從歷史發(fā)生原理看高中概率課程與教學(xué)

蘇　醒　張維忠

19世紀(jì)，德國(guó)生物學(xué)家?？藸枺‥. Haeckel，1843—1919）提出了著名的生物發(fā)生定律——“個(gè)體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”.這一理論的提出不僅開(kāi)創(chuàng)了生物學(xué)界的新紀(jì)元，同時(shí)也引發(fā)了其他領(lǐng)域的巨大變革，尤其是在教育界，一個(gè)將發(fā)生定律運(yùn)用于教育中得到的新生代理論——“歷史發(fā)生原理”，即“個(gè)體知識(shí)的發(fā)生遵循人類(lèi)知識(shí)發(fā)生的過(guò)程”的原理也因此孕育而生.就數(shù)學(xué)教育而言，又可以理解為“個(gè)體數(shù)學(xué)理解的發(fā)展遵循數(shù)學(xué)思想的歷史發(fā)展順序，學(xué)生在認(rèn)知上會(huì)重蹈歷史的覆轍”這樣一個(gè)基本原理.這一原理提出至今也經(jīng)歷了近三四十年，相當(dāng)多的教育學(xué)者對(duì)此原理持肯定態(tài)度，并精心設(shè)計(jì)了一系列實(shí)驗(yàn)研究以驗(yàn)證該原理的客觀存在，直至今日，該原理已經(jīng)受到越來(lái)越多人的支持與認(rèn)可，大多數(shù)教育專(zhuān)家和一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師都肯定了數(shù)學(xué)歷史對(duì)于當(dāng)今數(shù)學(xué)教育具有不可或缺的作用，然而如何將這一理論運(yùn)用到具體數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，如何在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中有機(jī)地融入數(shù)學(xué)史等仍需要進(jìn)一步研究.

1 高中概率課程與教學(xué)現(xiàn)狀

高中階段實(shí)施新課程改革后，概率課程的部分也發(fā)生了相應(yīng)的變化：一是教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)?shù)膭h補(bǔ)，刪去了原有的復(fù)雜的計(jì)算，將計(jì)數(shù)原理獨(dú)立成章，同時(shí)又增加了幾種新的概率模型與分布；二是教學(xué)順序上也進(jìn)行了一定的調(diào)整，調(diào)整后的概率課程被分成了兩部分，相應(yīng)出現(xiàn)在必修3和選修2-3中.

必修3部分的內(nèi)容主要是基于研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，并進(jìn)一步為統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展提供理論基礎(chǔ)，其要求學(xué)生在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題情境，學(xué)習(xí)隨機(jī)抽樣、樣本估計(jì)總體、線(xiàn)性回歸的基本方法，體會(huì)用樣本估計(jì)及其特征的思想；通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，較為系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過(guò)程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異.學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例，學(xué)習(xí)概率的某些基本性質(zhì)和簡(jiǎn)單的概率模型，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的理解，能通過(guò)實(shí)驗(yàn)、計(jì)算器（機(jī)）模擬估計(jì)簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率，而在選修部分，選修1-2只涉及了一些統(tǒng)計(jì)案例，而沒(méi)有進(jìn)一步的概率學(xué)習(xí)，而在選修2-3中則是要求學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)某些離散型隨機(jī)分布列及其均值、方差等內(nèi)容，初步學(xué)會(huì)利用離散型隨機(jī)變量思想描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象的方法，并能用所學(xué)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)概率模型的作用及運(yùn)用概率思考問(wèn)題的特點(diǎn)，初步形成用隨機(jī)觀念觀察、分析問(wèn)題的意識(shí).

可以看到，在高中數(shù)學(xué)新課程改革實(shí)施后，其對(duì)概率部分的學(xué)習(xí)要求有了很大的調(diào)整，由原來(lái)的偏重于對(duì)古典概型、排列組合問(wèn)題進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算求解轉(zhuǎn)向?yàn)楦又匾晫W(xué)生的分析和認(rèn)知能力，倡導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，因此在教學(xué)的過(guò)程中，教師更要注重對(duì)實(shí)際案例的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生從模型中掌握知識(shí)并學(xué)習(xí)其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.

2 概率論知識(shí)的歷史演進(jìn)

對(duì)于概率論這部分知識(shí)進(jìn)行歷史分析時(shí)，我們首先按時(shí)間發(fā)展順序?qū)ζ溥M(jìn)行客觀的史實(shí)梳理，其次再?gòu)臍v史發(fā)生原理角度進(jìn)一步審視其思想文化內(nèi)涵.

2.1 概率論發(fā)展簡(jiǎn)史

概率論是數(shù)學(xué)這個(gè)歷史悠久的大家族中一名不算年輕的成員.它的起源甚至可以追溯到公元前的古希臘，那個(gè)時(shí)候古希臘人就已經(jīng)從航海實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了許多概率經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，而古猶太人也在紀(jì)元之初就有概率加法定律和乘法定律的應(yīng)用記錄.但是這些思想比較零星，而且對(duì)天神的敬畏使得人們將隨機(jī)現(xiàn)象歸結(jié)為是世俗無(wú)法預(yù)測(cè)的，然而真正刺激人們思考概率，進(jìn)而孕育了概率論的卻是庸俗的骰子賭博游戲.人們對(duì)賭博中的一些問(wèn)題著手進(jìn)行研究，如比較擲兩枚骰子出現(xiàn)總點(diǎn)數(shù)為9或10的可能性大小等等.甚至在但丁的《神曲》的第六節(jié)中也提到了一個(gè)三骰子的游戲，很多人把這個(gè)階段稱(chēng)為概率論的史前階段.

17世紀(jì)中葉，法國(guó)的一名賭徒德·梅赫在巴黎找到著名數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家帕斯卡討教“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏S局就算贏了，現(xiàn)在一個(gè)人贏A局（A

荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯被稱(chēng)為概率論學(xué)科的創(chuàng)始人，他所完成的《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)，被視為概率論的最早論著.在書(shū)中他提及了包括“點(diǎn)數(shù)問(wèn)題”在內(nèi)的14個(gè)命題深受同時(shí)代數(shù)學(xué)家們的歡迎.然而使得概率論真正成為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支的則是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利.他的最重要的貢獻(xiàn)在于建立了概率論中第一個(gè)極限定理，即在他的《猜度術(shù)》中提出的伯努利大數(shù)定律，揭示了“頻率穩(wěn)定于概率”的深刻道理，從而促使概率論的發(fā)展向前大大邁進(jìn)了一步，因此也有人提議概率論的真正歷史應(yīng)從伯努利創(chuàng)立大數(shù)定律時(shí)刻算起.

而后，一些著名的數(shù)學(xué)家也投身到概率論的研究中，對(duì)其做了一定的奠基性工作.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗最早引入正態(tài)分布，而法國(guó)數(shù)學(xué)家布豐則設(shè)計(jì)了著名的投針實(shí)驗(yàn)，開(kāi)創(chuàng)了幾何概率的新紀(jì)元，而真正開(kāi)啟了現(xiàn)代概率之先河的則是法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯，在其1812年出版的《概率的分析理論》一書(shū)中，他總結(jié)了前人以及自己40多年的研究成果，首次明確了概率的古典定義，系統(tǒng)敘述了概率論的基本定理，將無(wú)窮小方法系統(tǒng)而協(xié)調(diào)地運(yùn)用到了概率論.也正是從此開(kāi)始，概率論從理論概率開(kāi)始邁進(jìn)了應(yīng)用概率.

2.2 概率論發(fā)展史的教育啟示

從認(rèn)知模式的角度再次剖析概率論的發(fā)展史，我們可以看到其問(wèn)題解決的思維線(xiàn)索按照直覺(jué)思維→抽象思維→歸納思維→演繹思維這樣的模式推進(jìn)，從最初的對(duì)游戲問(wèn)題的猜想演變?yōu)榻⑦m當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型的抽象處理，在對(duì)類(lèi)似不同問(wèn)題的抽象分析的基礎(chǔ)上歸納總結(jié)建立了概率論，進(jìn)而又不斷進(jìn)行深入研究分析演繹形成了現(xiàn)代概率的各個(gè)有機(jī)分支.從其創(chuàng)造的歷程也可以看成是一個(gè)從觀察直覺(jué)到猜想驗(yàn)證，進(jìn)而到有效組合，最后到多元分析的邏輯過(guò)程.

而從知識(shí)結(jié)構(gòu)的角度出發(fā)，可以從概率論的發(fā)展史中提煉出知識(shí)概念、思想方法、發(fā)現(xiàn)工具這三個(gè)層次的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).概率論的知識(shí)概念主要包括概率的四大定義（統(tǒng)計(jì)定義、古典定義、幾何定義和公理化定義）、概率模型的分類(lèi)與含義等；而思想方法包括了隨機(jī)思想與確定性思想，以及分類(lèi)與歸納思想.發(fā)現(xiàn)工具主要是指采用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)創(chuàng)設(shè)情境進(jìn)行分析和根據(jù)分類(lèi)選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M(jìn)行問(wèn)題處理.

從一般教育的角度出發(fā)，概率論發(fā)展史中蘊(yùn)含的德育價(jià)值更是無(wú)窮無(wú)盡，帕斯卡的探索精神，費(fèi)馬的不吝交流，布豐的孜孜不懈都是絕好的教育素材.

3 高中概率課程的教學(xué)設(shè)計(jì)

用歷史發(fā)生原理來(lái)指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，我們不妨將其劃分為縱向與橫向這兩個(gè)維度展開(kāi)，縱向角度即為教學(xué)的邏輯順序的處理上應(yīng)該盡量遵循歷史發(fā)生的維度，以便能夠更加適合學(xué)生的認(rèn)知心理；而橫向角度是從單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的角度考慮，學(xué)生在某些知識(shí)點(diǎn)的理解上會(huì)產(chǎn)生和前人同樣的認(rèn)識(shí)，甚至于也可能會(huì)重復(fù)前人的謬誤，因此在一些知識(shí)上呈現(xiàn)歷史各種不同的觀點(diǎn)，讓學(xué)生自行取舍與分析，能夠起到更加深化理解的作用.

對(duì)于高中概率知識(shí)的部分，我們之前已經(jīng)分析過(guò)在數(shù)學(xué)新課程改革后它們?cè)诮滩闹械某尸F(xiàn)，即分為必修與選修兩部分，由于這兩部分其學(xué)習(xí)的目的、對(duì)象都不盡相同，因此我們?cè)谠O(shè)計(jì)時(shí)也考慮分成兩部分處理，分別進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì).

3.1 必修部分的教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)課程的必修部分是普適性的教育，其原則是滿(mǎn)足未來(lái)公民的基本數(shù)學(xué)需求，為學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備.因此，教學(xué)過(guò)程中也需以“基本、準(zhǔn)備”為準(zhǔn)繩而無(wú)需涉及過(guò)多生澀艱深的理論概念.

通過(guò)對(duì)必修部分知識(shí)及概率論發(fā)展史的梳理，我們可以依照“讓學(xué)生從實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生對(duì)概率的直觀感覺(jué)→形成概率的統(tǒng)計(jì)意義→抽象為理想的古典模型→理解概率的古典意義→加工布豐的投針實(shí)驗(yàn)→引入概率的幾何意義”這樣縱向維度用六個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)安排整體課程，同時(shí)將一些數(shù)學(xué)概念穿插進(jìn)每個(gè)環(huán)節(jié)，在實(shí)例中形成抽象概念.

在第一個(gè)環(huán)節(jié)主要進(jìn)行兩方面的工作，即讓學(xué)生動(dòng)手?jǐn)S幣實(shí)驗(yàn)，以及呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家擲幣的相關(guān)史實(shí)與數(shù)據(jù)，滲透概率與頻率的思想；在第二個(gè)環(huán)節(jié)則主要通過(guò)更多的統(tǒng)計(jì)事實(shí)讓學(xué)生構(gòu)建概率的統(tǒng)計(jì)定義，并闡明各種事件的含義；第三個(gè)環(huán)節(jié)可以用“點(diǎn)數(shù)問(wèn)題”引入，讓學(xué)生了解概率發(fā)展史，進(jìn)而引出古典概型，讓學(xué)生理解概率的古典定義；第四個(gè)環(huán)節(jié)通過(guò)一些歷史名題，諸如撲克游戲，生日問(wèn)題等讓學(xué)生學(xué)習(xí)概率的計(jì)算；第五個(gè)環(huán)節(jié)則可以通過(guò)加工過(guò)的

布豐投針實(shí)驗(yàn)（如將針改成環(huán)，或者就用投豆子求圓周率的例題）引出幾何概型，讓學(xué)生理解概率的幾何定義；在第六個(gè)環(huán)節(jié)則同樣挑選一些實(shí)例或者名題，諸如碰面問(wèn)題、貝特朗悖論問(wèn)題加深學(xué)生對(duì)幾何概型的理解，并掌握一定的計(jì)算方法.除了這六環(huán)節(jié)外，教師也可以增設(shè)一個(gè)應(yīng)用計(jì)算機(jī)模擬求解的環(huán)節(jié)，進(jìn)一步整合信息資源.

3.2 選修部分的教學(xué)設(shè)計(jì)

選修系列2主要是為以后希望在理工、經(jīng)濟(jì)等方面發(fā)展的學(xué)生設(shè)置的，因此在這部分教學(xué)過(guò)程中可以相對(duì)較多地融入概念理論與數(shù)學(xué)思想方法.

對(duì)選修2-3中概率部分的內(nèi)容進(jìn)行分析可以看出，其主要涉及了一些分布問(wèn)題及離散型隨機(jī)變量的特征問(wèn)題，是必修內(nèi)容的深化，這部分知識(shí)并沒(méi)有體現(xiàn)出過(guò)多的時(shí)間先后的特征，不過(guò)其從認(rèn)識(shí)模式上來(lái)分析，依舊可以采用“直觀到抽象”這一概率發(fā)展史經(jīng)驗(yàn)，因此在設(shè)計(jì)的時(shí)候可以將其分為六個(gè)環(huán)節(jié)，分別是：理解離散型變量含義，掌握其分布列→掌握離散型變量均值及方差的求解→通過(guò)實(shí)例，對(duì)比介紹超幾何分布與二項(xiàng)分布→運(yùn)用已學(xué)分布解決一些實(shí)際問(wèn)題→介紹正態(tài)分布→探討正態(tài)分布的性質(zhì).

可以將一、二兩個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行整合，再次引用歷史上的“點(diǎn)數(shù)問(wèn)題”，這次要求學(xué)生進(jìn)行結(jié)果判斷，教師在總結(jié)學(xué)生判斷的基礎(chǔ)上給出離散型的定義、分布列以及均值的求解方法，進(jìn)而再通過(guò)實(shí)例解決方差求解的問(wèn)題；在第三、四環(huán)節(jié)中可以采用對(duì)彩票問(wèn)題不斷增加條件來(lái)對(duì)比兩種分布的區(qū)別，穿插介紹條件概率和兩事件獨(dú)立的概念；最后兩環(huán)節(jié)是關(guān)于正態(tài)分布的，可以通過(guò)棣莫弗和高斯分布的史實(shí)引出，也可以通過(guò)用計(jì)算機(jī)描繪生活中的大量現(xiàn)象的概率分布圖得到，在探討其性質(zhì)時(shí)也可以采用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)的方法讓學(xué)生自行探索.

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