兒童的數(shù)學思維呈現(xiàn)怎樣的嚴密性

周東明

數(shù)學具有抽象性、嚴密性和應(yīng)用廣泛性的特點，這些特點在小學數(shù)學中同樣表現(xiàn)得十分充分。長期以來，數(shù)學的抽象性頗受小學數(shù)學教育研究者以及一線教師的重視，數(shù)學的嚴密性被關(guān)注的程度則要遜色得多。事實上，數(shù)學嚴密性的具體特征與兒童數(shù)學思維之間的沖突，已經(jīng)給日常教學造成了很大的麻煩。研究二者的關(guān)系，對提高兒童的數(shù)學思維品質(zhì)和數(shù)學素養(yǎng)都有著極其重要的價值，對改善當前的小學數(shù)學教育也具有十分重要的意義。

一、兒童的數(shù)學思維：不嚴密中的嚴密性。

所謂嚴密，就是沒有空隙之意。我們說數(shù)學具有嚴密性的特點，就是說數(shù)學概念準確，沒有歧義；數(shù)學證明講究邏輯，無空子可鉆；數(shù)學的敘述、符號的使用有一套規(guī)范的系統(tǒng)。

數(shù)學是嚴密的，但兒童由于其身心尚處在發(fā)展之中，其思維水平還不能達到數(shù)學嚴密性所要求的程度。通過觀察小學生在數(shù)學學習中的表現(xiàn)，我們不難發(fā)現(xiàn)，在兒童不甚嚴密的數(shù)學思維中，也存在嚴密性的一些主要特征。

1.相信直觀感覺。

俗話說：眼見為實，耳聽為虛。這句話強調(diào)了眼睛所看到的“事實”的重要性。對于小學低年級學生來說，他們還不能將主體與客體區(qū)分開來，思考問題時，更相信自己的直觀感覺，相信自己所看到的現(xiàn)實情景。下面關(guān)于平行和垂直的例子就很典型。圖1（a）和圖2（a）是目前教材中讓學生認識平行和垂直時所呈現(xiàn)的“標準”圖形，這也是學生大腦中“平行和垂直”的樣子，他們并不承認圖1（b）和圖2（b）也是平行和垂直的。因為，這與他們先前所看到的平行和垂直的樣子不相同。再如，在認識10以內(nèi)數(shù)的時候，認識數(shù)字“幾”就可以看到教材上有幾個具體的實物圖形（人、動物、小棒等），學生通過數(shù)一數(shù)的活動，很容易接受。但在認識比10大的數(shù)字時，如果也還是用“數(shù)”實物個數(shù)的方法，他們能接受（見圖3）；可是一旦將10根小棒捆成一捆，剩余的小棒擺在旁邊時（如圖4所示），他們就有點不習慣，難以接受，這是因為表示法不直觀所致。相信直觀感覺，不是因為他們的思維不嚴密，而恰恰是兒童思維嚴密性的重要體現(xiàn)。就像圖1，老師說b圖所表示的兩條直線是平行的，可在他們眼里，這兩條直線明明是“斜的”，怎么會是平行的呢？他們才不會“輕信”老師的結(jié)論呢！可見，他們的思維還是很“嚴密”的。

2.重視外在形式。

重視外在形式是兒童數(shù)學思維嚴密性的第二個特征。如果說相信直觀感覺是兒童數(shù)學思維的第一級水平的話，重視外在形式則可稱為第二級水平。他們這時的思維已經(jīng)有了初步的邏輯性，只是過于重視外表，而不太注意內(nèi)容，或者說過于注重形式而容易忽視本質(zhì)。例如，在初步認識分數(shù)時，盡管老師很強調(diào)“平均分”（我相信老師們都能做到這一點），但到具體問題時，下面的情況時有出現(xiàn)。

例如：用分數(shù)表示下列圖形中的陰影部分。

《人民教育》2006年第3～4期上刊登了一篇文章《追問學校數(shù)學與生活數(shù)學的分野》，文中談到一個教師在教學“三角形穩(wěn)定性”過程中出現(xiàn)的情況：教師讓學生把三角形和四邊形木架拉一拉，體驗三角形的穩(wěn)定性?？赡苁悄炯茚?shù)貌焕喂?，一個學生將四邊形木架拉成了如圖6所示的三角形，并由此斷定“有的三角形沒有穩(wěn)定性”。文章作者從這一事例出發(fā)，討論了學校數(shù)學與生活數(shù)學之異同。本文無意討論這個話題，只是覺得這個例子能較好地說明學生思維的嚴密性。本例中，學生將木架自如地在四邊形和三角形之間轉(zhuǎn)換，從而“發(fā)現(xiàn)”了自己的結(jié)論。學生得出這種結(jié)論并沒有錯，因為他是通過比較后得出的，而比較是數(shù)學思維的重要方式之一。這說明他在思考，只是思考時重視了外在的東西而已。其實，拉的活動、形狀的變化都是表面現(xiàn)象，他并沒有去思考三角形的概念（本質(zhì)），倘若當時教師要求他在拉木架時，由兩根木條組成的“線段”必須始終保持是一條完整的線段的話，他也許就得不出那個結(jié)論了。

3.認同合情推理。

所謂合情推理，簡而言之，就是“合理的猜測方法”①。它與論證推理不同，論證推理是嚴格的數(shù)學理論建立的基礎(chǔ)，但它與論證推理之間又有一定的聯(lián)系，因為數(shù)學理論（結(jié)論及相應(yīng)的證明）靠合情推理才得以發(fā)現(xiàn)，它們之間是相輔相成的關(guān)系。

限于學生的年齡、心理及知識水平，小學數(shù)學中的許多理論（主要是結(jié)論）并不是基于嚴格的邏輯推理而得出的，相反，主要是基于簡單的歸納方法。一般采用的方式就是通過實際操作、演示或舉出一個能“證明”結(jié)論的例子，在此基礎(chǔ)上歸納、概括出相應(yīng)的結(jié)論。同時，限于篇幅，操作、演示也好，舉例也罷，一般都只有一個，而且是非常理想化的狀態(tài)，但小學生都很認同這樣的結(jié)論，他們認為這樣的結(jié)論是可靠的。像前面提到的那位學生，他只是通過一個不牢固的四邊形與三角形之間的形狀變化，就得出了“有的三角形不具有穩(wěn)定性”這一結(jié)論。他并沒有考慮到這只是一個特例，也沒有去思考造成這個特例的原因（釘子釘?shù)貌焕喂袒蛘呤亲约河昧μ投鴱娦懈淖兞怂倪呅蔚男螤睿?，更沒有去思考為什么別的同學的四邊形木架沒有被拉成三角形。他只看到了這一個事實，就得出了那個結(jié)論，在他的思維中，這是合情合理的。因為，他平時從教師、教材那里獲得數(shù)學結(jié)論的方式就是這樣的。

再如，在講解圓錐體的體積公式時，大多是通過將兩個等底等高的圓柱與圓錐進行比較（通過實際的倒沙子、倒水等操作過程或者用多媒體課件演示），在教師的引導下，得出圓錐體的體積公式。其實，這只是一個驗證性的實驗，但學生對此卻深信不疑，因為事實擺在面前，有些事實的獲得還是他們親自實驗得到的，怎么會錯呢？

上述事例都說明了小學生數(shù)學思維嚴密性的一個特征———認同合情推理。

4.單維度的思維方式。

單維度的思維方式是指兒童在進行數(shù)學思維時，總是從一個維度（不論是順向思維還是逆向思維）去思考問題，當需要從兩個維度甚至多個維度（兩個以上）去深入思考時，他們就顯得力不從心，無所適從。

皮亞杰曾經(jīng)以“鐘擺”為例來說明兒童思維的單維度特征②。眾所周知，鐘擺擺動的速度因繩子長度的改變而加快或減慢，而錘的重量、下落點的高度以及最初的推動力，并不影響擺動的速度。但如果在同一時間內(nèi)改變了所有因素，并使處于具體運算階段（7～10歲）的兒童相信，改變錘的重量對擺速是有一定影響的，他就會真的相信這一點。

在小學數(shù)學教學中也會遇到類似的情況。例如在認識角時，如果同時改變角的大小和邊的長度這兩個因素，學生就很難相信角的大小與邊的長短無關(guān)。他們會相信邊的張開程度與邊的長短同時影響了角的大?。ɑ蛟S，他們更相信邊越長，角度越大）。圓的認識的例子也許更經(jīng)典。在小學數(shù)學教材中，圓被定義成（也許用“說成”更恰當）“由曲線圍成的圖形”，教學時基本上都是用圓形紙片來說明這種圖形。由于沒有“軌跡”的概念，學生很難區(qū)分圓周（通常簡稱為圓，也就是小學數(shù)學中所說的“圓”）與圓面。因為在形成這個概念的過程中，圓周與圓面這兩個因素是同時發(fā)揮作用的，由此引發(fā)了下面的說法，即“同一圓內(nèi)半徑并不相等”，也就是說，線段OA是該圓的半徑（如圖7所示），線段OB也是該圓的半徑，因為點A和點B都在這個圓上。這個案例并非杜撰，而是筆者在聽課時所遇到的，更令人意外的是，教師在課堂上否定了學生的這一說法，而私下里卻認為學生的說法是有道理的。這一問題的出現(xiàn)，雖然體現(xiàn)出小學生數(shù)學思維中單維度的特征，但不可否認，它也與數(shù)學教材呈現(xiàn)這一內(nèi)容的方式有關(guān)。

二、教學：多維度應(yīng)對。

兒童數(shù)學思維所表現(xiàn)出來的以上特征，對整個小學數(shù)學教育都有很大的啟迪。

1.加強變式練習。

由于兒童的數(shù)學思維表現(xiàn)為相信直觀感覺、重視外在形式等特征，教學時通過觀察、實驗等實踐活動以及呈現(xiàn)標準的算式、圖形等，可以讓學生較快地接受相應(yīng)的數(shù)學知識，形成數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。但僅此還不夠，還必須加強變式練習，讓學生認清哪些是本質(zhì)的，哪些是非本質(zhì)的，這樣不僅能培養(yǎng)學生思維的嚴密性，也能提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)。

2.培養(yǎng)學生質(zhì)疑的習慣，引導學生多角度思考問題。

培養(yǎng)學生質(zhì)疑的習慣，并不是在學生得出結(jié)論后多問幾個為什么這么簡單。由于小學生數(shù)學思維中本就有認同合情推理的特征，加上小學數(shù)學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式又是“例子+結(jié)論”的模式，當學生在教師的引導下得出與教材上一致的結(jié)論時，教師再問為什么，只能使學生把過程重復(fù)一遍（也許在用語上更準確，更接近教師的要求），而不能提高學生的思維水平。筆者以為，教師有意識地引導學生多角度地思考問題，不失為一種好的途徑。

例如“積的變化規(guī)律”，教材上呈現(xiàn)了下列幾個算式（順序為筆者所加）：

6×2=12（1）

6×20=120（2）

6×200=1200（3）

要求教師引導學生將（2）式與（1）式比較，將（3）式與（1）式比較，從而得出“一個因素不變，另一個因素乘幾，積也乘幾”的規(guī)律。作為教材，這樣編寫無可厚非，但作為教師，這樣教學則有不足。因為本例中只是第二個因素在變，如果第二個因素不變，只有第一個因素在變化，上述結(jié)論還成立嗎？為了引導學生去這樣思考問題，教師可以有意識地再給出兩個算式：12×2=24和36×2=72，將這兩個算式分別再與（1）式比較，從而得出上述結(jié)論。顯然，加進這兩個算式，對學生思維的影響就完全不一樣，它使得學生在不知不覺中從多個角度去思考了問題，達到了“潤物細無聲”的效果。

除此之外，還可以采用多舉反例的方式。反例既可以由學生舉，也可以由教師舉，再引導學生去思考。如在學習軸對稱圖形時，教師可以有意識地舉一些面對稱圖形的例子讓學生去判斷，以使學生更深刻理解軸對稱圖形的本質(zhì)。

3.改變數(shù)學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，適當增加核心概念。

為了培養(yǎng)學生數(shù)學思維的嚴密性，有時內(nèi)容的呈現(xiàn)方式應(yīng)適當?shù)丶右愿淖儯裆鲜龇e的變化規(guī)律的例子，如果教材本身就出現(xiàn)12×2=24，36×2=72兩道算式，并提出相應(yīng)的問題讓學生思考，那就更加完美。

適當增加一些核心概念，也可以讓學生的認知結(jié)構(gòu)更加完整。如幾何中的“簡單封閉曲線”、“簡單封閉區(qū)域”等概念，對于學生區(qū)分某些概念（如圓周和圓面）是很有幫助的，而這些概念本身對處于形式運算階段初期的小學高年級學生來說，并不是特別難以理解的。當然，能不能增加核心概念以及增加哪些核心概念，是一個更深層次的問題，也是一個難度更大的問題，筆者在此提出來，希望引起更多人的重視。

注釋：

①鄭毓信：《數(shù)字方法論》，廣西教育出版社，1996年版第34頁。

②〔瑞士〕J.皮亞杰，B.英海爾德著，吳福元譯：《兒童心理學》，商務(wù)印書館，1987年版第110～111頁。

（作者單位系華中師范大學教育學院）