淺談感應(yīng)電動勢計算公式的適用范圍

高中物理教材中關(guān)于感應(yīng)電動勢的計算公式一般認(rèn)為有兩個：E=△φ/△t和E= BLvsinθ。它們都是法拉第電磁感應(yīng)定律的數(shù)學(xué)公式表現(xiàn)形式，可以用來計算感應(yīng)電動勢的大小。但對于這兩個公式的真正物理含義及適用范圍，有些學(xué)生還是模糊，以致于在求感應(yīng)電動勢問題時出現(xiàn)錯解。現(xiàn)就這一知識點做如下闡述，希望對學(xué)生提高認(rèn)識有所幫助。

1 關(guān)于E=△φ/△t

嚴(yán)格地說，公式E=△φ/△t不能確切地反映法拉第電磁感應(yīng)定律的物理含義。教材中法拉第電磁感應(yīng)定律是這樣闡述的：電路中感應(yīng)電動勢的大小跟穿過這一電路的磁通量的變化率成正比。而表達式△φ/△t所表示的物理意義應(yīng)為：磁通變化量與發(fā)生此變化所用時間的比值，這與磁通變化率是不能等同的，只有在△t →0時，△φ/△t的物理意義才是磁通量的變化率。由于中學(xué)階段沒有涉及微積分，故教材用E=△φ/△t來表示法拉第電磁感應(yīng)定律是完全可以的。但我們必須清楚：用公式E=△φ/△t求得的感應(yīng)電動勢只能是一個平均值，而不是瞬時值。這是因為△和△t都是某一時間段內(nèi)的對應(yīng)量而不是某一時刻的對應(yīng)量，所以直接用此公式求得的E為△t時間內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的平均值。

2 關(guān)于E= BLvsinθ

公式E=BLvsinθ是由公式E=Δφ/Δt推導(dǎo)而來（具體推導(dǎo)過程祥見教材）。此公式適用于導(dǎo)體在勻強磁場中切割磁力線而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的情況，其實質(zhì)是由于導(dǎo)體的相對磁力線運動（切割磁力線），使回路所圍面積發(fā)生變化，使得通過回路的磁通量發(fā)生變化從而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。可以認(rèn)為公式E=BLvsinθ 所表示的物理意義是法拉第電磁感應(yīng)定律的一種特殊情況。用此公式求得的E可為平均值也可為瞬時值：若v為某時間段內(nèi)的平均速度，則求得的E為相應(yīng)時間段內(nèi)的平均感應(yīng)電動勢；若v為某時刻的瞬時速度，則求得的E為相應(yīng)時刻的瞬時感應(yīng)電動勢。一般用此公式來計算瞬時感應(yīng)電動勢。

下面舉一例題來進一步說明公式E=Δφ/Δt和公式E=BLvsinθ 的適用范圍。

3 例題分析

如圖1所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌固定在水平桌面上，每根導(dǎo)軌每米的電阻為r， 導(dǎo)軌的端點P、Q用電阻可忽略的導(dǎo)線相連，兩道軌間距為L。有隨時間變化的勻強磁場垂直于桌面，已知磁感應(yīng)強度B與時間t的關(guān)系為B=kt ( k為常數(shù)，且k＞0)，一電阻不計的金屬桿可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導(dǎo)軌垂直。在t=0時刻，金屬導(dǎo)軌緊靠P、Q端，在外力作用下以大小為a的恒定加速度從靜止開始向?qū)к壍牧硪欢嘶瑒樱笤趖=T時刻回路中的感應(yīng)電動勢大小。

3.1 易錯解法1：t=0時穿過回路的磁通量：φ₁=0

t=T時穿過回路的磁通量：

φ₂ =BS=kT#8226;aT²/ 2#8226;L= ka LT³/2

T時刻回路中的感應(yīng)電動勢：E=Δφ/Δt=(φ₂ -φ₁) / (T-0) = ka LT²/2

錯解分析 題目要求計算t=T時刻的瞬時感應(yīng)電動勢，而公式E=Δφ/Δt只能用于計算平均感應(yīng)電動勢，所以上述解法所得結(jié)果為0-T時間段內(nèi)回路的平均感應(yīng)電動勢而不是T時刻的瞬時感應(yīng)電動勢。

3.2 易錯解法2：E=BLvsinθ= kT#8226;L#8226;aT#8226;sin 90°= ka LT²

錯解分析 此解法求得結(jié)果為T時刻單由導(dǎo)體切割磁力線而產(chǎn)生的瞬時感應(yīng)電動勢大小，而忽視了B也是變化的。在T時刻B是有變化趨勢（增大）的，這個變化趨勢導(dǎo)致回路磁通量有一個變化趨勢（增大），從而要產(chǎn)生一個感應(yīng)電動勢。上述解法正是由于忽視了這個感應(yīng)電動勢而導(dǎo)致錯誤。

3.3 正確解法：T時刻由于金屬桿切割磁力線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢：

E₁=BLvsinθ= kT#8226;L#8226;aT#8226;sin 90°

= ka LT²

T時刻由于B變化而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢：

E₂=Δφ/Δt=S#8226;ΔB /Δt = aT²/ 2#8226;L#8226;(kT- 0) / (T- 0) = ka LT²/ 2

由楞次定律可知不管B的方向是垂直桌面向里還是向外，E1、E2方向相同。所以T時刻回路中的感應(yīng)電動勢：

E=E₁+E₂ = 3ka LT²/ 2

思路分析 本題給出的裝置若B不隨t變化，當(dāng)金屬桿做切割磁力線運動時則金屬桿中有感應(yīng)電動勢產(chǎn)生；若金屬桿靜止不動，磁場隨時間變化則對金屬桿和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路磁通量隨時間變化，回路中也有感應(yīng)電動勢產(chǎn)生。現(xiàn)金屬桿在隨時間變化的磁場中做切割磁力線運動，任何時刻，金屬桿都在做切割磁力線運動；任何時刻，磁場的變化都引起回路磁通量的變化。所以，兩種因素產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢同時存在，回路中的感應(yīng)電動勢應(yīng)包括這兩部分電動勢，可分別求得：對于由金屬桿做切割磁力線運動而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E₁可將T時刻的B、v值代入公式E=BLvsinθ求得；對于由B變化而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E₂是由公式E=Δφ/Δt間接求得的。這是因為本例中的B是均勻變化的，僅由均勻變化的磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢是恒定的，所以T時刻由B均勻變化而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢在數(shù)值上等同于：金屬桿靜止不動，保持回路面積為T時刻時的回路面積不變即S= aT²/ 2#8226;L，B由0均勻變化到kT過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的平均值。這個平均感應(yīng)電動勢可由公式E=Δφ/Δt求得。

綜上所述：

（1）公式E=Δφ/Δt適用于直接計算某時間間隔內(nèi)感應(yīng)電動勢的平均值，也可間接用于計算由均勻變化磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的瞬時值。

（2）公式E=BLvsinθ一般適用于計算導(dǎo)體在勻強磁場中切割磁力線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的瞬時值。