分類例析“波的圖象”問題

波的圖象是《機(jī)械波》一章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，縱觀歷屆的高考試卷，幾乎年年都有關(guān)于波的圖象的題目。在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時，多數(shù)學(xué)生對波的圖象的理解常感到較困難，遇到問題束手無策。本文就常見的波動問題進(jìn)行歸類分析，并總結(jié)出解題的思路和方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)時參考。

1 判定波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn)的振動方向

有一類問題是：已知波的傳播方向，判定某質(zhì)點(diǎn)的振動方向；或者反過來已知某質(zhì)點(diǎn)的振動方向，判斷波的傳播方向。解答、判斷這類問題的方法很多，但最簡捷的方法有下列兩種。

1.1 作圖法

如圖1所示，畫出了沿x 軸正方向傳播的一列簡諧波，在某一時刻波上各個質(zhì)點(diǎn)的振動方向。如果我們把波的傳播方向分別畫在波上各振動質(zhì)點(diǎn)上，如圖2所示。由圖可知，“（波峰和波谷兩質(zhì)點(diǎn)除外）所有質(zhì)點(diǎn)的振動方向都與波的傳播方向互相垂直，而且v振與v傳在波形圖線的同一側(cè)”。應(yīng)用這一方法很容易判斷出下面例題1所要求的問題。

例1、如圖3所示，是一列向右傳播的簡諧橫波在某一時刻的波形圖，試判斷圖中A、B兩質(zhì)點(diǎn)的振動方向。

解析 根據(jù)作圖法的規(guī)定首先在波上畫出A、B兩質(zhì)點(diǎn)傳播方向，然后再在A、B兩質(zhì)點(diǎn)所在曲線的同一側(cè)（外側(cè)）畫出波的振動方向，如圖4所示， 顯而易見，此波上A、B兩質(zhì)點(diǎn)的振動方向分別為A向下、B向上。

1.2 逆向描畫波形法

由圖1可以看出，如果我們手握一支筆，逆著波的傳播方向描畫波形，凡描畫時筆尖沿波形向上經(jīng)過的質(zhì)點(diǎn)，此刻均向上運(yùn)動；凡描畫時筆尖沿波形向下經(jīng)過的質(zhì)點(diǎn)，此刻均向下運(yùn)動（波峰和波谷除外）。

例2 一列簡諧橫波在x軸上傳播，某時刻的波形圖如圖5所示，a 、b 、c為三個質(zhì)元，a 正向上運(yùn)動。由此可知（ ）

A．該波沿x 軸正方向傳播

B．c 正向上運(yùn)動

C．該時刻以后，b比c先到達(dá)平衡位置

D．該時刻以后，b比c先到達(dá)離平衡位置最遠(yuǎn)處

解析 由逆向描畫波形法可知，此列波向右傳播，該時刻以后，b質(zhì)元向上運(yùn)動、c質(zhì)元向下運(yùn)動，b比c先到達(dá)平衡位置。顯而易見AC選項正確。

例3 一列簡諧橫波沿x軸傳播，T=0時的波形如圖6所示，質(zhì)點(diǎn)A與質(zhì)點(diǎn)B相距1m，A點(diǎn)速度沿y軸正方向；t=0.02s時，質(zhì)點(diǎn)A第一次到達(dá)正向最大位移處。由此可知( )

A．此波的傳播速度為25m/s

B．此波沿x軸負(fù)方向傳播

C．從t=0時起，經(jīng)過0.04s，質(zhì)點(diǎn)A沿波傳播方向遷移了1m

D．在t=0.04s時，質(zhì)點(diǎn)B處在平衡位置，速度沿y軸負(fù)方向

解析 圖6中A點(diǎn)的振動方向向上，由逆向復(fù)描波形法可知，此列波沿x軸負(fù)方向傳播。波長λ=2m，周期T=0.08s，波速v=25m/s。AB選項正確。

同學(xué)們也可以運(yùn)用作圖法解答（本文略）。

對于“已知某時刻波形圖上某質(zhì)點(diǎn)的振動方向，求波的傳播方向”的問題，同樣可以利用上述兩種簡便方法進(jìn)行判斷。

例4 簡諧橫波某時刻的波形圖如圖7所示。由此圖可知（ ）

A．若質(zhì)點(diǎn)a向下運(yùn)動，則波是從左向右傳播的

B．若質(zhì)點(diǎn)b向上運(yùn)動，則波是從左向右傳播的

C．若波從右向左傳播，則質(zhì)點(diǎn)c向下運(yùn)動

D．若波從右向左傳播，則質(zhì)點(diǎn)d向上運(yùn)動

解析 運(yùn)用上述逆向復(fù)描波形法可立即判定出B、D正確。

2 已知波的圖象，求某質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)

例5 一列沿x方向傳播的橫波，其振幅為A，波長為λ，某一時刻波的圖象如圖8所示。在該時刻，某一質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為(λ，0)，經(jīng)過四分之一周期后，該質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為( )

A．5/4λ，0B．λ ，－A

C．λ，AD．5/4λ，A

解析 如圖7所示，波上P質(zhì)點(diǎn)此刻的坐標(biāo)為(λ，0)，由于此列波向右傳播，據(jù)逆向描畫波形法可知，此刻質(zhì)點(diǎn)P向下運(yùn)動。再過1/4周期，它運(yùn)動到負(fù)向最大位移處，其坐標(biāo)變?yōu)?λ，-A)，顯然選項B正確。

3 作波形圖

例6 一列簡諧橫波向右傳播，波速為v。沿波傳播方向上有相距為L的P、Q兩質(zhì)點(diǎn)，如圖9所示。某時刻P、Q兩質(zhì)點(diǎn)都處于平衡位置，且P、Q間僅有一個波峰，經(jīng)過時間t，Q質(zhì)點(diǎn)第一次運(yùn)動到波谷。則t的可能值 （ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

解析 解答本題，必須做出在題設(shè)條件下可能的波的圖形，然后才能作出判定。題中指出：“某時刻P、Q兩質(zhì)點(diǎn)都處于平衡位置，且P、Q間僅有一個波峰”，符合這一條件的波形圖有4個，如圖10所示。顯然，Q質(zhì)點(diǎn)第一次運(yùn)動到波谷所需的時間t的可能值有4個。故D選項正確。

4 已知波的圖象求波速問題

“已知一列簡諧波在t和t+Δt時刻的波形圖，求波速的可能值”。解答這一類題目，應(yīng)明確以下兩個問題：①隨著時間的延長波形圖沿波動方向平移，當(dāng)傳播nλ（或nT）后的波形跟原波形重合。②在題目中沒有明確給出波的傳播方向時，則應(yīng)該考慮波傳播方向的兩種可能性。

例7 下圖11中實線是一列簡諧波在某一時刻的波形圖線。虛線是0.2ｓ后它的波形圖線。這列波可能的傳播速度是_________。

解析 由圖可知，波長λ=4m，當(dāng)波向右傳播方向時，Δx₁=1m，在t=0.2s內(nèi)波傳播的距離可能為x₁=nλ+Δx₁

v₁=x₁/t=nλ+Δx₁/t=4n+1/0.2=20(n+1/4)m/s(n=0、1、2、3 ……)

當(dāng)波向左傳播方向時，

Δx₂=3m， x₂=nλ+Δx₂

v₂=x₂/t=nλ+Δx₂/t=20(n+3/4)m/s(n=0、1、2、3 ……)

5 波的圖象與振動圖象相聯(lián)系的波動問題

例8 一列簡諧橫波沿x軸負(fù)方向傳播，圖12是t = 1s時的波形圖，圖13是波中某振動質(zhì)元位移隨時間變化的振動圖線(兩圖用同一時間起點(diǎn))，則圖13可能是圖12中哪個質(zhì)元的振動圖線？（ ）

A．x = 0處的質(zhì)元

B．x = 1m處的質(zhì)元

C．x = 2m處的質(zhì)元

D．x = 3m處的質(zhì)元

解析 由圖18的振動圖象可以確定：① t=1s時質(zhì)元的位移為零；② t=1s時質(zhì)元的振動方向向下。由圖17的波動圖象可以確定，波沿x軸負(fù)方向傳播時，位于平衡位置且向下運(yùn)動的恰是出的質(zhì)元。顯而易見，A選項正確。

評注 波動和振動是密切相聯(lián)的，從波的圖像中可以發(fā)現(xiàn)質(zhì)元振動的信息；從振動的圖像中可以發(fā)現(xiàn)波動有關(guān)的信息。只要我們能認(rèn)真的讀圖、析圖，就能快速找到解答問題的突破口。

例9 一簡諧波沿x軸正方向傳播。已知軸上x₁=0和x₂=1m兩處的振動圖線分別如圖14(1)和(2)所示。又知此波的波長大于1m，則此波的傳播速度v=______m/s。

思路 欲求波的傳播速度，應(yīng)先求出波的波長，為求波長，應(yīng)該畫出此波的波動圖象。

解 根據(jù)兩質(zhì)點(diǎn)的振動圖象，可畫出此波在時刻的波形圖，如圖15所示。在波的傳播方向上，兩質(zhì)點(diǎn)的距離為3/4λ，因本題的限制條件是波長大于1m，故波長λ只有唯一的解。即3/4λ=1m，λ=4/3m。因此波速為v=λ/T=4/3/4×10^-3=333m/s

拓展 若本題沒有波長λ>1m的限制條件，兩質(zhì)點(diǎn)的距離是最大波長的3/4，則有：nλ+3/4λ=1，故波速為：

v=λ/T=1000/4n+3m/s(n=0、1、2、3 ……)