怎樣分析與解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)是高中物理的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，在歷年的高考試題中幾乎年年都有這方面的考題。因此，如何指導(dǎo)學(xué)生掌握解決此類問題的解法很重要。

帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)。帶電粒子從不同的方向進(jìn)入磁場(chǎng)，它在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)圓弧軌道各有不同。盡管帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌道不同，但解決這類問題的基本思路都是按“一找圓心，二找半徑R=mv/Bq，三找周期T=2πm/Bq或時(shí)間”的規(guī)律解決，其確定的方法如下：

(1)圓心的確定：從勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊緣垂直磁場(chǎng)射入的帶電粒子，它在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡一般不是一個(gè)完整的圓，而是一段圓弧，在實(shí)際問題中圓心位置的確定極為重要。因洛倫茲力F指向圓心，即F⊥v，若已知圓軌道上的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)及帶電粒子在此兩點(diǎn)的速度方向，可分別作這兩點(diǎn)速度方向的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，如圖1。若已知軌跡上兩點(diǎn)，但只知道帶電粒子在其中一點(diǎn)的速度方向，則可先連接這兩點(diǎn)，然后作這兩點(diǎn)連線(實(shí)際上是圓弧的弦)的中垂線，中垂線與另一速度方向垂線的交點(diǎn)即為圓心，如圖2。若已知軌跡上兩點(diǎn)，但帶電粒子在這兩點(diǎn)的速度方向都不知道，在半徑r可由已知條件求出時(shí)，則可分別以這兩點(diǎn)為圓心，以半徑r為半徑畫弧，則兩弧的交點(diǎn)即為圓心（有2個(gè)）如圖3。

(2)半徑的確定和計(jì)算：利用平面幾何知識(shí)，求出該圓的可能半徑(或圓心角α)。并注意以下重要的幾何特點(diǎn)：粒子速度的偏向角(φ)等于圓心角(α)，并等AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍，即φ=α=2θ=ωt如圖4。

(3)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)一周所用時(shí)間的可用公式T=2πm/qB確定，若要計(jì)算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時(shí)間，則可利用圓心角α(如圖4)與弦切角的關(guān)系，或利用四邊形內(nèi)角和360°等計(jì)算出圓心角α的大小，再由表達(dá)式t=α/360°T求出粒子通過該段圓弧所用的時(shí)間，其中T為該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。轉(zhuǎn)過的圓心角越大，所用時(shí)間越長，注意與運(yùn)動(dòng)軌跡的長短無關(guān)。

例1如圖5所示，一束電子(電量為e)以速度v₀垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，射出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與電子原來入射方向夾角為30°，則電子的質(zhì)量是_________，穿過磁場(chǎng)的時(shí)間是_________。

解析電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中只受洛倫茲力作用，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)洛倫茲力的特點(diǎn)可知，圓心必在入射點(diǎn)和出射點(diǎn)速度方向兩垂線的交點(diǎn)上(如圖6所示)。由幾何關(guān)系可得，圓心角θ=30°。在Rt△OBC中，有r=d/sin30°=2d，又r=mv₀/eB， 解之得m=2dBe/v₀，電子穿過磁場(chǎng)的時(shí)間為t=θ/360°#8226;T=1/12×2πm/eB=πd/3v₀。

例2如圖7所示，一帶正電的質(zhì)子從O點(diǎn)垂直射入兩個(gè)板間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知兩板之間的距離為d，板長為d，O點(diǎn)是板的正中間，為使粒子能從兩板間射出，試求磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件(已知質(zhì)子的帶電量為e，質(zhì)量為m)。

解析由于質(zhì)子在O點(diǎn)的速度垂直于NP，所以粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O'，一定位于NP所在的直線上，如果直徑小于ON，則軌跡將是圓心位于ON之間的一個(gè)半圓弧。隨著磁場(chǎng)B的減弱，其半徑r=mv/qB逐漸增大，當(dāng)半徑r=ON／2時(shí)，質(zhì)子恰從N點(diǎn)射出；當(dāng)B減小到某一值時(shí)，質(zhì)子恰從M點(diǎn)射出。如果B再減小，質(zhì)子將打在MQ板上而不能飛出，因此質(zhì)子分別從N點(diǎn)和M點(diǎn)射出是B所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)臨界值。

第一種情況是質(zhì)子從N點(diǎn)射出，此時(shí)質(zhì)子軌跡是半個(gè)圓，半徑為ON/2=d/4

所以R₁=mv₀/qB₁=d/4

B₁=4mv₀/de

第二種情況是質(zhì)子恰好從M點(diǎn)射出，軌跡如圖7中所示。由平面幾何知識(shí)可得：

R₂²=d²+(R2-12d)²①

又R₂=mv₀/qB₂②

由①②得：B₂=4mv₀/5de

所以磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件：

4mv₀/5de≤B≤4mv₀/de

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題型較多，但解題的基本方法都相同，只要按以上思路解題，這類問題是不難解決的。