輕彈簧模型淺析

1輕彈簧兩端的彈力大小始終相等

例1（2004全國(guó)理綜Ⅱ18）如圖1所示，四個(gè)完全相同的彈簧都處于水平位置，它們的右端受到大小皆為F的拉力作用，而左端的情況各不相同：①中彈簧的左端固定在墻上；②在彈簧的左端受大小也為F的拉力作用；③中彈簧的左端拴一小物體，物塊在光滑的桌面上滑動(dòng)；④中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在有摩擦的桌面上滑動(dòng)，若認(rèn)為彈簧的質(zhì)量都為零，以l₁、l₂、l₃、l₄依次表示四個(gè)彈簧的伸長(zhǎng)量，則有

A.l₂＞l₁ B.l₄＞l₃

C.l₁＞l₃ D.l₂=l₄

解析上述四種情景各有不同，有平衡態(tài)如①②，也有非平衡態(tài)如③，但不管哪種情景，均可以彈簧為研究對(duì)象，作受力分析圖如圖2所示。

顯然有F-F'=ma?？梢钥闯鰧?duì)輕彈簧由于m=0，所以無(wú)論a是否等于零，均有F=F'。四圖中彈簧彈力均為F，又是完全相同的彈簧，伸長(zhǎng)量必定都相等，答案為D。

由上面的分析可知輕彈簧其質(zhì)量可認(rèn)為為零，這樣不管彈簧處于何種狀態(tài)，其兩端彈力大小始終相等。

例2如圖3所示，一彈簧秤放在光滑水平面上，外殼的質(zhì)量為m，彈簧及掛鉤的質(zhì)量不計(jì)。施以水平力F₁、F₂使其沿F₁方向產(chǎn)生加速度a，則彈簧秤的讀數(shù)為

A.F₁B.F₂

C.12(F₁+F₂)D.ma

解析由前分析知彈簧兩端拉力大小均為F₂，再由牛頓第三定律知彈簧拉外殼的力大小等于F₂。對(duì)外殼由牛頓第二定律得F₁-F₂=ma，F(xiàn)₁＞F₂。但彈簧秤的讀數(shù)與伸長(zhǎng)有關(guān)，等于其一端彈力的大小。所以答案為B。

由此可見(jiàn)，在忽略彈簧質(zhì)量的前提下，不管彈簧秤處于何種狀態(tài)，其讀數(shù)都等于秤鉤一方拉力的大小。

2在彈簧兩端都連著物體或一端連著物體另一端固定時(shí)，由于物體具有慣性，彈簧長(zhǎng)度不能突變，所以彈簧的彈力不能突變

例3如圖4所示，水平繩與輕彈簧共同固定一個(gè)重球。靜止時(shí)彈簧與豎直方向成θ角，現(xiàn)剪斷水平繩，在繩斷瞬間，求重球的加速度。

解析在水平繩未剪斷時(shí)，重球受到重力mg、彈簧的拉力F₁和水平繩的拉力F₂的作用，而處于平衡狀態(tài)，此時(shí)重力的兩個(gè)分力G₁和G₂分別與F₁和F₂平衡，如圖5（甲）所示。在剪斷的瞬間，由于球的位置未改變，則彈簧的長(zhǎng)度沒(méi)有改變，即彈簧的形變未改變，F(xiàn)₁不變。重力和彈力F₁都不變，即重力的兩分力大小方向不變，此時(shí)G₁仍與F₁平衡，如圖5（乙）所示。G₂即為重球所受的合外力，根據(jù)牛頓第二定律，加速度的方向應(yīng)與G₂同向，即水平向左，大小a=G₂/m=（mgtanθ）/m=gtanθ。

上題中若彈簧換成一細(xì)繩，情況則不同，如圖6所示，在水平繩未剪斷前小球的受力情況與圖5（甲）相同。在剪斷水平繩瞬間，由于輕繩的彈力由微小形變產(chǎn)生，它可以發(fā)生突變。水平繩剪斷瞬間，小球以懸點(diǎn)為圓心，沿圓弧擺下，即小球的狀態(tài)發(fā)生了改變。小球存在沿切線方向的加速度。此時(shí)重力mg的作用效果一是產(chǎn)生沿切線方向的加速度，二是與拉力F'₁平衡，受力分析如圖7所示。小球加速度大小a=G₂m=（mgsinθ）/m=gsinθ。方向與繩垂直沿圓弧切線方向。

3輕彈簧一端與物體斷開(kāi)瞬間，其彈力突變?yōu)榱悛?/p>

例4如圖8所示，一重物m懸掛在彈簧下，再用一細(xì)繩固定在天花板上，整個(gè)裝置平衡靜止后，用火焰燒斷細(xì)繩。在繩斷開(kāi)的瞬間，m的加速度為a（忽略彈簧質(zhì)量和空氣阻力）。則：

A.a＜g，方向向下

B.a=g，方向向下

C.a＞g，方向向下

D.a＜g，方向向上

錯(cuò)解認(rèn)為彈簧的彈力在細(xì)線剪斷瞬間前后不變，得出物體的加速度是零。

正解假想在細(xì)繩斷后瞬間彈簧對(duì)物體的彈力不變，則該瞬間物體對(duì)彈簧下端有拉力，這個(gè)拉力作用在無(wú)質(zhì)量的彈簧上，彈簧的加速度將是無(wú)限大，于是彈簧形變的恢復(fù)時(shí)間為零。彈簧的彈力在這里可突變?yōu)榱?。此題答案為B。

例5如圖9所示，豎直光滑桿上套有一個(gè)小球和兩根彈簧，兩彈簧的一端各與小球相連，另一端分別用銷(xiāo)釘M、N固定于桿上，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，設(shè)拔去銷(xiāo)釘M瞬間，小球加速度的大小為12m/s²，若不拔去銷(xiāo)釘M而拔去銷(xiāo)釘N的瞬間，小球的加速度可能是（取g=10m/s²）

A.22m/s²，豎直向上B.22m/s²，豎直向下

C.2m/s²，豎直向上 D.2m/s²，豎直向下

解析未拔銷(xiāo)釘時(shí)小球受兩彈簧彈力和重力作用處于平衡。其中任意兩力的合力與第三個(gè)力大小相等方向相反。拔出M瞬間，上面彈簧彈力突變?yōu)?，小球在重力和下面彈簧彈力的合力作用下產(chǎn)生加速度a=12m/s²，a的方向可能豎直朝上，也可能豎直向下。若豎直向上，則下面彈簧彈力方向豎直向上，由牛頓第二定律有F-mg=ma，彈力大小F=mg+ma。不拔去銷(xiāo)釘M而拔去銷(xiāo)釘N時(shí)，下面彈簧彈力突變?yōu)?，小球受上面彈簧彈力和重力作用，二力的合力與未拔銷(xiāo)釘N時(shí)下面彈簧彈力大小相等方向相反。所以小球的加速度方向豎直向下，大小為a'=（mg+ma）/m=g+a=22m/s²，B答案正確。

若a方向豎直向下，則下面彈簧彈力方向豎直向下，由牛頓第二定律得F+mg=ma，彈力大小F=ma-mg。不拔去銷(xiāo)釘M而拔去銷(xiāo)釘N時(shí)，小球受到的合力與未拔銷(xiāo)時(shí)下面彈簧彈力方向相反，大小相等，所以此時(shí)小球加速度方向向上，大小a'=（ma-mg）/m=a-g=2m/s²，答案C正確。