變力做功問題歸類例析

功的求解是高中物理教學的重點和難點之一，恒力做功可用公式W=Fscosα來求解，但如果是變力做功，即力的大小或方向在做功過程中發(fā)生了變化，就很難套用該公式了。而學生遇到此類做功的問題時，常常感到很棘手。現(xiàn)就中學階段出現(xiàn)的變力做功問題進行歸類例析，以期達到拋磚引玉之功效。

1 平均值法

有一些變力，如彈簧彈力雖然大小隨位移變化而變化，但是它們的變化關系是線性關系，可以用力的初始值F₁和末狀態(tài)值F₂的平均值=F₁+F₂/2來計算變力所做的功。

例1 如圖1所示，輕彈簧一端與豎直墻壁連接，另一端與一質量為m的木塊連接，放在光滑的水平面上，彈簧的勁度系數(shù)為k，彈簧處于自然狀態(tài)。用水平力緩慢拉物體，使物體前進x，求這一過程中拉力對物體做了多少功？

解析 緩慢拉動物體，可認為物體處于平衡狀態(tài)，故拉力等于彈力大小，有

F=kx，

而彈簧的彈力為變力，與彈簧的形變量成正比，在題設條件下，彈力的初始值為F₁=0，終值為F₂=kx，可用平均力=0+kx/2=kx/2求功，有

W=F#8226;s=kx/2#8226;x=1/2kx²。

2 分段法

有些力（如摩擦力、空氣阻力），在曲線運動（如往返運動中）過程中所做的功并不等于力和位移的乘積，而是力與路程的乘積，這類力的功可分段考慮求解。

例2 如圖2所示，質量為m的物體以一定初速度滑上斜面，上滑到最高點后又沿原路返回。已知斜面傾角為θ，物體與斜面的動摩擦因數(shù)為μ，上滑的最大高度為h。則物體從開始滑上斜面到滑回到原出發(fā)點的過程中摩擦力做功又是多少？

解析 因為上滑與下滑時摩擦力方向相反（上滑時沿斜面向下，下滑時沿斜面向上），全程不是恒力，所以不能把全程位移s=0代入W=F#8226;scosα計算全程的摩擦力所做的功。所以要分段運算，然后求和。依題意有

W_f上滑＝f#8226;scosα=-μmgcosθ#8226;h/sinθ

=-μmghcotθ，

W_f下滑＝f#8226;scosα=-μmgcosθ#8226;h/sinθ

=-μmghcotθ。

所以有

W_總＝W_f上滑＋W_f下滑＝-2μmghcotθ。

3 研究對象轉換法

根據(jù)題設的條件轉換研究對象，從而將求變力所做功的問題轉化成求恒力所做功的問題。

例3 人在A點拉著繩通過離地面的高度為h光滑定滑輪，吊起質量m的物體，如圖3所示，開始繩與水平方向的夾角為α，當人勻速地提起物體由A點沿水平方向運動到達B點，此時繩與水平方向成β角，求人對繩的拉力所做的功。

解析 人對繩的拉力大小雖然始終等于物體的重力，但方向卻時刻在變化，無法利用恒力公式直接求出人對繩的拉力所做的功，若轉換研究對象就不難發(fā)現(xiàn)，人對繩的拉力所做的功與繩對物體的拉力所做的功相同，而繩對物體的拉力是恒力，滑輪離地面的高度為h。人由A走到B的過程中，物體G上升的高度等于滑輪右側的繩子增加的長度，即

Δh=h/sinβ-h/sinα。

人對繩子做的功為

W=Fs=GΔh，即W=Gh(1/sinβ-1/sinα)。

4 微元累積法

將物體的位移分割成許多小段，因為小段很小，每一小段上作用在物體上的力可以視為恒力，這樣就將變力做功轉化為在無數(shù)多個無窮小的位移上的恒力所做元功的代數(shù)和。此法在中學階段，常應用于求解力的大小不變、方向改變或者方向不變、大小改變的變力做功問題。

例4 在水平面，有一彎曲的槽道⌒AB ，槽道由半徑分別為R2和R的兩個半圓構成，如圖4所示，現(xiàn)用大小恒為F的拉力將一光滑小球從A點沿槽道拉至B點，若拉力F的方向時時刻刻均與小球運動方向一致，則此過程中拉力所做的功為多少？

解析 拉力F沿槽道轉動過程中，力的大小雖然不變，但方向不斷變化，不能直接使用公式W=Fscosα進行計算。但是我們可以用微元分割法，把整個運動過程分割成n個微過程，這樣就把軌道(⌒AB)分割成n段小弧，使每一小段弧都可以看成這段弧的切線，即可以看成是這段的位移，其中每小段的弧長為Δs=3/2πR/n。這樣，由于F的大小不變，加之與位移的方向相同，因而對每小段圓弧均可為恒力做功，所以拉力F做元功為

ΔW=F#8226;ΔS=F#8226;3/2πR/n，

所以由A到B過程中拉力F所做總功為

W=W₁+W₂+…+W_n=F#8226;s₁+F#8226;s₂+…+F#8226;s_n=nΔW=3/2πFR。

5 圖象法

在題設情況下，如果能找出力F與位移s的函數(shù)關系，則在F－s的直角坐標系中，做出F隨s變化的圖象，那么，圖象與橫坐標軸所圍成的圖形的面積即是F對物體在某一段位移上所做功的數(shù)值。

例5 如圖5所示，長度為l、質量為m的均勻的繩，一段置于水平的足夠高的光滑桌面上，另一段a垂于桌面上，當繩下滑全部離開桌面時，求重力所做的功。

解析 開始使繩下滑的力是a段繩所受的重力，此后下垂的繩逐漸增大，使下滑的力也逐漸增大，且隨下垂段的增大成線性增大，所以這是一個變力做功的問題。由于繩的質量為m，開始使繩下滑的力是a段繩所受的重力F=almg，當繩全部離開桌面時，繩下滑的位移是l-a，且此時下滑力是整條繩所受的重力mg。在此區(qū)間使繩下滑的重力均勻地增加，如圖6所示。那么，重力做的功在數(shù)值上就等于圖線所包圍的梯形面積，即

W=1/2#8226;（almg+mg）#8226;(l-a)

=mg(l²-a²)/2l。

6 W=Pt公式法

根據(jù)功率恒定，求變力的功可用W=Pt來求解。

例6 一輛質量為m汽車在平直的公路上以額定功率從靜止開始加速行駛，經(jīng)過一段時間t前進了一段距離s，此時恰好達到其最大速度vm，設汽車所受的阻力是車重的n(n<1)倍，則在這段時間里，發(fā)動機所做的功。

解析 因機車的功率恒定，當機車從靜止開始達到最大速度的過程中，由F=Pv可知牽引力不斷減小，當速度達到最大值時，機車所受牽引力達到最小值，與阻力相等。在這段時間內機車所受阻力可認為是恒力，但牽引力是變力。由于在加速到最大速度過程中，功率保持不變，所以有

W=Pt，（1）

而當汽車達到最大速度時，汽車將以vm做勻速直線運動，有

F=f=nmg，（2）

同時額定功率為

P=F#8226;v_m，（3）

聯(lián)立（1）（2）（3）解得

W=nmgv_mt。

7 動能定理法

由動能定理可知，外力對物體所做的功等于物體動能的變化，即Ｗ_外＝ΔＥ_ｋ，Ｗ_外系指物體受到的所有外力（外力可為恒力，但也可為變力）對物體所做功的代數(shù)和，ΔＥ_ｋ是物體動能的變化量。

例7 如圖7所示，質量為m的物體用細繩經(jīng)過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動，拉力為某值F時，轉動半徑為R，當拉力逐漸減小到F/4時，物體仍做勻速圓周運動，半徑為2R，則外力對物體所做的功大小是多少？

解析 該題中繩的拉力顯然是變力，這里應用動能定理來求解．設當繩的拉力為F時，小球做勻速圓周運動的線速度為v₁，則有

8 機械能守恒定律法

我們知道，物體只受重力和彈力作用或只有重力和彈力做功時，所研究的系統(tǒng)的機械能守恒。如果重力和彈力中有一個力是變力，這個變力所做的功就可用機械能守恒定律求解。

例8 圖8所示是一個橫截面為半圓，半徑為R的光滑柱面，一根不可伸長的細線兩端分別系物體A、B，且mA=2mB，由圖示位置由靜止開始釋放A物體，當B物體達到半圓頂點時，求繩的張力對物體B所做的功。

解析 在B物體達到半圓頂點過程，繩的張力是變力，但由于柱面是光滑的，故系統(tǒng)的機械能守恒。所以要求出繩的張力對物體B做的功，關鍵求出B到達圓柱頂點時的動能，由機械能守恒可知，系統(tǒng)重力勢能的減少等于系統(tǒng)動能的增加。

系統(tǒng)勢能的減小量為

ΔE_p=mAgπR/2-mBgR，

系統(tǒng)動能的增加量為

ΔE_k=1/2(m_A+m_B)v²，

由ΔE_p=ΔE_k得

v²=23(π-1)gR，

繩的張力對B球做的功

W=1/2mBv²+mBgR

=π+2/3mBgR

9 功能原理法

機械能守恒定律告訴我們，在只有重力和彈力做功時，系統(tǒng)的機械能守恒。言下之意，如果除重力和彈力之外的其它力對物體也做功，系統(tǒng)的機械能就會發(fā)生變化，而且這些力做了多少功，系統(tǒng)就有多少機械能發(fā)生轉化，這就是功能原理。如果這些力是變力或只有一個變力做功，而其它力對物體做的功和系統(tǒng)機械能的變化量容易求得，就可以用功能原理求解變力做功問題。

例9 如圖9所示，一人用定滑輪吊起一個質量為M的物體，繩子每單位長的質量為ρ，試求人將物體從地面吊起高度為L 的過程中所做的最小功。

解析 假定物體被勻速吊起，人將物體從地面吊起的過程中，人的拉力可表示為

T=Mg+ρgx，

式中x為豎直方向繩的余長。當物體上升時，繩的余長x減小，T減小，因而T為變力，故本題屬變力做功問題。在本題中用功能原理求解比較方便。

設繩的重量全面集中在它的重心上，物體升高高度為L時，繩的重心上升L/2，產(chǎn)，以ΔE₁、ΔE₂分別為物體和繩的機械能增量，則系統(tǒng)機械能的增量為

ΔE=ΔE₁+ΔE₂，

由功能原理知，人的拉力所做的功為

W=ΔE=ΔE_P1+ΔE_k1+ΔE_P2+ΔE_k2，

當ΔE_k1=ΔE_k2=0時，即緩慢提升物體時Ｗ最小，即

W_min=ΔE_P1+ΔE_P2，即

W_min=MgL+L/2ρgL

=(M+1/2ρL)gL。

10 能量轉化和守恒定律法

電磁感應的過程總是伴隨著能量轉化的過程，在某些有做功過程的電磁感應問題中，可以從能量的角度考慮問題，利用能量的轉化和守恒定律來求解變力的功。

例10 如圖10所示，一個固定的無限長平行絕緣軌道處在相互垂直的勻強電場E和勻強磁場B中，方向如所示。物體A的質量為m，帶電量為+q，A與軌道的動摩擦因數(shù)是μ，求A從靜止開始下滑到具有最大速度而滑行距離為s的過程中，摩擦力所做的功。

解析 物體開始下滑時，其受力如圖11所示，當下落速度v增大時，洛侖茲力FB變大，側面支持力FN變小 ，摩擦力 f減小，所以加速度增大；當電場力FE

當物體有最大速度vm時有

mg=μ(qv_mB-qE)，（1）

又由能量轉化和守恒定律得摩擦力做的功為

W=-(mgs-1/2mv²m)，（2）

聯(lián)立（1）（2）解得

W=-mgs+1/2m(mg/μqB+E/B)²。

在上述實例中，從不同的角度、用不同的方法闡述了求解變力做功的問題。在教學中，通過對變力做功問題的歸類討論，有利于提高學生靈活運用所學知識解決實際問題的能力，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，開闊學生解題的思路。