蒙特卡羅定價(jià)方法與布萊克舒模型的比較分析

摘要：通過(guò)對(duì)Black-Sholes（B-S）模型和Monte Carlo方法的比較分析研究，文章回答了如下問(wèn)題：在Black-Sholes模型的價(jià)格隨機(jī)過(guò)程下的Black-Sholes公式和Monte Carlo定價(jià)方法的區(qū)別，風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的Monte Carlo定價(jià)方法即均衡的定價(jià)方法以及各定價(jià)因素的變化對(duì)不同方法定價(jià)的影響。

關(guān)鍵詞：Black-Sholes公式；風(fēng)險(xiǎn)中性；Monte Carlo方法；敏感性

國(guó)外很多文獻(xiàn)把Monte Carlo方法定價(jià)作為基準(zhǔn)定價(jià)來(lái)比較其它定價(jià)方法的有效性差異。實(shí)業(yè)操作中常常選用Black-Sholes模型和Monte Carlo方法或二者之一進(jìn)行定價(jià)。那么，在Black-Sholes模型的價(jià)格過(guò)程下的Black-Sholes公式和Monte Carlo定價(jià)方法的區(qū)別是什么，各定價(jià)因素的變化對(duì)不同方法定價(jià)的影響如何，風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的Monte Carlo定價(jià)方法即均衡的定價(jià)方法是什么，目前尚沒(méi)有專門研究這些問(wèn)題的論文。本文的目的正是試圖通過(guò)分析研究回答這些問(wèn)題。

一、Black-Sholes定價(jià)公式和風(fēng)險(xiǎn)中性的Monte Carlo定價(jià)方法

（一）Black-Sholes模型定價(jià)公式

cBS＝SN（d1）-Ke-rTN（d2）①

符號(hào)的意義：cBS為權(quán)證價(jià)值，S為觀測(cè)日股票價(jià)格，N（#8226;）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，σ2為股票收益的方差率，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，T為距到期日的時(shí)間。

這一公式是在一定市場(chǎng)條件下推出的市場(chǎng)均衡價(jià)格（風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的價(jià)值）。這些市場(chǎng)條件包括：市場(chǎng)無(wú)摩擦（沒(méi)有交易費(fèi)用和稅金）；存在買空賣空機(jī)制；標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布郎運(yùn)動(dòng)；市場(chǎng)無(wú)套利；沒(méi)有分紅等。

從上述公式可見(jiàn)，影響B(tài)-S模型定價(jià)的內(nèi)在因素有股票價(jià)格、波動(dòng)率、所余有效期、執(zhí)行價(jià)格和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

（二）Monte Carlo 定價(jià)公式

歐式看漲權(quán)證價(jià)值的計(jì)算公式應(yīng)當(dāng)為：

c=e-rT EQ（ST-K）+②

EQ表示在風(fēng)險(xiǎn)中性的概率測(cè)度Q下，權(quán)證到期的期望價(jià)值。權(quán)證的價(jià)值應(yīng)當(dāng)為到期期望價(jià)值的貼現(xiàn)值。所以在風(fēng)險(xiǎn)中性前提下，應(yīng)用MC方法對(duì)權(quán)證定價(jià)前，首先應(yīng)當(dāng)對(duì)B-S模型進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換。已知B-S模型的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)過(guò)程如下：

其中：dWP代表在概率測(cè)度P下的布郎運(yùn)動(dòng)，P是風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境下的概率測(cè)度。對(duì)上式轉(zhuǎn)換為風(fēng)險(xiǎn)中立下的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)過(guò)程：

將④代入③，得到在風(fēng)險(xiǎn)中立下的資產(chǎn)收益率的價(jià)格隨機(jī)過(guò)程：

比較③和⑤式，在風(fēng)險(xiǎn)中立下，即概率測(cè)度從Q變?yōu)镻，資產(chǎn)的波動(dòng)率沒(méi)有改變，資產(chǎn)收益概率分布的期望值換成了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。

由③在概率測(cè)度P下，得到的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)過(guò)程為：

ΔWTP——NP（0，T）

由⑤在概率測(cè)度Q下，得到的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)過(guò)程為：

ΔWTQ——NQ（0，T）

根據(jù)幾何布郎運(yùn)動(dòng)的定義，可以把式⑦轉(zhuǎn)化為下式：

Z——N（0，1）

由于B-S公式是在無(wú)套利條件（即風(fēng)險(xiǎn)中性條件）下得到的，應(yīng)當(dāng)根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中立下的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)過(guò)程⑦應(yīng)用MC方法計(jì)算標(biāo)的資產(chǎn)的模擬價(jià)格S。

模擬步數(shù)：距到期日的有效天數(shù)，模擬次數(shù)為10000次。

然后對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的模擬價(jià)格進(jìn)行平均：

從上述公式可見(jiàn)，影響MC定價(jià)方法的內(nèi)在因素有股票價(jià)格、波動(dòng)率、所余有效期限、執(zhí)行價(jià)格和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利

率。

二、Black-Sholes公式與風(fēng)險(xiǎn)中性的MC定價(jià)方法的比較分析

由于Black-Sholes公式①和MC方法應(yīng)用的公式⑥都來(lái)自Black-Sholes價(jià)格過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的隨機(jī)價(jià)格過(guò)程，所以二者的定價(jià)應(yīng)當(dāng)是一致的，但它們的計(jì)算結(jié)果往往是有差別的，而且權(quán)證的不同內(nèi)在因素的改變對(duì)不同方法的定價(jià)值有不同的影響。

（一）從Black-Sholes公式與風(fēng)險(xiǎn)中性的MC定價(jià)公式的對(duì)各因素的導(dǎo)數(shù)的比較（以歐式看漲權(quán)證為例），分析各因素變動(dòng)對(duì)權(quán)證價(jià)值的不同影響

1、對(duì)有效期的敏感性比較。

比較：θBS和θMC：cBS（表示BS公式確定的權(quán)證價(jià)值）是有效期的增函數(shù)；有效期增加，cMC（表示MC方法確定的權(quán)證價(jià)值）的變化方向不確定。

2、對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的敏感性比較。

由于0＜ρBS＜ρMC，cMC比cBS對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的敏感性更大。

3、對(duì)波動(dòng)率的敏感性比較。

比較vBS和vMC：cBS是波動(dòng)率的增函數(shù)；當(dāng)σ＜ ，cMC是波動(dòng)率的增函數(shù)；當(dāng)σ＞ ，cMC是波動(dòng)率的減函數(shù)。

比較ΔBS和ΔMC：兩種方法對(duì)權(quán)證的定價(jià)都是股票價(jià)格的增函數(shù)，但增加速度不同；隨著S的增加，cBS以ΓBS＝ ＝ ＞0加速上升；隨著S的增加，cMC的增加速度的對(duì)數(shù)服從均值為- T，標(biāo)準(zhǔn)差σ 為的正態(tài)分布。

5、對(duì)執(zhí)行價(jià)格的敏感性比較。

ωBS= ＝-N（d2）e-rT

ωMC＝ ＝-e-rT

比較ωBS和ωMC：由于N（d2）是小于1的數(shù)值，所以隨著K的增大，cBS的下降速度始終慢于cMC；且 =- ＜0，所以K值越大，權(quán)證價(jià)值下降的速度越慢，這就是我們?cè)诤髞?lái)的例子中看到，深度價(jià)外權(quán)證兩種方法定價(jià)相去甚遠(yuǎn)的原因；

而K值越?。⊿遠(yuǎn)大于K，即深度價(jià)內(nèi)權(quán)證），N（d2）趨于1，CBS和CMC趨于一致。

（二）舉例分析各因素變動(dòng)對(duì)權(quán)證價(jià)值的不同影響

設(shè)基準(zhǔn)股票為A，而B(niǎo)、C、D、E、F股票是A股基礎(chǔ)上分別單獨(dú)對(duì)有效期T、漂移率、波動(dòng)率、股票價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格等因素加倍，觀察不同的定價(jià)方法下，各因素變化對(duì)定價(jià)結(jié)果的影響（見(jiàn)表1）。

對(duì)該例的分析如下：

從第一組資料可以看出：相同條件的平價(jià)權(quán)證用B-S模型和MC方法的定價(jià)值相差較大，MC方法定價(jià)始終小于B-S模型定價(jià)；參數(shù)誤差：有效期因素對(duì)MC方法的影響的絕對(duì)值小于對(duì)B-S模型影響；但相對(duì)值影響又大于對(duì)B-S模型的影響。

從第二組資料可以看出：(1)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率的增加一倍后，模型誤差縮小；（2）參數(shù)誤差：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率對(duì)BS模型的影響很小，僅為4.81%；使MC方法定價(jià)增加60.42%。

從第三組資料可以看出：波動(dòng)率增加一倍后，模型誤差拉大，MC方法從小于Black-Sholes模型定價(jià)-74.74%到-82.05；參數(shù)誤差：波動(dòng)率對(duì)Black-Sholes模型定價(jià)有增加42.68%的顯著影響；對(duì)MC方法定價(jià)的影響是增加2.08 %，顯然波動(dòng)率的改變對(duì)B-S模型定價(jià)的影響較大，對(duì)MC 方法影響很小。

從第四組資料可以看出：股票價(jià)格增加一倍后，MC方法定價(jià)與B-S模型定價(jià)差距減少，比B-S模型定價(jià)大3.89%；參數(shù)誤差：股票價(jià)格增加一倍，權(quán)證的BS模型定價(jià)增加近4.5倍，MC方法定價(jià)增加近21倍，所以對(duì)權(quán)證價(jià)值影響最大的因素是股票的價(jià)格；隨著股票價(jià)格的上升，與執(zhí)行價(jià)格的差距增大時(shí)，B-S模型定價(jià)與MC方法定價(jià)差距減小。

從第五組資料可以看出：當(dāng)執(zhí)行價(jià)格遠(yuǎn)大于股票價(jià)格時(shí)，兩種定價(jià)方法的定價(jià)結(jié)果南轅北轍，相距甚遠(yuǎn)；深度價(jià)外權(quán)證用哪種方法定價(jià)有效還有待進(jìn)一步研究。

總之，分析結(jié)果表明，股票價(jià)格比執(zhí)行價(jià)格越大（深度價(jià)內(nèi)權(quán)證），兩種方法的定價(jià)值越趨于一致；執(zhí)行價(jià)格比股票價(jià)格越大（深度價(jià)外權(quán)證），兩種定價(jià)方法的差距也越大；平價(jià)權(quán)證定價(jià)，模型影響也比較大，MC方法的定價(jià)普遍較大幅度地低于BS公式；除價(jià)格外的其它因素對(duì)平價(jià)權(quán)證的兩種定價(jià)方法的影響程度各不相等。對(duì)B-S模型和MC方法權(quán)證定價(jià)影響最大的因素是資產(chǎn)價(jià)格，價(jià)格增加一倍權(quán)證價(jià)值增加分別為4.47和21.08倍；其次是執(zhí)行價(jià)格，減少一倍，價(jià)值分別減少0.847倍和5.38倍。

影響MC方法定價(jià)的最主要因素是資產(chǎn)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率和權(quán)證的有效期；權(quán)證有效期對(duì)MC方法的影響遠(yuǎn)大于BS模型定價(jià)；波動(dòng)率變化對(duì)MC方法定價(jià)的影響很小，僅為2.08%。

影響B(tài)S模型定價(jià)的主要因素是資產(chǎn)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、波動(dòng)率和有效期；這兩個(gè)因素分別加倍后發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率對(duì)B-S定價(jià)的影響（42.68%）大于有效期的影響（23.2%）；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率對(duì)B-S模型定價(jià)的影響比較小，僅為4.81%。

B-S模型的缺陷是：B-S模型雖然充分反映了波動(dòng)率變化對(duì)權(quán)證價(jià)值的影響，但無(wú)風(fēng)險(xiǎn)變化對(duì)權(quán)證價(jià)值的影響反映不足；資產(chǎn)價(jià)格對(duì)權(quán)證價(jià)值的影響反映不足；B-S模型的假設(shè)前提過(guò)分嚴(yán)格，與實(shí)際的市場(chǎng)特征存在距離，是其發(fā)生定價(jià)誤差的重要原因，或者說(shuō)可能存在B-S模型沒(méi)有包含的市場(chǎng)因素，而這些因素對(duì)權(quán)證的價(jià)值有影響，但B-S模型沒(méi)有反映。

MC方法的缺陷是：有效期變化的影響被扭曲。有效期增加后權(quán)證的價(jià)值也增加是合理的，但二方法定價(jià)值之間依然存在較大的差距。波動(dòng)率的影響被扭曲。在其它條件不變的前提下，波動(dòng)率增加1倍，權(quán)證的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避能力因此增加，所以權(quán)證價(jià)值也應(yīng)當(dāng)增加，而應(yīng)用MC方法定價(jià)，權(quán)證價(jià)值幾乎沒(méi)有變化，這是明顯的不足，也說(shuō)明波動(dòng)率越大，MC方法的定價(jià)誤差也越大。

為提高定價(jià)效果，減少樣本方差，筆者還采用Monte Carlo的對(duì)偶變量法進(jìn)行檢驗(yàn)（設(shè)計(jì)步數(shù)為5；次數(shù)為1000。）。開(kāi)始時(shí)筆者用王安興在《金融工程學(xué)》中所介紹的方法構(gòu)造對(duì)偶變量。王安興在文中給出的對(duì)偶變量法應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)是，若輸入和輸出序列存在單調(diào)的函數(shù)關(guān)系，那么輸入序列是負(fù)相關(guān)，則輸出序列也為負(fù)相關(guān)，從而能實(shí)現(xiàn)方差的縮減。方法是首先生成服從正態(tài)分布的隨機(jī)序列{UK}，用來(lái)計(jì)算股票價(jià)格序列，得到期權(quán)的價(jià)值；然后生成服從隨機(jī)數(shù)序列{1-UK}（即對(duì)偶變量），再進(jìn)行期權(quán)價(jià)值的計(jì)算；最后對(duì)兩個(gè)期權(quán)價(jià)值進(jìn)行平均。用這種方法對(duì)新釩鋼權(quán)證定價(jià)時(shí)發(fā)現(xiàn)，新發(fā)行的權(quán)證價(jià)值為0.61；發(fā)行一個(gè)月后再定價(jià)值為2.57元，這與Black-Scholes模型的定價(jià)（1.84和2.15）和權(quán)證的市場(chǎng)價(jià)格(1.771，2.033)都相去甚遠(yuǎn)，除去定價(jià)方法的問(wèn)題，其它的可能原因有：步數(shù)太少；模擬次數(shù)也太少。當(dāng)采用其它文獻(xiàn)推薦的對(duì)偶序列{-UK}后，誤差更大（MC定價(jià)值分別為-0.79和-0.52）。本文限于篇幅沒(méi)有進(jìn)一步對(duì)增加步數(shù)和模擬次數(shù)后這兩種對(duì)偶變量法定價(jià)效果的相對(duì)改變進(jìn)行研究，這一問(wèn)題留待以后探討。

三、研究結(jié)論

分析結(jié)果表明，權(quán)證的不同定價(jià)方法對(duì)相同因素變化的敏感性不同；股票價(jià)格比執(zhí)行價(jià)格越大（深度價(jià)內(nèi)權(quán)證），兩種方法的定價(jià)值越趨于一致；執(zhí)行價(jià)格比股票價(jià)格越大（深度價(jià)外權(quán)證），兩種定價(jià)方法的差距也越大；平價(jià)權(quán)證定價(jià)，模型影響也比較大，MC方法的定價(jià)普遍較大幅度地低于B-S公式；除價(jià)格外的其它因素對(duì)平價(jià)權(quán)證的兩種定價(jià)方法的影響程度各不相等。

參考文獻(xiàn)：

1、王安興.金融工程學(xué)[M].上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2006.

2、陳松男.金融工程學(xué)——金融商品創(chuàng)新選擇權(quán)理論[M].復(fù)旦大學(xué)出版社，2002.

3、張亦春，鄭振龍.金融市場(chǎng)學(xué)[M].高等教育出版社，2003.

（作者單位：對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)國(guó)際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院。其中，侯迎春為該單位博士研究生；門明為該單位教授、博士生導(dǎo)師）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>