沙漏擺質(zhì)量減小對(duì)其運(yùn)動(dòng)周期的影響

題目 在圓錐形漏斗中灌滿(mǎn)細(xì)沙，并用一定長(zhǎng)度的輕線懸掛起來(lái)做成沙漏擺，如圖1所示。忽略懸線的彈性形變，使沙漏擺在堅(jiān)直平面內(nèi)繞懸點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，同時(shí)細(xì)沙從漏斗中緩緩漏出，此過(guò)程中沙漏擺的周期是否變化？如果變化，其變化又會(huì)遵循怎么的規(guī)律？

解與析 單擺的周期公式為T(mén)=2πl(wèi)/g。一般認(rèn)為單擺周期由擺長(zhǎng)和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葲Q定，與單擺的振幅和擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)。但值得注意的是擺長(zhǎng)l為擺球質(zhì)心到懸點(diǎn)之間的距離。上例中，其質(zhì)心位置由圓錐形漏斗和漏斗內(nèi)的沙子共同決定。當(dāng)沙子緩緩從小孔漏出時(shí)，質(zhì)心位置沿?cái)[線方向先下降后上升，使得擺長(zhǎng)先變長(zhǎng)后變短，故其周期T也先變大后變小。從而表明沙漏擺的質(zhì)量與周期密切相關(guān)。通過(guò)定量計(jì)算，可給出沙子漏出過(guò)程中質(zhì)心位置的變化函數(shù)，從而研究沙漏擺質(zhì)量減小對(duì)其周期的影響。

根據(jù)單擺的周期公式，可知沙漏擺的周期為

T=2πL+l′g(1)

其中L為擺長(zhǎng)線長(zhǎng)度，l′為質(zhì)心到A點(diǎn)之間的距離，如圖1所示。

取圓錐形漏斗的O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示。由沙子的均勻性和漏斗的軸對(duì)稱(chēng)性，漏斗的質(zhì)心和沙子的質(zhì)心均在Z軸上。

首先我們來(lái)計(jì)算圓錐形容器的質(zhì)心位置。由于空心圓錐與質(zhì)量分布均勻的實(shí)心圓錐的質(zhì)心位置是相同的，現(xiàn)設(shè)圓錐的密度為ρ容為一常數(shù)，且底面半徑為R，高度為h，在距O點(diǎn)z處取一薄圓盤(pán)，半徑為r，高度為dz，如圖2所示，則薄圓盤(pán)的質(zhì)量為dm=ρ容πr2dz，將每個(gè)薄圓柱體的半徑r用z的函數(shù)表示出來(lái)為：r/R=z/h，或者有r=zR/h，則圓錐形容器的質(zhì)心坐標(biāo)為：

zc1=∫h0zdmM=∫h0zρ容πr2dzM=ρ容πR2h2∫h0z3dzM

=14ρ容πR2h2M=34h(2)

下面再來(lái)計(jì)算細(xì)沙的質(zhì)心位置，設(shè)某時(shí)刻細(xì)沙的高度為h′，設(shè)沙子的密度為ρ沙，則沙子的質(zhì)量為m沙=13ρ沙πr2h′=ρ沙πR23h2h′3，同理可得，質(zhì)心坐標(biāo)為zc2=34h′(3)

則整個(gè)的擺球的質(zhì)心坐標(biāo)為

zc=m容zc1+m砂zc2m容+m砂=3ρ容h4+3ρ沙h′44ρ容h3+4ρ沙h′3(4)

所以質(zhì)心到A點(diǎn)之間的距離為

l′=h-zc=ρ容h4+4ρ沙h′3h-3ρ沙h′44ρ容h3+4ρ沙h′3 （5）

設(shè)容器的密度為沙子密度的k倍，則上式可以化簡(jiǎn)為：

l′=kh4+4h′3h-3h′44kh3+4h′3(6)

所以單擺周期為

T=2πL+l′g

=2πL+kh4+4h′3h-3h′44kh3+4h′3g(7)

（7）式給出了沙子在漏出過(guò)程中，單擺周期的變化函數(shù)，若取L=1m，h=0.1m，當(dāng)k=0.2和0.5時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件maple繪制l′隨h′的變化函數(shù)，從圖3中從可以明顯看出，質(zhì)心到A點(diǎn)之間的距離先增大后減小，從而根據(jù)（7）式，沙漏擺的周期先增大后減小。

當(dāng)沙子裝滿(mǎn)漏斗時(shí)，沙漏擺的周期為：

Tmin=2πL+l′ming=2πL+h4g=2.031s

上式中l(wèi)′min=h4與k的取值無(wú)關(guān)，隨著沙子漏出，根據(jù)（6）式，l′取到最大值時(shí)，周期也取到最大值。如取k=0.5，，當(dāng)h′=0.0594時(shí)，l′=0.0343m，與k的取值無(wú)關(guān)，此時(shí)沙漏擺的周期為：Tmin=2πL+l′ming=2πL+h4g=2.031s

上面通過(guò)計(jì)算，得到了在沙子漏出過(guò)程中，質(zhì)心坐標(biāo)的變化函數(shù)，從而得出了沙漏擺周期的變化函數(shù)，并用maple清晰的描述了周期的變化規(guī)律，研究了沙漏擺質(zhì)量減少對(duì)其周期的影響。

(欄目編輯 陳 潔)

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