列方程（組）中設(shè)未知數(shù)的方法與技巧

列方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題一直是中考命題的熱點(diǎn)之一，而列方程（組）的關(guān)鍵步驟之一是設(shè)好未知數(shù)，那么解決中考中方程（組）問(wèn)題設(shè)未知數(shù)有哪些方法與技巧呢？

一、設(shè)直接未知數(shù)

即求什么設(shè)什么，這是最常用的設(shè)未知數(shù)的方法.

例1（2007年甘肅省白銀市中考試題）某同學(xué)在A、B兩家超市發(fā)現(xiàn)他看中的英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)的單價(jià)相同，書(shū)包單價(jià)也相同，英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)和書(shū)包單價(jià)之和是452元，且英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)的單價(jià)比書(shū)包單價(jià)的4倍少8元．

（1）求該同學(xué)看中的英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)和書(shū)包單價(jià)各是多少元？

（2）該同學(xué)上街，恰好趕上商家促銷(xiāo)，超市A所有商品打7.5折；超市B全場(chǎng)購(gòu)物滿100元返購(gòu)物券30元（不足100元不返券，購(gòu)物券全場(chǎng)通用），但他只帶了400元錢(qián)，如果他只在一家超市購(gòu)買(mǎi)看中的英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)、書(shū)包，那么在哪一家購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián)？

分析：（1）由“英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)和書(shū)包單價(jià)之和是452元，且英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)的單價(jià)比書(shū)包單價(jià)的4倍少8元”可以列方程組求出英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)和書(shū)包單價(jià)；（2）分別計(jì)算在Ａ、Ｂ兩個(gè)超市購(gòu)買(mǎi)英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)與書(shū)包各一件所需花費(fèi)的現(xiàn)金并與400元比較，再比較在Ａ、Ｂ兩個(gè)超市購(gòu)買(mǎi)英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)與書(shū)包各一件所需花費(fèi)的現(xiàn)金，來(lái)確定在哪家超市購(gòu)買(mǎi)更省錢(qián).

解：（1）設(shè)書(shū)包的單價(jià)為x元，英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)的單價(jià)為y元．

根據(jù)題意，得x＋y=４５２，y=４x－８.解得x=92，y=360.

答：該同學(xué)看中的英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)單價(jià)為360元，書(shū)包單價(jià)為92元．

（2） 在超市A購(gòu)買(mǎi)英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)與書(shū)包各一件，需花費(fèi)現(xiàn)金：452×75%=339（元），因?yàn)?39＜400，所以可以選擇在超市A購(gòu)買(mǎi).在超市B可先花費(fèi)現(xiàn)金360元購(gòu)買(mǎi)英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)，再利用得到的90元購(gòu)物券，加上2元現(xiàn)金購(gòu)買(mǎi)書(shū)包，總計(jì)共花費(fèi)現(xiàn)金：360+2=362（元）；因?yàn)?62＜400，所以也可以選擇在超市B購(gòu)買(mǎi)．但是，由于362＞339，所以在超市A購(gòu)買(mǎi)英語(yǔ)學(xué)習(xí)機(jī)與書(shū)包更省錢(qián)．

點(diǎn)悟：設(shè)直接未知數(shù)的方法應(yīng)該是我們思考問(wèn)題時(shí)的首選，當(dāng)設(shè)直接未知數(shù)思考感到困難時(shí)，再考慮下文中設(shè)未知數(shù)的方法與技巧.

二、設(shè)間接未知數(shù)

即所設(shè)的未知數(shù)不是所求的未知量，但可以較為方便地求出所求的未知量.

例2（2007年山東省臨沂市中考試題）“種糧補(bǔ)貼”惠農(nóng)政策的出臺(tái)，大大激發(fā)了農(nóng)民的種糧積極性，某糧食生產(chǎn)專(zhuān)業(yè)戶去年計(jì)劃生產(chǎn)小麥和玉米共18噸，實(shí)際生產(chǎn)了20噸，其中小麥超產(chǎn)12％，玉米超產(chǎn)10％，該專(zhuān)業(yè)戶去年實(shí)際生產(chǎn)小麥、玉米各多少噸？

分析：?jiǎn)栴}要求專(zhuān)業(yè)戶去年實(shí)際生產(chǎn)小麥、玉米各多少噸，而已知的是小麥、玉米超產(chǎn)的百分率，設(shè)直接未知數(shù)求解比較困難，而設(shè)間接未知數(shù)——原計(jì)劃生產(chǎn)小麥和玉米的噸數(shù)比較簡(jiǎn)便.

解：設(shè)原計(jì)劃生產(chǎn)小麥ｘ噸，生產(chǎn)玉米ｙ噸，根據(jù)題意得：

x＋y=18，12％x+10%y=20－1８.解得x=10，y=8.

10×（1+12％）＝11.2（噸），8×（1+10％）＝8.8（噸）.

答：該專(zhuān)業(yè)戶去年實(shí)際生產(chǎn)小麥11.2噸，玉米8.8噸.

點(diǎn)悟：當(dāng)設(shè)直接未知數(shù)求解比較困難時(shí)，可考慮設(shè)間接未知數(shù)來(lái)解題.同學(xué)們可以用設(shè)直接未知數(shù)的方法來(lái)解決本題，再比較一下，從中體會(huì)設(shè)間接未知數(shù)的妙用.

三、設(shè)輔助未知數(shù)

當(dāng)題目中缺少某些量時(shí)，可以增設(shè)一些量為輔助未知數(shù)（視為已知量），參與列方程，已知量多了，列方程（組）就方便了.

例3（2007年四川省資陽(yáng)市中考試題）陳老師為學(xué)校購(gòu)買(mǎi)運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)品后，回學(xué)校向后勤處王老師交賬說(shuō)：“我買(mǎi)了兩種書(shū)，共105本，單價(jià)分別為8元和12元，買(mǎi)書(shū)前我領(lǐng)了1500元，現(xiàn)在還余418元. ”王老師算了一下，說(shuō)：“你肯定搞錯(cuò)了.”

（1）王老師為什么說(shuō)他搞錯(cuò)了？試用方程的知識(shí)給予解釋.

（2）陳老師連忙拿出購(gòu)物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯(cuò)了，因?yàn)樗€買(mǎi)了一個(gè)筆記本. 但筆記本的單價(jià)已模糊不清，只能辨認(rèn)出應(yīng)為小于10元的整數(shù)，筆記本的單價(jià)可能為多少元？

分析：（1）用方程的知識(shí)求出書(shū)的本數(shù)即可判斷；（2）設(shè)出輔助未知數(shù)——筆記本的單價(jià)，列出含字母系數(shù)方程，利用整除的有關(guān)知識(shí)求解.

解：（1）設(shè)單價(jià)為8元的課外書(shū)為x本，得：8x+12（105-x）=1500-418.解之得：x=44.5(不符合題意) . 所以王老師肯定搞錯(cuò)了.

（2）設(shè)單價(jià)為8元的課外書(shū)為y本， 設(shè)筆記本的單價(jià)為a元，依題意得：8y+12（105-y）=1500-418-a.解之得：178+a=4y. 因?yàn)閍、y都是整數(shù)，且178+a應(yīng)被4整除， 所以a為偶數(shù)，又因?yàn)閍為小于10元的整數(shù)， 所以a可能為2，4，6，8 .

當(dāng)a=2時(shí)，4y=180，y=45，符合題意；

當(dāng)a=4時(shí)，4y=182，y=45.5，不符合題意；

當(dāng)a=6時(shí)，4y=184，y=46，符合題意；

當(dāng)a=8時(shí)，4y=186，y=46.5，不符合題意 .

所以筆記本的單價(jià)可能為2元或6元 .

點(diǎn)悟：本題中似乎缺少一些量，引進(jìn)輔助未知數(shù)以后，“已知”條件增加了，列方程就方便多了，再利用題目中的特殊要求——問(wèn)題的解是正整數(shù)，就可以解決問(wèn)題了.