電量關(guān)系在電磁感應(yīng)中的運(yùn)用例析

電磁感應(yīng)現(xiàn)象中存在著運(yùn)動(dòng)關(guān)系和能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，是聯(lián)系力學(xué)和電學(xué)的紐帶，在高考試題中常常出現(xiàn)綜合題，通常涉及運(yùn)動(dòng)過程分析、穩(wěn)態(tài)速度計(jì)算、能量轉(zhuǎn)化計(jì)算、電路分析計(jì)算等。本文擬從電量關(guān)系的運(yùn)用例談電磁感應(yīng)相關(guān)綜合題的處理。

例1 如圖1所示，在光滑的水平面上，有一豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，分布在寬度為l的區(qū)域內(nèi)?，F(xiàn)有一邊長(zhǎng)為a(其中a＜l)的正方形閉合線框，以垂直于磁場(chǎng)邊界的初速度v0滑過磁場(chǎng)，線框剛好能穿過磁場(chǎng)。則線框在滑進(jìn)磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的熱量Q1和滑出磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的熱量Q2之比為

A.1 ∶1

B.2∶1

C.3∶1

D.4∶1

解析 線框在進(jìn)、出磁場(chǎng)的過程中，切割磁感線運(yùn)動(dòng)而受到向左的安培力。線框做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，完全進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)，滑出過程線框同樣做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)直到剛好滑出磁場(chǎng)。Q1、Q2的產(chǎn)生過程中線框中電流是變化的，因此不能用電流公式直接計(jì)算，宜用動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能求解。

要求動(dòng)能變化就需求線框剛好完全滑進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)速度為v，如何求得v呢？線框受到的是變力做變減速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理都不能直接應(yīng)用，該用什么呢？對(duì)！動(dòng)量定理！

設(shè)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，線框電阻為R，剛好完全滑進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)速度為v，在此過程中線框因受到安培力產(chǎn)生的平均沖量t=mΔv。線框橫截面通過的電量：△Q=t。

即在線框在滑進(jìn)磁場(chǎng)過程中：

1t1=m(v0-v)=BaΔQ1，①

在磁場(chǎng)中，△Q=ΔR②

得1t1=m(v0-v)=BaΔR③

在線框在滑出磁場(chǎng)過程中，同樣有：

2t2=mΔv=BaΔQ2=BaΔR④

2t2=m(v-0)=BaΔQ2⑤

聯(lián)立③⑤兩式，得：v=v02

所以，在線框完全滑進(jìn)磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的熱量：

Q1=12mv20－12mv2=38mv20

在線框完全滑出磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的熱量：

Q2=12mv2=18mv20

得Q1Q2=31，應(yīng)選C項(xiàng)。

通過例1的分析可以看出：磁場(chǎng)中的變加速運(yùn)動(dòng)有一個(gè)核心物理量Q，它一方面聯(lián)系著安培力的沖量，另一方面聯(lián)系著導(dǎo)體棒滑過的距離。

例2 如圖2所示，寬度為L(zhǎng)足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌一端封閉，電阻不計(jì)，水平部分在豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。質(zhì)量為m、電阻為R的導(dǎo)體棒從高度為h的斜軌上從靜止開始滑下，由于在磁場(chǎng)中受安培力的作用，在水平導(dǎo)軌上滑行距離為s而停下。

(1)求導(dǎo)體棒剛滑到水平面時(shí)的速度v0以及在水平導(dǎo)軌上滑行的距離分別為s／4、s／2時(shí)的速度v1、v2；

(2)設(shè)h=5m，B=1T，L=0.1m，m=0.01kg，R=2Ω，g取10m／s2，寫出導(dǎo)體棒在水平導(dǎo)軌上滑行的速度v與距離x的函數(shù)關(guān)系，并畫出v－x關(guān)系圖。

解析 (1)斜軌上導(dǎo)體棒下滑過程：

mgh=12mv20①

水平導(dǎo)軌上棒滑過s的過程：

-BIlt=0-mv0②

q=It=ΔR=BLsR③

由②③得：B2L2sR=mv0④

當(dāng)棒在水平導(dǎo)軌上滑行s4時(shí)：q1=BLs4R⑤

-Bq1L=mv1-mv0⑥

由①④⑤⑥得v1=34v0=342gh

同理，當(dāng)棒滑過s2時(shí)：

v2=12v0=122gh

(2)由⑤⑥式可得v=v0-B2L2xmR

代入數(shù)據(jù)得v=10-x2

圖象如圖3所示。

電量關(guān)系的運(yùn)用為電磁感應(yīng)中求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題提供了一條重要的通道，它不僅適用于單桿滑動(dòng)，雙桿問題同樣可以運(yùn)用。

例3 圖4中兩根足夠長(zhǎng)的平行光滑導(dǎo)軌，相距1m水平放置，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)豎直向上穿過整個(gè)導(dǎo)軌所在的空間。金屬棒ab、cd質(zhì)量分別為0.1kg和0.2kg，電阻分別為0.4Ω和0.2Ω，并排垂直橫跨在導(dǎo)軌上。若兩棒以相同的初速度3m/s向相反方向分開，不計(jì)導(dǎo)軌電阻，求：

(1)金屬棒運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后的ab棒的速度大??；

(2)金屬棒運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定的過程中，回路上釋放出的焦耳熱；

(3)金屬棒運(yùn)動(dòng)剛達(dá)到穩(wěn)定，兩棒間距離增加多少？

解析 (1)ab、cd棒組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，最終具有共同速度v，以水平向右為正方向，則

mcdv0-mabv0=(mcd+mab)v

所以v=1m/s

(2)根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒定律，產(chǎn)生的焦耳熱為:

Q=ΔEK減=(mcd+mab)(v02-v2)/2

=1．2J

(3)對(duì)cd棒運(yùn)用動(dòng)量定理：

-BIL·Δt= mcd (v-v0)

所以BLq = mcd (v0-v)

又 q =Δ/(R1+R2) = BLΔs/(R1+R2)

所以Δs = mcd (v0-v) (R1+R2)/B2L2

= 1．5 m

綜上所述，電量Q在電磁感應(yīng)中常常被作為電學(xué)與力學(xué)的橋梁，由于安培力沖量的特殊性，這類問題處理的方法較特殊，解題時(shí)應(yīng)理解物理規(guī)律的適用條件，根據(jù)題目的不同特點(diǎn)，弄清其中的物理狀態(tài)、物理過程和物理情境，從而采取適當(dāng)?shù)牟呗浴ＯＷx者注意歸納。下面提供三道習(xí)題供參考。

練1 如圖5所示，在光滑的水平面上有兩個(gè)方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直穿過，磁場(chǎng)的寬度均為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，水平面上放有一正方形金屬線框，其邊長(zhǎng)為a(a＜L)，電阻為R。(1)在線框以速度v從磁場(chǎng)區(qū)左側(cè)勻速向右穿過該磁場(chǎng)區(qū)域到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)右側(cè)的過程中，求外力所做的功。(2)若線框從磁場(chǎng)區(qū)左側(cè)以水平向右的某個(gè)初速度進(jìn)入磁場(chǎng)，剛好能從磁場(chǎng)區(qū)右側(cè)全部出來，求線框在進(jìn)入磁場(chǎng)和離開磁場(chǎng)的過程中產(chǎn)生的熱量之比。

練2 如圖6所示，空間存在著一個(gè)范圍足夠大的豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。邊長(zhǎng)為l的正方形金屬框abcd(下簡(jiǎn)稱方框)放在光滑的水平地面上，其外側(cè)套著一個(gè)與方框邊長(zhǎng)相同的U形金屬框架MNPQ(下簡(jiǎn)稱U形框)，U形框與方框之間接觸良好且無摩擦。兩個(gè)金屬框每條邊的質(zhì)量均為m，每條邊的電阻均為r。

(1)將方框固定不動(dòng)，用力拉動(dòng)U形框使它以速度v0垂直于N Q邊向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)U形框的MP端滑至方框的最右端時(shí)，方框上的bd兩端的電勢(shì)差為多大？此時(shí)方框的熱功率為多大？

(2)若方框不固定，給U形框垂直NQ邊向右的初速度v0，如果U形框恰好不能與方框分離，則在這一過程中兩框架上產(chǎn)生的總熱量為多少？

(3)若方框不固定，給U形框垂直NQ邊向右的初速度v(v>v0)，U形框最終將與方框分離。如果從U形框和方框不再接觸開始，經(jīng)過時(shí)間t方框最右端和U形框最左端距離為s，求兩金屬框分離后的速度各多大？

練3 如圖7所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)，電阻r=0.3Ω、質(zhì)量m=0.1kg的金屬棒CD垂直跨擱在位于水平面上的兩條平行光滑金屬導(dǎo)軌上。兩導(dǎo)軌間距也是L，棒與導(dǎo)軌間接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌左端接有R =0.5Ω的電阻，量程為0 ～3.0A的電流表串接在一條導(dǎo)軌上，量程為0 ～1.0V的電壓表接在電阻R的兩端，垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)向下穿過平面?，F(xiàn)以向右恒定外力F使金屬棒右移，當(dāng)金屬棒以v =2m/s的速度在導(dǎo)軌平面上勻速滑動(dòng)時(shí)，觀察到電路中的一個(gè)電表正好滿偏，而另一個(gè)電表未滿偏，問：

(1)此滿偏的電表是什么表？說明理由。

(2)拉動(dòng)金屬棒的外力F多大？

(3)此時(shí)撤去外力F，金屬棒將逐漸慢下來，最終停止在導(dǎo)軌上，求從撤去外力到金屬棒停止運(yùn)動(dòng)的過程中通過電阻R的電量。

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