圓周運動問題歸類例析

1 傳動問題

用皮帶、鏈條等傳動時，在不打滑的情況下，應緊緊抓住輪子邊緣的線速度相等，同一轉(zhuǎn)軸物體上各點的角速度相等，利用圓周運動線速度與角速度的關系求解。

例1 如圖1所示為一皮帶傳送裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r，b點在小輪上，它到小輪中心的距離為r，c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上。若在傳動過程中皮帶不打滑，則( )

A．a(chǎn)點與b點的線速度大小相等

B．a(chǎn)點與b點的角速度大小相等

C．a(chǎn)點與c點的線速度大小相等

D．a(chǎn)點與d點的向心加速度的大小相等

解析 右輪和大輪通過皮帶傳動，va=vc，故選項C正確。又小輪和大輪在同一轉(zhuǎn)動物體上，故ωb=ωc=ωd，又v=ωr，所以vc=2vb。因此va=2vb，即選項A錯。又ω=vr，故ωa=2ωc ，所以ωa=2ωb，即選項B錯。由a=v2r，得aa=2ac。由a=ω2r，得ad=2ac，因此aa=ad，故選項D正確。

答案：C、D

例2 如圖所示為一種“滾輪——平盤無極變速器”的示意圖，它由固定于主動軸上的平盤和可隨從動軸移動的圓柱形滾組成，由于摩擦的作用，當平盤轉(zhuǎn)動時，滾輪就會跟隨轉(zhuǎn)動。如果認為滾輪不會打滑，那么主動軸轉(zhuǎn)速ｎ1、從動軸轉(zhuǎn)速ｎ2、滾輪半徑ｒ以及滾輪中心距離主動軸軸線的距離ｘ之間的關系是

A．n2=n1xr

B．n2=n1rx

C．n2=n1x2r2

D．n2=n1xr

解析 由滾輪不會打滑可知主動輪上的平盤與可隨從動輪移動的圓柱形滾輪的接觸點線速度相同，所以v1=v2，由此得x·2πn1=r·2πn2，所以n2=n1xr，故選項A正確。

答案：A

例3 圖甲所示為測量電動機轉(zhuǎn)動角速度的實驗裝置，半徑不大的圓形卡紙固定在電動機轉(zhuǎn)軸上，在電動機的帶動下勻速轉(zhuǎn)動。在圓形卡紙的旁邊垂直安裝一個改裝了的電火花計時器。

關閉電動機，拆除電火花計時器；研究卡紙上留下的一段痕跡(如圖乙所示)，寫出角速度ω的表達式______________。

解析 由于卡紙圓盤和電動機是同軸轉(zhuǎn)動，而電火花計時器的打點時間間隔是相同的，測出n個點對應的圓心角θ，轉(zhuǎn)過θ角所用時間就為(n-1)t，t為打點時間間隔。

答案：ω=θ(n-1)t(θ為ｎ個點對應的圓心角，ｔ為打點時間間隔)

2 物體做勻速圓周運動的問題

由于勻速圓周運動僅是速度方向變化而速度大小不變，故只存在向心加速度，物體受到外力的合力就是向心力?？梢?，合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，是物體做勻速圓周運動的條件。解決這類題目的關鍵是在正確受力分析的基礎上明確向心力來源，再依據(jù)向心力公式列出牛頓第二定律的方程進行求解。

例4 如圖所示細繩一端系著質(zhì)量為M=0.6kg的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量為m=0.3kg的物體，M的重心與圓孔距離為r=0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為Fm=2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速度ω在什么范圍內(nèi)m處于靜止狀態(tài)？(g=10m/s2)

解析 設物體M和水平面保持相對靜止，當ω具有最小值時，M有向著圓心O運動的趨勢，故水平面對M的摩擦力方向背離圓心向外，且等于最大靜摩擦力。

由m靜止FT=mg

對于M，由牛頓第二定律得：

代入數(shù)據(jù)得： ω1=2.9rad/s

當ω具有最大值時，M有離開圓心的趨勢，水平面對M摩擦力的方向指向圓心，由牛頓第二定律得：

代入數(shù)據(jù)得： ω2=6.5rad/s

故ω的范圍是2.9rad/sω6.5rad/s

例5 兩個粒子，帶電荷量相等，在同一勻強磁場中只受洛倫茲力而做勻速圓周運動，則( )

A．若速率相等，則半徑必相等

B．若質(zhì)量相等，則周期必相等

C．若動量相等，則半徑必相等

D．若動能相等，則周期必相等

解析 由qvB=mv2r，則r=mvqB，故選項C正確。因為m不一定相等，故選項A錯。由T=2πrv，結合r=mvqB，故推出T=2πmqB，所以選項B正確。又mv=(2mEk)12，故選項D錯誤。

答案：B、C

3 物體做變速圓周運動的問題

速度大小發(fā)生變化，向心加速度和向心力大小都會發(fā)生變化，求物體在某一點受到的向心力時，應使用該點的瞬時速度。在變速圓周運動中，合外力不僅大小隨時改變，其方向也不沿半徑指向圓心。合外力沿半徑方向的分力提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向，合外力沿軌道切線方向的分力，使物體產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小。

例6 用長L=1.6m的細繩，一端系著質(zhì)量M=1kg的小球，另一端掛在固定點上?，F(xiàn)有一顆質(zhì)量m=20g的子彈以v1=500m／s的水平速度向小球中心射擊，結果子彈穿出小球后以v2=100m／s的速度前進。問小球能運動到多高？(取g=10m／s2，空氣阻力不計)

解析 在水平方向動量守恒，有

例7 將一個小球用一根不可伸長的輕繩豎直懸掛并靜止于最低點。第一次用水平向左的力打擊小球后，小球沿圓弧運動到某一位置后只能沿原路返回；當小球返回到最低點時，又受到一個水平力的第二次打擊，兩次打擊的時間Δt相等，若第一次的平均打擊力F1=10N，欲使小球經(jīng)第二次打擊后能通過圓周的最高點，第二次的平均打擊力F2至少是多少？

解析 在最低點對小球應用動量定理得：

FΔt=mv1

要使F2最小，則第一次上升的最高點應與懸點等高，設做圓周運動的半徑為R，則應有：

mgR=mv212

要使F2最小，則第二次打擊應選在小球第二次返回到最低點時。這樣打擊力與小球的速度方向相同。在最低點，對小球應用動量定理得：

F2Δt=mv2-mv1

在最高點對小球應用牛頓第二定律得：

mg=mv23R

又從第二次剛打擊后到最高點，應用機械能守恒定律得：mv222=mv232+2mgR

聯(lián)立以上各式解得：F2=5.81N

例8 長為L的輕繩一端固定于O點，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，把球拉至豎直面的最高點A，以v0=(gL2)12的水平速度推出。求小球經(jīng)過最低點時繩子的拉力。

解析 因為v0 ＜(gL)12 ，所以小球先做平拋運動。設小球與O點的連線和水平方向的夾角為θ時，繩子剛好拉緊。運用平拋規(guī)律得：

Lcosθ=v0t

L(1-sinθ)=12gt2

解得：θ=0，此時 vx=v0=12gL

vy=2gL

由于繩子瞬時拉緊，故vx立刻減小為零。從繩子瞬時拉緊到小球運動到最低點，對小球應用機械能守恒定律得：

12mv2y+mgL=12mv2

在最低點，對小球應用牛頓第二定律得：

T-mg=mv2L

聯(lián)立以上各式解得：T=5mg

例9 質(zhì)量為m的小球，用輕軟繩系在邊長為a的正方形截面木柱的頂角A處(木柱水平，圖中斜線部分為其豎直橫截面)，如圖2，軟繩長為4a，軟繩所能承受的最大拉力為T=7mg，軟繩開始時拉直并處于水平狀態(tài)。問此時至少應以多大的初速度豎直下拋小球，才能使繩繞在木柱上且各小段均做圓周運動最后擊中A點。

解析 在最低點，對小球應用牛頓第二定律得：T-mg=mv21R1

由上式可看出，R1小時，T大，繩子易斷。故小球在最低點時，應取以B為圓心，即R1=3a，并保障繩子不能被拉斷。

設開始下拋的初速度為v0，從開始至最低點應用機械能守恒定律得：

12mv20+mg×4a=12mv21

聯(lián)立以上三式可得： v0=10ag

若小球恰好能通過最高點，則在最高點處有：mg=mv22R2 ，由該式可見R2最大時，通過最高點所需v2越大，故應取C點為圓心，即R2=2a，才能完成圓周運動。

從開始至最高點應用機械能守恒定律得：

12mv20=12mv22+mga

聯(lián)立以上各式可解得： v0=2ga

故所求為：2ga ＜v0＜10ag

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