“對(duì)稱性原理”在靜電學(xué)中的應(yīng)用

物理是一門自然學(xué)科，它包括了世間的各種現(xiàn)象，力的、光的、電的、磁的等等。要學(xué)好這門課，就得有科學(xué)的方法和技巧，而“對(duì)稱性”是物理學(xué)中一種重要的方法，有著廣泛地應(yīng)用。從哲學(xué)的角度來看，世界的事物都是一分為二的，把它用到物理上其實(shí)就是對(duì)稱性。

事實(shí)上， 對(duì)稱現(xiàn)象廣泛存在于各種事物之間，結(jié)構(gòu)對(duì)稱、物像對(duì)稱，時(shí)間對(duì)稱、空間對(duì)稱，點(diǎn)對(duì)稱、軸對(duì)稱等等，分析解決問題時(shí)，抓住事物的對(duì)稱性采取一些變通，常常會(huì)使復(fù)雜的問題簡單化。

利用對(duì)稱法的關(guān)鍵在于尋找研究對(duì)象的對(duì)稱性特點(diǎn)，在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過直覺思維，或借助對(duì)稱原理的啟發(fā)進(jìn)行聯(lián)想類比，來分析挖掘研究對(duì)象在某些屬性上的對(duì)稱性特點(diǎn)。本文僅就對(duì)稱法在靜電學(xué)中的應(yīng)用作一些分析。

1 帶電圓環(huán)產(chǎn)生的電場的場強(qiáng)計(jì)算

有一個(gè)均勻帶電圓環(huán)，半徑為R，所帶電量為Q，圓環(huán)軸線上距環(huán)心（O點(diǎn)）r處有點(diǎn)P。求P點(diǎn)場強(qiáng)。

分析 本例具有軸對(duì)稱性，利用對(duì)稱性易于求出軸線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)。在圓環(huán)上取一小段（可看成點(diǎn)電荷），所帶電量，

ΔQ=Q/2πRΔl

它在P點(diǎn)產(chǎn)生的分場強(qiáng)為：

ΔE=kQΔl/2πR(r²+R²)

圓環(huán)上小電荷產(chǎn)生場強(qiáng)的平行于軸的分量

ΔEX=ΔEcosθ

垂直于軸的分量則因環(huán)上對(duì)稱小電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)等大反向而相互抵消。

所以，所求P點(diǎn)的合場強(qiáng)為

2 均勻帶電球殼（球體）內(nèi)外的電場

如圖2所示，均勻帶電球殼所帶電量為Q，求球殼內(nèi)部的場強(qiáng)。

分析 過P點(diǎn)作兩個(gè)頂角很小的對(duì)頂圓錐面，在球殼上截出兩個(gè)近似圓形的小球殼面A、B，（可看成點(diǎn)電荷），由幾何相似形，可得出A、B的面積和它們到P點(diǎn)的距離的平方成正比，而球面A、B所帶電量與面積成正比，故有：

根據(jù)庫侖定律，可知點(diǎn)電荷qA、qB在P點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)是互相抵消的。用同樣的方法，結(jié)合對(duì)稱性，可知均勻帶電球殼內(nèi)部的場強(qiáng)處處為零。

如果討論的是球體，由于內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，內(nèi)部不存在自由電荷，自由電荷均勻分布在球體外表面，故其結(jié)果同上。

更為有趣的是，根據(jù)對(duì)稱性和矢量疊加原理，球殼（球體）外部任意點(diǎn)P（如圖3所示）的場強(qiáng)為（數(shù)學(xué)知識(shí)超出高中要求，此處略去）：

式中r為OP的距離，Q為球殼的帶電量。

上述結(jié)果表明，在研究球體外部的場強(qiáng)時(shí)，可以把均勻帶電球殼看成是電量集中在球心處的點(diǎn)電荷，而與帶電體的半徑無關(guān)。

3 缺損圓環(huán)產(chǎn)生的電場

有時(shí)在解題中沒有直接的“對(duì)稱”模式可循，這就需要根據(jù)題意，選取適當(dāng)?shù)膶?duì)象，構(gòu)造出一個(gè)“對(duì)稱”模型。正面解比較難，而用了對(duì)稱理論從側(cè)面就容易解決問題。

如圖4所示，半徑為r的圓環(huán)，其上帶有均勻分布的正電荷，單位長度的電荷為q，現(xiàn)截去圓環(huán)一小段圓弧AB，（圓弧長L<

解析 圓環(huán)缺損后，部分失去了對(duì)稱性。但注意到，圖中除與A′B′對(duì)稱部分AB缺失外，其余部分仍是對(duì)稱的，它們?cè)诃h(huán)心處產(chǎn)生的場強(qiáng)為零，從而整個(gè)環(huán)在環(huán)心處產(chǎn)生的場強(qiáng)等效于A′B′在環(huán)心處產(chǎn)生的場強(qiáng)，其方向?yàn)榄h(huán)心指向缺口處，大小為：

當(dāng)然，也可用“挖補(bǔ)法”來解決。設(shè)想將缺失的帶電圓環(huán)再補(bǔ)上，根據(jù)對(duì)稱性，圓心O處的場強(qiáng)應(yīng)當(dāng)為零，即缺口圓在O處的場強(qiáng)與截弧AB在O處的場強(qiáng)等值反向。

4 無限大導(dǎo)體板的靜電感應(yīng)問題

一塊無限大導(dǎo)體板，左側(cè)接地，在右側(cè)離板d的A處放置一個(gè)源負(fù)電荷q，求靜電平衡后①板上感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)部任意點(diǎn)P產(chǎn)生的場強(qiáng)；②感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外部任意點(diǎn)P`產(chǎn)生的場強(qiáng)；③證明導(dǎo)體表面附近處的合場強(qiáng)垂直于導(dǎo)體表面；④求源電荷-q受到的庫侖力。

分析 ①因?yàn)殪o電平衡后導(dǎo)體內(nèi)部合場強(qiáng)為零，所以感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)部任意點(diǎn)P產(chǎn)生的場強(qiáng)必然和-q在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)等大方向，從而相互抵消。若A到P的距離為rA，則：

E感A=kq/r²A;（方向如圖5）

②根據(jù)對(duì)稱原理，感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外部任意點(diǎn)P′產(chǎn)生的場強(qiáng)一定和感應(yīng)電荷在對(duì)稱點(diǎn)P″產(chǎn)生的場強(qiáng)鏡像對(duì)稱，若A到P″的距離為rB，則

E感B=kq/r²B;（方向如圖6）

③根據(jù)上面的討論，若將P′取在導(dǎo)體外表面，此處的電場由E_-q和E感B疊加而成，不難看出，合場強(qiáng)垂直于導(dǎo)體表面，如圖7所示。

④假若在導(dǎo)體內(nèi)部取與-q所在點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，則A′的場強(qiáng)由E_-q和E感疊加為零，由對(duì)稱性可知，A處的E感′和A′處的E感應(yīng)等大反向，所以-q所受的電場力為：

從以上分析看出，對(duì)導(dǎo)體外部而言，感應(yīng)電荷的作用和在與源電荷A的對(duì)稱位置A′處放上一個(gè)等量異種電荷的效果是完全等效的，這就是根據(jù)“對(duì)稱性原理”得出的，也稱為“電像法”。值得注意的是，從上述①看出，該法對(duì)導(dǎo)體內(nèi)部是不適用的。

由此可見，“對(duì)稱性”理論能給我們的解題帶來極大的方便，以上幾例知識(shí)小試牛刀，其他較深入運(yùn)用還需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)實(shí)踐中慢慢領(lǐng)悟和體會(huì)。

對(duì)稱法作為一種具體的解題方法，雖然高考命題沒有單獨(dú)正面考查，但是在每年的高考命題中都有所滲透和體現(xiàn)，從側(cè)面體現(xiàn)考生的直觀思維能力和客觀的猜想推理能力.既有利于高校選拔能力強(qiáng)素質(zhì)高的優(yōu)秀人才，又有利于中學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生的學(xué)科素質(zhì)和美學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng).作為一種重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命題中必將有所體現(xiàn)，希望在學(xué)習(xí)過程中予以重視和理解。