微元法——一種基本的物理數(shù)學(xué)方法

摘 要：本文闡述了微元法，及其從微元的角度去理解一些物理概念、定義，概括出適用于微元法求解的兩大類題目，并點(diǎn)明了用微元法解題的一般思路及注意點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：微元；對象；求和

中圖分類號：G633.7

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-6148(2007)11(X)-0004-4

微元法是解決物理問題的基本思想方法，它貫穿于高中階段的物理知識體系，滲透于一些物理概念、公式中。取微元作為研究對象，可準(zhǔn)確地描述變化的物理過程中瞬間狀態(tài)，微元再求和更是解決物理過程中變量積累問題的重要方法，也是高考命題熱點(diǎn)。

1 物理概念中滲透微元法的基本思想

平均速度只是粗略地描述物體運(yùn)動快慢，要準(zhǔn)確的描述物體運(yùn)動快慢，應(yīng)該用瞬時速度。課本中瞬時速度定義是：運(yùn)動物體在某時刻(某一位置)的速度，可進(jìn)一步理解為：平均速度=st中，當(dāng)時間非常短接近于零，表示某一瞬時，或位移非常小，表示某一點(diǎn)的速度。這里時間非常短，或位移非常小，已滲入了取時間微元或位移微元的思想。勻速直線運(yùn)動指：任何相等的時間內(nèi)位移相等。這里“任何相等的時間”也包含了很短的時間微元，當(dāng)然也可取較長的時間段。但若把“任何相等的時間”取為彼此相鄰或相隔一定時間間距的較長時間段時，這種情況下若位移相等，就不一定做勻速直線運(yùn)動了。當(dāng)“任何相等時間”取為很短的時間微元時，不管各時間微元之間間距如何，只要在此內(nèi)位移相等，也就是瞬時速度相等，那么就一定是勻速直線運(yùn)動，從這個角度來講，用微元法來描述勻速直線運(yùn)動更加直接，當(dāng)然也可以取位移微元來研究。同樣地描述物體運(yùn)動狀態(tài)改變時，加速度a=ΔvΔt，若t取得較長，a只是這段時間內(nèi)的平均加速度，只能粗略地描述速度變化的快慢，只有當(dāng)t取很小的時間微元時，才能反映出各時刻速度的變化，即瞬時加速度。在實(shí)際應(yīng)用中，如火箭發(fā)射升空、衛(wèi)星返回，往往是非勻變速運(yùn)動，工程技術(shù)人員要掌握和控制的是瞬時速度、瞬時加速度才有意義。另外瞬時功率，瞬時沖量等也是如此。在電磁感應(yīng)中，閉合線圈中的感應(yīng)電動勢ε=nΔφΔt，當(dāng)t取得較長時，ε是該段時間內(nèi)的平均感應(yīng)電動勢，當(dāng)t取為很小的時間微元時，才準(zhǔn)確反映某一時刻的感應(yīng)電動勢。所以要描述某些變化過程中的物理量，取時間微元或位移微元來定義或研究，會更加準(zhǔn)確、透徹。

2 微元法在解題中的應(yīng)用

2.1 以微元為研究對象

對于連續(xù)變化過程中要求解任意點(diǎn)的某個量，而變化過程沒有明確的起始點(diǎn)和終點(diǎn)，或所求點(diǎn)與起始點(diǎn)和終點(diǎn)不能用公式相互聯(lián)系起來，以全過程為研究對象無濟(jì)于所求問題，取微元為研究對象時又能找到該微元上各物理量之間的聯(lián)系，這類問題就要考慮選取微元為研究對象。

例1 如圖1所示，汽車以速度v勻速行駛，當(dāng)汽車到達(dá)P點(diǎn)時，繩子與水平方向的夾角為θ，此時物體m的速度大小為多少?

例2 一艘帆船在靜水中由于風(fēng)力的推動做勻速直線運(yùn)動，帆面的面積為S，風(fēng)速為v1，船速為v2(v2

析與解 風(fēng)吹帆面是一個連續(xù)的過程，而且題意中每時每刻情況相同，無法取全過程，顯然只能用微元法。如圖3所示，取吹到帆面上的空氣微元體為研究對象，選帆面為參照物，則經(jīng)時間t后，微元體速度由v1-v2變?yōu)榱?，空氣微元體的質(zhì)量為：

根據(jù)牛頓第三定律可知，帆面受到的平均風(fēng)力在數(shù)值上等于空氣微元體受到作用力為F。

例3 如圖4所示，質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)均勻帶電，總電量為Q，圓環(huán)半徑為R，質(zhì)量為m，把該環(huán)平放在絕緣光滑的水平面上，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向豎直向下。當(dāng)該環(huán)繞通過環(huán)心的豎直軸以角速度ω順時針旋轉(zhuǎn)時，環(huán)中張力多大?

析與解 該環(huán)上每一點(diǎn)的運(yùn)動情況都相同，各點(diǎn)受力情況也相同，取整個環(huán)為研究對象顯然求不出環(huán)內(nèi)張力，只能用微元法。在環(huán)上截取弧長很短的一段L圓弧作為微元，其對應(yīng)的圓心角為θ，其質(zhì)量Δm=m2πRΔL，其電量Δq=Q2πRΔL。對這一小段圓弧作受力分析：

洛侖茲力f沿θ的角平分線向外，環(huán)內(nèi)張力T沿微元左右兩點(diǎn)的切線方向，T在f反方向的分力為TsinΔθ2。

這一小段圓弧做勻速周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律有：

注意 θ很小時三角函數(shù)中的近似公式sinθ≈θ，tanθ≈θ在微元法中常用。

2.2 取微元為研究對象再求和

功是力在位移上的積累，沖量是力對時間的積累，位移是速度在時間上對時間的積累，電量是電流對時間的積累，一些習(xí)題中常需要求解一個變化量對另一個量的積累。如非勻速運(yùn)動的位移，變力做功，非恒定電流流過導(dǎo)體中的電量等。解這類問題需要具體問題具體分析，微元法是基本方法之一。取微元，再結(jié)合微元的物理意義，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，特別是運(yùn)用圖象面積求得微元之和。運(yùn)用該方法在解題中破解難點(diǎn)，找到捷徑常常十分有效。

例4 如圖5所示，質(zhì)量為m的動力小車以恒定的速度v沿半徑為R的豎直圓軌道運(yùn)動。已知小車與軌道間動摩擦因數(shù)為μ，則小車從軌道最底點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中摩擦力所做的功為多少?

析與解 這是一個變力做功問題，不能直接用功的計算公式求解，常用方法有：動能定理、功能原理和圖象法。分析該題已知條件可知，用前兩種方法無法解決。考慮先求得功微元再對這些微元求和。小車運(yùn)動到某一位置時的受力情況如圖6。小車與軌道間的滑動摩擦力f=μN(yùn)，小車做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力由軌道的支持力與小車重力沿半徑方向的分力的合力提供，即：

例5 (06年江蘇高考)如圖8所示，頂角θ=45°的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿導(dǎo)軌MON向右運(yùn)動，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長度的電阻均為r。導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌的接觸點(diǎn)為a和b，導(dǎo)體棒在滑動過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸。t=0時，導(dǎo)體棒位于頂角O處，若在t0時刻將外力撤去，求導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時的坐標(biāo)x。

析與解 審題可知，導(dǎo)體棒的速度在不斷變化，導(dǎo)體棒的有效長度也在不斷變化，受力在變化，導(dǎo)體棒做變加速運(yùn)動，用牛頓力學(xué)結(jié)合運(yùn)動學(xué)求位移顯然不行。能否通過求面積來求得位移呢?求面積自然想到取微元再求和。取足夠短的時間微元t，在t內(nèi)導(dǎo)體棒的運(yùn)動當(dāng)作勻速運(yùn)動處理，同時將微元過程導(dǎo)體棒的有效長度、回路中的電動勢、電阻、電流等均視為一定，把微元過程回路變化的梯形面積視為矩形面積，再對這些矩形元求和。

取導(dǎo)體棒滑行時間t的微元過程，由動量定理得：

本題還可以用動能定理、能量守恒定律等求解，但基本思想方法都是取微元求和。

在用微元法求解過程中，要能洞察物理量之間的聯(lián)系，如It→q，vt→x，xx→S，Rθ→L，使式子向題中所求的結(jié)論或結(jié)果方向組合，而這點(diǎn)往往是整個題中的難點(diǎn)所在。同時對取微元后涉及到的物理量變與不變要有辯證的理解，如勻變速直線運(yùn)動中，在時間微元t內(nèi)可認(rèn)為速度是不變的，但位移是變化的，如求非恒定電流的電量時，在時間微元t內(nèi)可認(rèn)為電流是不變的，但電量是變化的等。

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