巧測地球參數

地球半徑、質量、緯度及地球表面重力加速度等參數可以利用高科技手段精確地測量。要求不高時，利用一些簡單的器材就可測出，而且，這也是一組供學生備考用的好試題。

1 測地球半徑和某地的緯度

例1 如圖1所示，古希臘天文學家厄拉多塞內斯(公元前276～前194年)通過長期觀測，發(fā)現6月21日正午時刻，在北半球A城陽光與鉛直方向成7.2°角向下。與A城地面距離為L的B城陽光恰好沿鉛直方向向下，射到地球的太陽光可視為平行光，據此他估算出了地球的半徑(稱為弧度測量法)。試寫出估算地球半徑的表達式R=____________。

解析 B城與A城的地面距離L可看成兩地間的弧長，因為太陽光可看成平行光，故兩地間的弧所對的圓心角就是7.2°，可得：

7.2°360°=L2πR ∴R=25Lπ

例2 我國唐代天文學家和佛學家僧一行(本名張遂683－727年)借助于曲尺和北極星巧妙地測出了地球的半徑。如圖2所示，直角曲尺的角上系一重錘線OG，一人在甲地手持曲尺，調整OA邊的方向，使視線沿著OA邊剛好對準北極星，同時曲尺要處于豎直面內，量出此時BO邊與重錘線的夾角為a(單位為度)；北邊與甲地在同一條經線上的乙地也進行同樣的測量，量出此時BO邊與重錘線的夾角為b。事先已測出甲、乙兩地的地面距離為L，試根據以上數據求出甲、乙兩地的緯度和地球的半徑R。

解析 地心與北極星的連線SC就是地球自轉的軸，因為北極星離地球非常遙遠，它射向地球的星光可看成平行光，這樣BO就看成與SC垂直，而與赤道平面平行，所以BO邊與重錘線的夾角a就等于甲地的緯度。同理可得乙地的緯度等于b，甲、乙兩地所對的地球圓心角為b-a。有：b-a360°=L2πR ∴R=360°b-a·L2π

例3 海灘邊是一座峭壁，先測得峭壁頂距海灘的高度為h。日落時分，一人趴在海灘上觀察落日，當太陽完全消失在海平面上時，按下手中的秒表開始計時，當趴在峭壁頂上的人看到太陽完全消失時，打一個手勢或者用手機通知海灘上的人停止計時，設測得的時間為t，求地球半徑R的值。

解析 如圖3所示，當擦著地平線的太陽光AB射到峭壁上的人眼B時，海灘上的人已從A處隨地球自轉到C處，轉過的圓心角設為θ(單位rad)，則有：θ2π=t24×3600；在直角三角形OAB中，OB=R+h，地球半徑R=(R+h)cosθ。R的值即可求出。

例4 在地面上以速率 豎直向上發(fā)射一發(fā)子彈，經時間t落回拋出點；經觀測得到一顆靠近地球表面運行的人造衛(wèi)星的周期為T。試求出地球的半徑(用上述已知量表示)。

解析 豎直上拋運動總時間：t=2v0g，可測出重力加速度g；地球引力對衛(wèi)星提供向心力，地面附近引力可認為等于mg，有mg=mR(2πT)2；即可求出地球的半徑：R=2v0T24π2t。

2 測重力加速度

測重力加速度g的方法有：單擺法或雙線擺法(4π2L/T2)；稱掛法(F/m)；自由落體法或平拋法(2h/t2)；滴水法(2n2h/t2)；紙帶落體法(Δx/T2)；豎直上拋法(2v0/t)；近地衛(wèi)星法(4π2R/T2)；密立根油滴法(qU/md)；此外，還可以用光學方法測量g。

例5 (1987年瑞典全國物理競賽實驗題)有一只容器，盛滿水，在一只轉臺上旋轉，水面呈拋物面，轉速較低時，拋物面可用球面近似，至少在轉軸附近可以球面代替。用光學方法求出重力加速度g。提供的設備有：帶有容器的轉臺、小電燈、屏幕、卷尺和停表。

測量方法：讓轉臺以較小的轉速旋轉，手拿屏幕和小電燈(燈在下面緊帖屏幕)，把燈沿豎直轉軸上下移動，直到在屏幕上緊靠燈處看到小燈清晰的實像，用卷尺量出此時小燈離水面的距離為R；再用停表記錄轉臺轉若干圈的時間，測出轉臺轉動的周期為T。

測量原理：小燈通過水面(球面鏡)反射成像，當在屏幕上緊靠燈處看到小燈清晰的實像時，小燈離水面的距離R就等于水面的曲率半徑。研究水面上離轉軸距離為r(轉速較小且rR )處的質量為m的水滴，水滴與小燈連線偏離豎直方向的夾角設為θ，則

水面對水滴的支持力和重力的合力提供轉動所需要的向心力，有

可得重力加速度

3 測地球的質量

例6 某人在一定高度處沿水平方向拋出一小球，經時間t小球落到水平地面，測得拋出點與落地點之間的距離為L，若拋出時的初速增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為3L。已知萬有引力常量為G，利用例3的方法已測得地球半徑為R，試用上述物理量表示出地球的質量M。

解析 拋出點高度設為h，第一次平拋的水平射程為x，有x2+h2=L2①

第二次平拋運動有：(2x)2+h2=(3L)2②

豎直方向有：h=12gt2③

小球質量設為m，有mg=GMmR2④

聯(lián)立以上各式可解得 M=23LR23Gt2

例7 一人先在地面上用彈簧秤稱得質量為m的砝碼重量為F，觀測得到靠近地球表面飛行的人造衛(wèi)星的環(huán)繞周期為T，引力常量G已知，試求出地球的質量。

解析 地球半徑設為R，砝碼的重量：

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