經(jīng)典決策理論的基礎(chǔ)及發(fā)展

決策是人類生活中時(shí)刻要面臨的行為，早在18世紀(jì)卡萊美和伯努里就開始對決策進(jìn)行研究，但一直沒有取得很大的進(jìn)展。兩個(gè)世紀(jì)后，英國哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家Ramsey，von Neumann和Morgenstern，Savage，Anscombe和Aumann先后提出了他們的決策公理系統(tǒng)，為經(jīng)典決策理論（貝葉決策是人類生活中時(shí)刻要面臨的行為，早在十八世紀(jì)卡萊美和伯努里開始對決策進(jìn)行研究，但一直沒有取得很大的進(jìn)展。兩個(gè)世紀(jì)后，英國哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家Ramsey，Von Neumann和Morgenstern，Savage，Anscombe和Aumann先后提出了他們的決策公理系統(tǒng)，為經(jīng)典決策理論（貝葉斯決策理論，也稱期望效用理論）奠定基礎(chǔ)，使得決策理論的研究取得巨大的進(jìn)展。

一、經(jīng)典決策理論的基礎(chǔ)

一般地，一個(gè)典范的決策情景可如下圖表示：

一般說來，決策理論認(rèn)為決策是由當(dāng)事人的愿望和他對有關(guān)客體的信念這兩種因素所決定的。貝葉斯決策理論的目標(biāo)在于給出一個(gè)模型，使得我們能夠合適地表達(dá)愿望和信念，并加以組合來評價(jià)可選行為。

如何從操作上表達(dá)信念度呢？Ramsey和Savage等貝葉斯主義者所建議的方法是：考察當(dāng)事人對一個(gè)信念的相信程度可以通過觀察其偏好，也就是說，可以提議一個(gè)賭局來進(jìn)行。這種方法類似于物理學(xué)中測量電路的電流強(qiáng)度：我們可以將一個(gè)安培表安置于某電路中，再看看安培表的指針刻度（這些刻度具有一定的物理意義），這個(gè)結(jié)果就是電流所引起的并被觀察到的效果。根據(jù)這一觀點(diǎn)我們可以得到定性信念度的概念：假設(shè)b和c分別為“好”和“壞”，并且就兩個(gè)可選行為“b如果p，c如果?劭p”和“b如果q，c如果?劭q”而言，當(dāng)事人對前者的偏好不次于后者當(dāng)且僅當(dāng)他相信命題p的程度不次于命題q。因?yàn)樗J(rèn)為選擇前者所獲得“好”結(jié)果的可能性將不小于選擇后者，而所得到“壞”結(jié)果的可能性將不大于選擇后者，從而偏好前者，反之亦然。

基于上述思想，在構(gòu)造決策理論的公理系統(tǒng)時(shí)，我們只需要設(shè)定一些偏好公理，即假定偏好具有某些性質(zhì)，從中推演出效用和信念度函數(shù)。在貝葉斯決策理論的代表性公理系統(tǒng)中，如von Neumann和Morgenstern，Anscombe和Aumann 的公理系統(tǒng)，均設(shè)定了以下公理。

弱序公理：假設(shè)當(dāng)事人的偏好為一個(gè)弱序。

上述定理展現(xiàn)了貝葉斯決策理論一致性（也稱融貫性）的基本含義：當(dāng)事人對價(jià)值和不確定信念度的賦值是一致的。首先，概率論的可加性和乘法公式就是不確定信念的兩個(gè)傳播規(guī)則?？杉有员砻饕粋€(gè)信念度的指派可訴諸另外一些信念度的指派：它告訴我們?nèi)绻粋€(gè)命題的信念度為0.4， 那么它的否定命題的信念度就確定地是0.6。其次，表達(dá)定理（2）闡明了當(dāng)事人價(jià)值賦值的一致性：定量大小關(guān)系表達(dá)了定性的序關(guān)系。例如，假設(shè)a?酆b?酆c， 且a和c的效用分別為3和2，那么b的效用確定地就為大于2且小于3的某一個(gè)數(shù)。價(jià)值賦值的一致性要求當(dāng)事人對可選行為a1的偏好不次于a2當(dāng)且僅當(dāng)前者的期望效用不小于后者的期望效用，這確保了當(dāng)事人所選擇的行為具有最大的價(jià)值。

這里產(chǎn)生一個(gè)問題：如果當(dāng)事人信念度賦值不滿足概率公理，那么會帶來什么后果？事實(shí)上，在這種情形下當(dāng)事人總是處于一種不利的局面：如果設(shè)定一系列賭局并且當(dāng)事人樂意接受它們，那么最終的結(jié)局是他總是輸。該系列賭局稱為“荷蘭賭”。因此我們可以認(rèn)為，如果當(dāng)事人信念度賦值不滿足概率公理，那么將有荷蘭賭出現(xiàn)。

二、經(jīng)典決策理論的發(fā)展

由建構(gòu)方式可知貝葉斯決策理論具有以下特點(diǎn)：首先，它基于單主體的偏好關(guān)系來建構(gòu)理論；其次，它假設(shè)了當(dāng)事人知識或信息是完備的，即偏好是弱序并且能夠預(yù)見到任何行為的所有后果。以上特點(diǎn)使得經(jīng)典理論難以處理以下兩個(gè)方面的問題：多主體（群體）決策問題，以及知識不充分（不確定）條件下信念的表達(dá)和決策。對于前者研究，Seidenfeld等已作了初步的工作，將貝葉斯決策理論推廣到有兩個(gè)主體的情形[4]。

其中，G1表示當(dāng)事人將得到$100如果取出的是紅球，$0如果取出的是黑球或黃球，其余類推。在他的博士論文第五章中，Ellsberg邀請讀者仔細(xì)地考慮上述四個(gè)可選行為偏好關(guān)系。顯然，如果你有G1?酆G2，并且G3?酆G4，那么你和貝葉斯決策理論是一致的。但是Ellsberg通過由哈佛大學(xué)學(xué)生參與的上述實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為，大多數(shù)人的偏好是G1?酆G2，G4?酆G3。這表明這些人與貝葉斯決策理論是不一致的。這就意味著貝葉斯決策模型用來描述不確定（信息不完備）條件下的決策是不合適的。

如何克服貝葉斯決策模型的這個(gè)缺陷？這里主要有兩條途徑。第一條途徑是放棄“獨(dú)立性公理”而保留“弱序”公理。例如，Kahneman和Tversky（2000）的前景理論，F(xiàn)ishburn的理論[5]，等等。他們認(rèn)為Ellsberg 悖論的結(jié)果違反了獨(dú)立性公理（確鑿性公理），因此應(yīng)該對貝葉斯決策理論的這個(gè)公理進(jìn)行修改。不幸的是，Seidenfeld論證了這一途徑將導(dǎo)致序列決策的不一致性，即有荷蘭賭出現(xiàn)[6](P40-68)。第二條途徑是放棄“弱序公理”而保留“獨(dú)立性公理”，例如，Seidenfeld(1999)和Levi(1980)等。他們認(rèn)為，由于我們僅知道罐中黑球和黃球總共有200個(gè)，但是黑球和黃球的個(gè)數(shù)是不確定的，因此我們不能確定取出的是黑球或黃球的概率，這導(dǎo)致賭局（可選行為）的期望效用是不確定的，故G1和G2、G3和G4之間的偏好關(guān)系是不確定的，這表明G1和G2、G3和G4不是連通的，從而這些可選行為之間的偏好不是弱序關(guān)系。既然如此，若我們武斷地決定這些可選行為之間的偏好關(guān)系，則將產(chǎn)生偏好的逆轉(zhuǎn)而導(dǎo)致悖論。進(jìn)一步地，他們主張?jiān)诓淮_定狀況下主體（當(dāng)事人）信念或效用用一個(gè)函數(shù)來表達(dá)是不現(xiàn)實(shí)的，也就是說，在信息不完備的條件下，他們提倡利用一個(gè)集合{Pi}來表達(dá)主體的信念，Pi是一個(gè)概率函數(shù)，以刻畫概率的不確定性和無知；而利用集合{Ui}來表達(dá)可選行為結(jié)果的價(jià)值，Ui為一個(gè)效用函數(shù)?；诖?，他們推廣了貝葉斯決策理論。值得注意的是，他們?nèi)匀焕^承貝葉斯理論的一致性（最大期望效用）要求，以杜絕荷蘭賭的發(fā)生，這是他們修改貝葉斯理論所堅(jiān)守的底線。Levi稱他們?yōu)榉菄?yán)格貝葉斯主義者。

參考文獻(xiàn)

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[6]T. SEIDENFELD， M. SCHERVISH， J. KADANE. Decisions Without Ordering[A]. Rethinking the Foundations of Statistics[M]. Cambridge University Press， 1999.

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[8]熊衛(wèi)，鞠實(shí)兒，羅旭東.論Dempster-Shafer理論的一個(gè)悖論[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)，2005，(8).

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