發(fā)展：數(shù)學(xué)操作技能教學(xué)的應(yīng)有之義

讓學(xué)生獲得持續(xù)發(fā)展，是課改背景下數(shù)學(xué)教育的內(nèi)在追求，數(shù)學(xué)操作技能(特指度量、作圖等技能)的教學(xué)自然也不例外。

但在一線教師的課堂中，操作技能的教學(xué)恐怕更多的是“示范和模仿”，學(xué)生的感受恐怕更多的是“單調(diào)和乏味”，這一串關(guān)鍵詞勾勒出的課堂不可能洋溢著生命成長的氣息。難道就不能創(chuàng)造技能教學(xué)的另一種可能：充滿探索情趣而又意味深長?我們?cè)谙嚓P(guān)課例的教學(xué)中進(jìn)行了思考和探索。

一、操作技能不僅僅是動(dòng)作技能，也是智慧操作的過程。

這似乎是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)悖論。一方面，隨著對(duì)東方數(shù)學(xué)教育研究的深入，數(shù)學(xué)技能在學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提高和數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)中的重要性日益突出；但另一方面，基層教師的課堂中，數(shù)學(xué)技能的教學(xué)卻暮氣沉沉，毫無數(shù)學(xué)教改的時(shí)代氣息。這其中固然有多種原因，但不容置疑的是，首先在我們的理念上，認(rèn)為數(shù)學(xué)技能就是動(dòng)作技能，教師不示范講解和學(xué)生跟著模仿，怎么能習(xí)得?因而，數(shù)學(xué)操作技能的教學(xué)要打開新局面，首先要對(duì)直尺、三角尺、量角器、圓規(guī)等工具，以及運(yùn)用這些工具進(jìn)行操作的過程有新視野。任何的度量都是用度量單位比劃被測(cè)圖形的過程，因而抽象的數(shù)學(xué)單位不能只存在于學(xué)生的心智內(nèi)部，總得有一個(gè)物化的存在形式。以“角的度量”為例，“度”是測(cè)量的單位，但我們不可能用“度”這個(gè)單位一度一度去測(cè)量被測(cè)的角，為了方便，把許多個(gè)“一度”組合在一起而成量角器，量角器顯然是度量單位“度”的物化形式，或者說是一個(gè)個(gè)有著明確度數(shù)的角的標(biāo)準(zhǔn)形式。以此類推，直尺就是“厘米”等長度單位的物化形式。就作圖來說，作圖所憑借的工具，是相關(guān)數(shù)學(xué)概念的物化形式，三角尺的兩直角邊不是“垂直”概念的存在嗎?圓規(guī)只要一轉(zhuǎn)，不就能得到一個(gè)個(gè)圓嗎?鑒于此，我們就可以構(gòu)建這樣的認(rèn)識(shí)：度量的過程是學(xué)生用工具去比劃被測(cè)量對(duì)象，對(duì)照重合找到和被測(cè)圖形相對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，從而獲得結(jié)果的過程。而畫圖的本質(zhì)是學(xué)生在頭腦中依據(jù)數(shù)學(xué)概念的心理意義去想象圖形的基本結(jié)構(gòu)，添加某些要素(點(diǎn)、線、面)，將數(shù)學(xué)概念的心理意義通過具體的圖形呈現(xiàn)出來，或不斷地調(diào)整各要素(點(diǎn)、線、面)的位置關(guān)系，使之切合數(shù)學(xué)概念的要求。雖然就操作技能的最終呈現(xiàn)方式來說，上述很多過程是在無意識(shí)狀態(tài)中完成的，但就其最初的心理過程來說，肯定是充滿智慧的，絕對(duì)不是純粹的肢體動(dòng)作過程。換言之，數(shù)學(xué)中的度量、作圖等操作技能，是基于數(shù)學(xué)知識(shí)并以肌肉運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)在外的智慧性動(dòng)手技能，它提供了學(xué)生通過自己的眼睛和小手去認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的機(jī)會(huì)，理應(yīng)讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的過程中獲得技能。

二、數(shù)學(xué)概念不僅僅是數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)，也是技能生長的沃土。

在角的度量中，即使學(xué)生明白了“由哪條零刻度線決定了讀哪圈刻度”的道理，但在實(shí)際操作中，總有不少學(xué)生讀錯(cuò)刻度。想要突破這個(gè)不是難點(diǎn)的難點(diǎn)，似乎只有多操作。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，技能屬于程序性知識(shí)范疇。而程序性知識(shí)的獲得必須以陳述性知識(shí)為前提。這揭示了一個(gè)顯而易見的道理，如果人為割裂了數(shù)學(xué)操作技能和相關(guān)數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)操作技能的形成就只能演變?yōu)楹唵蔚哪７?、機(jī)械的訓(xùn)練。而反之，只要教師有意識(shí)地挖掘?qū)W生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，操作技能的形成完全可能“四兩撥千斤”。在上面所說的教例中，教師如果充分調(diào)動(dòng)起學(xué)生關(guān)于“銳角”、“鈍角”的表象，被測(cè)的角是銳角的。就讀兩個(gè)刻度中銳角的度數(shù)：是鈍角的，就讀兩個(gè)刻度中鈍角的度數(shù)。以知識(shí)的表象為支撐指導(dǎo)操作，而不再拘泥于僵化的技巧，操作還容易錯(cuò)嗎?

充分發(fā)揮相關(guān)知識(shí)的作用，技能的教學(xué)或許就少去了重復(fù)的講解和機(jī)械的訓(xùn)練。與此同時(shí)，我們還應(yīng)該看到，數(shù)學(xué)概念的定義雖然揭示了它的本質(zhì)特點(diǎn)，但并不能呈現(xiàn)出這個(gè)概念的多方面特點(diǎn)。為了利于學(xué)生探索相關(guān)的數(shù)學(xué)操作技能，作為教師，就要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟更有利于數(shù)學(xué)技能形成的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

在蘇教版國標(biāo)四年級(jí)上冊(cè)教材中，“平行”的教學(xué)先認(rèn)識(shí)平行線。再學(xué)習(xí)畫平行線。教材從兩條直線的相交、不相交，引出了平行線的定義：同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。不相交，而且是無限延長后永遠(yuǎn)不相交，這種描述本身就是只可意會(huì)，不可再現(xiàn)的，因而在作圖中，很難說得清這兩條直線是永遠(yuǎn)不相交的，要求學(xué)生自主探索怎樣畫平行線當(dāng)然也就難上加難。針對(duì)這種情況，在平行線的教學(xué)中，我們就有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：互相平行的兩條直線問寬度不變(學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)垂直，所以引用這個(gè)生活概念來替代“距離”)，為學(xué)生探索平行線的畫法作了鋪墊。教學(xué)的事實(shí)證明，這樣的鋪墊對(duì)于學(xué)生探索操作技能是必要的。

數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)技能間的相得益彰是雙向的，不僅數(shù)學(xué)概念的深刻理解可以促進(jìn)學(xué)生以此為生長點(diǎn)探索數(shù)學(xué)技能，而且，憑借數(shù)學(xué)技能的操作可以加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)，為更高層級(jí)的數(shù)學(xué)技能的生長提供可能，這也是發(fā)展的一個(gè)方面含義。因而，在操作技能的學(xué)習(xí)過程中，教師也要注意把握促進(jìn)學(xué)生加深理解數(shù)學(xué)概念的課程資源。例如角的度量中，用直尺延長角的邊以方便測(cè)量，可以加深學(xué)生對(duì)“角的邊為什么是射線”的理解；教學(xué)“平行”時(shí)，要求學(xué)生畫不同方向的兩組平行線，可以把多種四邊形聯(lián)系起來，并從平行的角度闡釋各自的特征，如此等等。

三、教學(xué)組織不僅僅可以先講后試。也可以先試后講。

廣大一線教師在數(shù)學(xué)操作技能的教學(xué)中，囿于“示范——模仿——訓(xùn)練”的教學(xué)模式，與數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的研究缺失有一定關(guān)系。

如上文所言，數(shù)學(xué)操作技能既不是純粹的智慧技能，也不是典型的動(dòng)作技能，但它的掌握還是屬于程序性知識(shí)學(xué)習(xí)的范疇。程序性知識(shí)的習(xí)得一般要經(jīng)歷如下3個(gè)階段：①陳述性階段。理解并記住此技能的各項(xiàng)規(guī)定或操作步驟，知道要怎樣做。②轉(zhuǎn)化階段。即將言語表達(dá)的某項(xiàng)技能用行為的方式表現(xiàn)出來。③自動(dòng)化階段。通過一定的練習(xí)使得某項(xiàng)操作快速、準(zhǔn)確、熟練。也就是說，技能教學(xué)一般教師先講、學(xué)生跟著操作。以現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的一般規(guī)律指導(dǎo)教學(xué)，這本身沒有問題。實(shí)際上，就操作技能的掌握來說，教師先講學(xué)生模仿的教法同樣可以是卓有成效的。但模仿和強(qiáng)化操作，封殺了學(xué)生作為一個(gè)人的全部豐富性，因而，發(fā)展的功能是極其有限的。當(dāng)我們對(duì)這樣的教法進(jìn)行反思的時(shí)候，恰恰一方面凸顯了心理學(xué)的一般原理指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育的尷尬，另一方面則凸顯了數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究的蒼白。數(shù)學(xué)的教與學(xué)是特殊的認(rèn)知活動(dòng)，其中的心理過程和心理機(jī)制，與其他的學(xué)習(xí)過程并不完全一致，因而，以一般的心理學(xué)原理指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育，就缺少了針對(duì)性和適應(yīng)性。正如歌德所言，理論是灰色的，惟生命之樹常青。鮮活的教學(xué)實(shí)踐完全可能走在理論前面。加涅認(rèn)為，任何技能的學(xué)習(xí)都是以過去學(xué)習(xí)的其他比較簡單的技能為前提的。因而，新技能的建構(gòu)是學(xué)生以相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)為基點(diǎn)整合已掌握技能的過程。以已有的知識(shí)技能為基礎(chǔ)，輔之以在平時(shí)的游戲活動(dòng)中，學(xué)生多樣的動(dòng)手操作活動(dòng)積累的動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)，顯然，在教師講解、示范之前，讓學(xué)生先嘗試操作，完全是行得通的。

上文提到的“平行”課例中，在學(xué)生認(rèn)識(shí)平行意義后，教師就可以放手讓他們?cè)嚠嬈叫芯€。學(xué)生先畫一條直線，把直尺移動(dòng)一下，再畫一條直線。但他們似乎有所顧忌，移動(dòng)直尺時(shí)都稍稍動(dòng)了動(dòng)。在老師的要求下，直尺移動(dòng)的幅度大了，問題也就冒了出來。量了量兩條直線間的寬度，發(fā)現(xiàn)兩條直線延長后會(huì)相交。畫——移尺——再畫，“那問題出在哪一步呢?”“肯定是尺移動(dòng)時(shí)出了問題?！睂W(xué)生依據(jù)“兩條平行線間的寬度不變”這一思考，得出了結(jié)論“直尺移動(dòng)時(shí)不能晃動(dòng)”，“徒手移動(dòng)直尺要不晃動(dòng)還真不容易。如果能靠著軌道移動(dòng)那該多好啊。”就這樣，把畫平行線的新技能轉(zhuǎn)化成了探究“怎樣給移動(dòng)的直尺造軌道”。學(xué)生調(diào)動(dòng)起各種經(jīng)驗(yàn)和技能，將移動(dòng)直尺的方法演繹得多姿多彩：有的學(xué)生把直尺一端沿著練習(xí)本的邊移動(dòng)；有的把直尺一端靠上了數(shù)學(xué)書來移動(dòng)；有的在已畫的直線旁又畫了一條與之相交的直線，讓直尺一端沿著新畫的直線移動(dòng)：有的在直尺一端靠上了另一把尺……新技能無須教師多講，已成為了學(xué)生的囊中之物。

數(shù)學(xué)操作技能的教學(xué)倡導(dǎo)學(xué)生先試、教師再講，其本質(zhì)是彰顯其智慧性的內(nèi)在屬性，但與此同時(shí)。也并不是否定其動(dòng)作性的內(nèi)在屬性。也正因?yàn)?，?shù)學(xué)操作技能具有相互間不可替代的兩方面屬性，因而，在教學(xué)中我們常?？吹?，學(xué)生即便理解了操作的原理或方法，但在操作中還是會(huì)出錯(cuò)。特別是，由于小學(xué)生的年齡所限，在動(dòng)作的精確度、連續(xù)性、協(xié)調(diào)性方面。經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的問題。例如畫平行線，即使用了規(guī)范的操作方法畫平行線，一些學(xué)生還是會(huì)驚呼“不平行啊”。問題出在哪里?原來，在雙手的配合上出了問題。如圖的第二步，應(yīng)先右手用力按住三角尺，左手拿直尺輕輕靠上；之后，應(yīng)左手用力按住直尺，右手輕輕移動(dòng)三角尺：第三步，左手就可以放開直尺，用力按住三角尺，右手拿鉛筆靠著三角尺的一邊輕畫直線。整個(gè)過程中如果雙手的用力配合不佳，就極易造成三角尺和已畫直線的不重合，或者三角尺和直尺的晃動(dòng)，那畫出的兩條直線當(dāng)然就不平行，

一般來說，每一種操作都有類似的特殊技巧要求。但凡事都要學(xué)生躬身而為，也就容易陷入凡事都不能有作為的境地。這些操作過程中的特殊技巧，更多的是動(dòng)作的協(xié)調(diào)與連貫方面的要求，只要“熟”總是能生“巧”的，因此，也就無須讓學(xué)生自己去摸索，以省去不必要的操作挫折。有效的數(shù)學(xué)操作技能教學(xué)，教學(xué)方式雖然以“先試后講”為主，但教師在學(xué)生運(yùn)用新技能進(jìn)行操作時(shí)，一定要留心學(xué)生操作還存在什么問題，并及時(shí)組織討論交流，交流和共享各自的解決之道，或者教師作出必要的示范講解，以幫助學(xué)生盡快地步入操作定型、簡縮、自動(dòng)化的層次。

任何技能掌握之后，再操作起來可能就無須動(dòng)腦。但探究之初，無疑是件富有挑戰(zhàn)性的事情。沒有精心的組織，要求學(xué)生琢磨新技能怎樣操作，那猶如將小白鼠引入迷宮，即使獲得成功也是全憑運(yùn)氣。而自主探究的教學(xué)，學(xué)生是否獲得成功如果全憑運(yùn)氣，沒有絕大多數(shù)學(xué)生在絕大多數(shù)時(shí)候獲得成功的把握，那也就失去了在課堂情境中組織的意義。從這個(gè)角度上說，考量“先試后講”的教學(xué)怎樣設(shè)計(jì)，是很有價(jià)值的事。筆者執(zhí)教“平行”后的體會(huì)是，首先要洞悉操作技能的數(shù)學(xué)本質(zhì)，然后從學(xué)生的視野依次剝離學(xué)生已經(jīng)掌握的舊技能，把剩下的操作作為課的核心。抓住了這樣的核心，也就抓住了學(xué)生已有的動(dòng)手操作經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)與技能向新技能發(fā)展的關(guān)節(jié)點(diǎn)，教學(xué)也就有了“四兩撥千斤”的可能。例如，畫平行線的數(shù)學(xué)本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)畫直線(線段)工具的平移，平移后對(duì)應(yīng)的直線(線段)自然是平行的，因而，新技能的各步操作中，剝離學(xué)生已掌握技能后剩下的也就是給要移動(dòng)的直尺“造軌道”，以實(shí)現(xiàn)直尺的平移。用量角器度量角的大小，數(shù)學(xué)本質(zhì)是用量角器上度數(shù)明確的角去重合被測(cè)度數(shù)的角，而學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)知道了角的大小是指角的兩邊張開的大小，也學(xué)會(huì)了怎樣使兩個(gè)角重合的操作，所以，新技能形成的核心也就是能從量角器中找出各種度數(shù)的角。這樣一剝離，顯露的核心往往既不十分煩瑣，學(xué)生的內(nèi)心世界也可能有相關(guān)的動(dòng)手操作經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)技能儲(chǔ)備，教師過多的講解和示范完全沒有了必要。

(作者單位：啟東市教育局教研室)