學(xué)生學(xué)習(xí)困境的教因分析與對策

王良駿　戴靜君

江蘇省錫山高級中學(xué) (214174)

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中犯一些錯(cuò)誤是正常不過的事，學(xué)生出錯(cuò)后，老師往往能分析學(xué)生的錯(cuò)誤原因，幫助學(xué)生走出困境，在這方面的文章也屢見于報(bào)刊雜志.但不可否認(rèn)的是，學(xué)生的一些錯(cuò)誤與老師有關(guān)，與老師的課堂教學(xué)有關(guān).本文擬就筆者平時(shí)觀察的一些案例作一點(diǎn)簡單的分析.

一、對數(shù)學(xué)知識的正確認(rèn)識是一個(gè)數(shù)學(xué)教師的基本功，但有時(shí)在不經(jīng)意間，我們還是會犯一些不該犯的錯(cuò)誤

問題1 對于命題P：若一個(gè)四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形為正方形，寫出它的否定形式.

錯(cuò)解1：若一個(gè)四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形不是正方形.

分析：命題P及其否定應(yīng)是一真一假，而本例中，命題及其否定均為假命題.

教學(xué)反思：錯(cuò)誤根源在于教師教學(xué)中把對命題進(jìn)行否定歸納為：保留命題的條件，否定命題的結(jié)論.

錯(cuò)誤剖析：這是老師的一種錯(cuò)誤認(rèn)識，事實(shí)上，關(guān)于命題的非P形式問題中的P并不限定為一個(gè)復(fù)合命題，自然也就談不上P中的條件或結(jié)論.基于命題是一種判斷，對命題P的否定應(yīng)該理解為對判斷的否定，或者可以表達(dá)為對命題意義的否定.

正解：原命題是一個(gè)全稱命題，可敘述為：菱形都是正方形，所以，非P形式應(yīng)該為：存在不是正方形的菱形.

錯(cuò)解2：菱形不一定是正方形.

錯(cuò)因：命題是對事物的判斷，“不一定”并沒有作出判斷.

二、對數(shù)學(xué)知識的教學(xué)只從一個(gè)角度往往不能讓學(xué)生有全面的認(rèn)識，“橫看成嶺側(cè)成峰”，只有多角度地比較才能達(dá)到教學(xué)的目標(biāo)

問題2 等腰Rt△ABC中，在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM

錯(cuò)解：記“AM

錯(cuò)因分析：老師的例題講解不夠全面.

在蘇教版必修3的P102有例3：等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率.本例中，“由于點(diǎn)M橢機(jī)地落在線段AB上，故可以認(rèn)為點(diǎn)M落在線段AB上任一點(diǎn)是等可能的，可將線段AB看做區(qū)域D”.而問題2中，應(yīng)該是“由于射線CM隨機(jī)地落在∠ACB內(nèi)部，故可以認(rèn)為射線CM落在∠ACB內(nèi)部任一位置是等可能的，可將∠ACB內(nèi)部的扇形看做區(qū)域D”.

可通過幾何畫板給出兩種不同情形下的圖形，在圖(1)中，射線CM在∠ACB內(nèi)部均勻分布，但射線CM與線段AB的交點(diǎn)M在AB上并不均勻分布，呈現(xiàn)出中間密兩邊疏的特征，而圖(2)中，點(diǎn)M在線段AB上均勻分布，但在∠ACB內(nèi)部，射線CM的分布并不均勻，呈現(xiàn)出中間疏而兩邊密的特征.

正解：記“AM

比較兩個(gè)問題，核心區(qū)別在于等可能的對象不同.由此可見，在老師講解例題時(shí)，對“等可能性”的強(qiáng)調(diào)不能只從正面一講了之，不妨多一些正反比較，“旁敲側(cè)擊”，所謂“橫看成嶺側(cè)成峰”，多視角視察與研究才能把問題看清楚.而這樣的變化往往只用很少的時(shí)間就能使學(xué)生的認(rèn)識更全面.

三、對數(shù)學(xué)知識的教學(xué)只有做到“遠(yuǎn)近高低各不同”的探究才能讓學(xué)生的認(rèn)識上一個(gè)臺階

在處理數(shù)列前n項(xiàng)和S璶與通項(xiàng)a璶的關(guān)系的問題時(shí)，通常的處理方法是利用a璶=a1 n=1,

S璶-S﹏-1 n>1,把S璶化為a璶，并對n=1的情形進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，這有時(shí)會造成學(xué)生認(rèn)識高度的不足.

問題3 正數(shù)數(shù)列{a璶}的前n項(xiàng)和為S璶，且2S璶=a璶+1，則S璶= .

學(xué)生面對這一問題時(shí)常常很頭疼，因?yàn)镾璶在根號內(nèi)部，不方便運(yùn)用上面的公式消去，注意到{a璶}為正數(shù)數(shù)列，然后進(jìn)行平方，再運(yùn)用上述公式，解題過程顯得很沉重.較大的運(yùn)算量也造成學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤的增多.

面對這樣的困境，老師應(yīng)當(dāng)反思：這樣的教學(xué)是否是最合理的?

事實(shí)上，對a璶=a1 n=1,

S璶-S﹏-1 n>1,進(jìn)行思考：這個(gè)式子既可以把S璶化為a璶，也可以把

a璶化為S璶，它表達(dá)的是a璶與S璶的關(guān)系，為什么我們不能消去a璶而留下S璶呢?在這樣的啟發(fā)下，學(xué)生易得如下解法：當(dāng)n=1時(shí)易得a璶=1，當(dāng)n≥2時(shí)，由2S璶=a璶+1，知2S璶=S璶-S﹏-1+1，移項(xiàng)得(S璶-1)2=(S﹏-1)2，由{a璶}為正數(shù)數(shù)列及a璶=1知S璶≥1，∴S璶-1=S﹏-1,∴{S璶}構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，∴S璶=n，即S璶=n2.

站在更高的高度認(rèn)識a璶=a1 n=1,

S璶-S﹏-1 n>1,可以靈活地把握解題方向，使解題過程更合理.

四、我們常埋怨“沒有教不會的學(xué)生，只有不會教的老師”這句話說的過于絕對，但我們不得不承認(rèn)有時(shí)我們的教學(xué)活動真的對學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性有很大的影響

在一次高三一輪復(fù)習(xí)中，我向?qū)W生出示了如下問題：集合A={a,b,c}，集合B={1,0,-1}，從集合A到集合B的映射f滿足f(a)+f(b)=ゝ(c)，則這樣的映射有 個(gè).

由于是一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生對映射概念遺忘較多，且本題還牽涉到有條件的計(jì)數(shù)問題，因此，能夠正確作答的少之又少，雖然是一個(gè)小題，但對學(xué)生的打擊卻是沉重的.一些學(xué)生根本就無從下手，無所事事，無聊至極.還有一些學(xué)生絞盡腦汁，殫精竭慮，以錯(cuò)誤告終.在一個(gè)小題面前繳了槍對自信心打擊很大.

在進(jìn)入第二個(gè)班級后，我對本題作了修改：集合A={a,b,c},集合B={1,0,-1}，從集合A到集合B的映射f滿足f(a)+f(b)=ゝ(c)，請你寫出一個(gè)這樣的映射.你最多能寫出幾個(gè)這樣的映射?

稍等片刻，即有許多學(xué)生寫了出來，同學(xué)之間互相討論，互相啟發(fā)，互通有無，在得出一定數(shù)量符合要求的映射后，總結(jié)規(guī)律，寫出全部的映射，熱火朝天，每個(gè)人都成了勝利者.

復(fù)習(xí)同樣的內(nèi)容，為了同樣的教學(xué)目標(biāo)，拿的是同樣的問題，僅僅是問法的不同，學(xué)生的積極性迥異，為什么?第一種問法是一種結(jié)果教學(xué)，只要結(jié)果，達(dá)不到結(jié)果就是失敗，造成了成功者寥寥，失敗者多多.而第二種問法期待的是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，哪怕一點(diǎn)小小的進(jìn)展也是成功，也是收獲，特別是“你最多能寫出幾個(gè)這樣的映射”這樣的問題正好符合了學(xué)生的能力實(shí)際，讓學(xué)生在不知不覺中達(dá)到復(fù)習(xí)目標(biāo).

結(jié)語：在教育教學(xué)過程中，我們常常教學(xué)生多從自己的身上找原因，老師常對學(xué)生說：我們不能控制別人，但我們可以控制自己.把這句話對自己說說，自己聽聽，當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)一些問題時(shí)，我們能否在找學(xué)生問題時(shí)也找找自己的問題，或許這是提高課堂教學(xué)效率的一條重要途徑呢.