一題多解 拓展思路

一道好的證明題往往能激發(fā)思維，拓寬思路.現(xiàn)舉一例說明，原題如下：已知：如圖所示，∠A+∠ABC+∠C

=360°.

求證：AE∥CD.

證法一：如圖1，連接AC.

因?yàn)椤?+∠2+∠ABC+∠3+∠4

=360°，

又因?yàn)樵凇鰽BC中∠2+∠ABC

+∠3=180°，

所以∠1+∠4=180°.

所以AE∥CD.

證法二：如圖2-1，過點(diǎn)B作BF∥AE，則∠A+∠1=180°.

因?yàn)椤螦+∠ABC+∠C=360°，

即∠A+∠1+∠2+∠C=360°，

所以∠2+∠C=180°.

所以BF∥CD.

所以AE∥CD.

或：如圖2-2，過點(diǎn)B作BF∥AE，則∠1=∠A.

因?yàn)椤?+∠2+∠ABC=360°，

又因?yàn)椤螦+∠ABC+∠C=360°，

所以∠1+∠2=∠A+∠C.

因?yàn)椤?=∠A，

所以∠2=∠C，

所以BF∥CD.

因此AE∥CD.

證法三：如圖3，在CD上任取一點(diǎn)F，連接AF.

因?yàn)樵谒倪呅蜛BCF中∠3+∠2

+∠ABC+∠C=360°，

又因?yàn)椤?+∠2+∠ABC+∠C

=360°，

所以∠1=∠3，

所以AE∥CD.

證法四：如圖4，在AE、CD上分別取點(diǎn)F、G，連接FG.

因?yàn)樵谖暹呅蜛BCGF中，

∠A+∠ABC+∠C+∠1+∠2=540°（五邊形內(nèi)角和）.

又因?yàn)椤螦+∠ABC+∠C=360°，

所以∠1+∠2=180°，

所以AE∥CD.

證法五：如圖5，延長(zhǎng)AB、DC相交于點(diǎn)F.

因?yàn)椤螦+∠ABC+∠BCD=360°，∠BCD=∠1+∠F.

所以∠A+∠ABC+∠1+∠F=360°.

又因?yàn)椤螦BC+∠1=180°，

所以∠A+∠F=180°，

所以AE∥CD.

證法六：如圖6，過點(diǎn)C作CF交AB于點(diǎn)G，交EA的延長(zhǎng)線于F.

因?yàn)椤螧AE=∠1+∠F，且∠1=∠2，

所以∠BAE=∠2+∠F.

因?yàn)椤螧AE+∠ABC+∠3+∠4

=360°，

所以∠2+∠F+∠ABC+∠3+∠4

=360°.

因?yàn)樵凇鳎牵拢弥小?+∠ABC

+∠3=180°，

所以∠F+∠4=180°，

所以AE∥CD.

證法七：如圖7，過點(diǎn)B作FG分別交EA、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、G.

因?yàn)椤螧AE=∠F+∠1，∠BCD

=∠2+∠G，

又因?yàn)椤螧AE+∠ABC+BCD

=360°，

所以∠F+∠1+∠ABC+∠2+∠G

=360°.

因?yàn)椤?+∠ABC+∠2=180°，

所以∠F+∠G=180°，

所以FE∥GD，即AE∥CD.

上面介紹了７種證法.證法雖多，但思路只有兩條：一是通過添加平行線，應(yīng)用平行線的性質(zhì)和判定；一是通過分割成三角形或多邊形，應(yīng)用三角形或多邊形的內(nèi)角和定理.掌握了基本思路，你也一定能想出更多的證明方法.