線的對(duì)稱性，可使很多問(wèn)題迅速解決．

一、雙曲線的軸對(duì)稱性

例1如圖1，正方形OABC的兩條邊OA、OC分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上，OA=4．已知雙曲線y=恰好經(jīng)過(guò)正方形OABC的對(duì)角線OB的中點(diǎn)D，分別與AB、BC交于點(diǎn)M、N．試說(shuō)明AM=CN．

分析：由題意知點(diǎn)D坐標(biāo)為(2，2)，所以雙曲線的關(guān)系式為y=.由于直線OB的關(guān)系式為y=x，所以y=關(guān)于OB成軸對(duì)稱，所以BN=BM，所以CN=AM．

例2如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心的圓分別與直線y=-x和雙曲線y=相交，已知該圓的半徑為4，試求圓中陰影部分的面積和．

分析：由軸對(duì)稱性可得，圖中陰影部分的面積和等于半圓面積，即等于π×４２＝８π.（此題由中心對(duì)稱性也可解)

二、雙曲線的中心對(duì)稱性

例3直線y=2x與雙曲線y=的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，則它們的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是.

分析：依題意知，兩交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．故另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2，-4)．

例4如圖3，直線y=kx（k>0）與雙曲線y=交于A(x1，y1)、B（x2，y2）兩點(diǎn)，則2x1y２-7x２y1=.

分析：由題意可知，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，所以x2=-x1，y2=-y1，所以2x1y2-7x２y１=-2x1y１+7x1y１=5x1y１.

因?yàn)辄c(diǎn)A(x1，y１)在雙曲線y＝上，所以x1y１=4．

所以，原式=5×4=20.

例5如圖4，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A、C兩點(diǎn)， AB⊥x軸于B，CD⊥x軸于D.判斷四邊形ABCD的形狀，并求其面積.

分析：由雙曲線的中心對(duì)稱性，知點(diǎn)A與點(diǎn)C、點(diǎn)B與點(diǎn)D分別關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．所以O(shè)A=OC、OB=OD．所以四邊形ABCD是平行四邊形．

因?yàn)镾△AOB=OB·AB=x·y＝xy＝，所以SAＢＣＤ＝４S△AOB＝２.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文