智慧的美麗

張小慧

[教學(xué)片斷]這是一節(jié)數(shù)學(xué)練習(xí)課，其中有一道題是這樣的：

小強(qiáng)和伙伴們買(mǎi)了10瓶汽水，店主告訴他們，喝完后用3個(gè)空汽水瓶可以再換1瓶汽水。問(wèn)：若不再多花錢(qián)，小強(qiáng)他們最多可以喝到多少瓶汽水?

師：下面我給同學(xué)們兩分鐘時(shí)間，看看這道題該怎樣做，你們先獨(dú)立思考，然后同桌交流一下各自的思路。

(兩分鐘后，學(xué)生紛紛舉起了手)

師：這么快都算出來(lái)了?你們的答案是多少?

生：14瓶。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎樣算出來(lái)的?

生₁：小強(qiáng)他們可以先喝完10瓶汽水，然后留下1個(gè)空瓶，用其他9個(gè)空瓶換回3瓶汽水，這3瓶汽水喝完后又有3個(gè)空瓶可以換1瓶汽水，所以他們最多可以喝10+3+1=14(瓶)汽水。

師：大家同意他的算法嗎?

生：同意。

(此時(shí)，我正準(zhǔn)備肯定這種思考方法，然而坐在后面的曹燦卻興奮地叫了起來(lái))

曹燦：老師，我不同意，他們還可以再多喝1瓶汽水。

(這倒是我沒(méi)料到的，教室里一下子變得十分安靜，大家都好奇地豎起了耳朵)

師：哦，還可以多喝1瓶汽水?說(shuō)說(shuō)你的理由。

曹燦：喝完14瓶汽水后還剩下2個(gè)空瓶，這時(shí)小強(qiáng)他們可以先向店主要1瓶汽水，喝完后正好用3個(gè)空瓶換1瓶汽水還給他，這樣不就喝到了15瓶汽水嗎?

(聽(tīng)了曹燦的解釋，大部分學(xué)生都為他鼓掌叫好，我也很興奮)

師：這真是個(gè)好主意。小強(qiáng)他們喝到了最多的汽水。店主也回收了所有的空瓶，真正達(dá)到了雙贏。

(這時(shí)，也有學(xué)生提出了疑問(wèn))

生₂：老師，如果店主不給他們1瓶汽水，那最多還是喝到14瓶汽水。

他的話音未落，好幾位學(xué)生就立刻站起來(lái)了。

生₃：既然喝這一瓶汽水對(duì)店主沒(méi)有任何損失，又沒(méi)有賒賬，他沒(méi)理由不給。

生₄：對(duì)!做生意誠(chéng)信最重要，咖啡店、酒吧都是先消費(fèi)后付錢(qián)的。

生₅：如果他們沒(méi)有曹燦聰明，沒(méi)想到這個(gè)好主意，就只能喝到14瓶汽水了。

生₆：那樣，就不能回答“最多可以喝到多少瓶汽水”，而應(yīng)該改成“一共可以喝多少瓶汽水”。

好家伙，知道摳字眼了。看著他們爭(zhēng)論得那么認(rèn)真，我不由得笑了。這時(shí)，另一個(gè)有趣的問(wèn)題突然出現(xiàn)在我腦海里，何不說(shuō)出來(lái)讓他們?cè)囈辉?

師：剛才，同學(xué)們都積極動(dòng)腦思考并大膽地亮出了自己的觀點(diǎn)，老師很高興。尤其是曹燦，做題時(shí)不僅思考表面問(wèn)題，還從剩下的2個(gè)空瓶人手，想出了“借一還一”的辦法，確實(shí)不容易。根據(jù)生活實(shí)際及當(dāng)今的商業(yè)機(jī)制，我認(rèn)為小強(qiáng)他們喝上15瓶汽水是完全可行的。不過(guò)，受你們的啟發(fā)，我突然想起了數(shù)學(xué)史上另一道有趣的問(wèn)題。

有一位阿拉伯老人養(yǎng)了11匹馬，他臨死前給三個(gè)兒子留下一份遺囑：大兒子、二兒子和小兒子分別得到11匹馬中的1／2、1／4和1／6。因?yàn)轳R要分出整數(shù)，三個(gè)兒子怎么都想不出辦法。后來(lái)，聰明的鄰居想出了個(gè)好辦法，輕松地把“分馬難題”解決了。你們也來(lái)想一想，看誰(shuí)能最快找到解決的辦法。

這個(gè)有趣的問(wèn)題立刻使學(xué)生興奮起來(lái)，他們幾人一組展開(kāi)了討論。很快，有兩個(gè)小組就高興地宣布想出的辦法：借一還一。先向別人借1匹馬，這樣就有了12匹馬，然后大兒子、二兒子和小兒子分別分得6匹、3匹、2匹。共計(jì)11匹馬，剩下的1匹再還給人家。

有了上一題的提示，這一次學(xué)生大多很快能找到解決的辦法，我一點(diǎn)不感到奇怪，但我還是讓他們說(shuō)說(shuō)解題思路。

生₇：因?yàn)?、4、6都不能整除11，所以要每人分得整數(shù)匹馬，必須是2、4、6的最小公倍數(shù)12，這樣就少了一匹馬，我們就想到了曹燦的辦法，正好合適。

師：你們確實(shí)和那位聰明的鄰居想到了一塊兒，他先借給三兄弟一匹馬，分完后多余的一匹馬正好牽回家。

(看著學(xué)生一張張意猶未盡的笑臉，我再一次向他們拋出了問(wèn)題)

師：同學(xué)們，今天這兩道題給了你們哪些啟示呢?

生₈：我覺(jué)得曹燦的做法在生活中有實(shí)際意義，比如空啤酒瓶可以換酒，以后我爸爸退瓶換酒時(shí)也能多喝一瓶了。

師：無(wú)論什么樣的情況下都可以多喝一瓶嗎?

生₈：不是。只有剩下的空瓶比規(guī)定的空瓶數(shù)少1的時(shí)候才行。比如5個(gè)啤酒瓶能換1瓶啤酒，你有4個(gè)空瓶時(shí)就可以先喝1瓶啤酒，然后給他5個(gè)空瓶。

師：對(duì)，這個(gè)規(guī)律總結(jié)得好!那類似“分馬難題”，你們有什么想法嗎?

生₉：我發(fā)現(xiàn)如果有5只羊，要分成1／2和1／3，也可以用這種方法。

生₁₀：我們也發(fā)現(xiàn)了一組這樣的數(shù)，總數(shù)是17，分成1／2、1／3和1／9時(shí)能用這種方法。

生₁₁(十分得意地)：老師，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律：這一類題的總數(shù)是從5開(kāi)始，后一個(gè)數(shù)比前面的多6就行。

師：哦，下一個(gè)數(shù)是23，你說(shuō)說(shuō)怎么分可以用“借一還一”的辦法。

生₁₁分成1／2、1／3和1／8時(shí)就行了。

師：你說(shuō)的這個(gè)規(guī)律是否成立呢?后面的分法有規(guī)律嗎?說(shuō)實(shí)話，這些我以前還真沒(méi)思考過(guò)。今天回去后，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)思考、驗(yàn)證。老師要感謝大家，今天給我上了一堂生動(dòng)的數(shù)學(xué)課，讓我獲益匪淺。

[反思]有人說(shuō)，普通教師與優(yōu)秀教師的區(qū)別在于：前者教給學(xué)生知識(shí)，后者教給學(xué)生智慧。我一直希望自己能做后者。在這堂大大超出預(yù)設(shè)的練習(xí)課上，當(dāng)我不經(jīng)意間聽(tīng)到有學(xué)生從新的角度得出新的答案時(shí)，我沒(méi)有在給予評(píng)價(jià)后就簡(jiǎn)單地停下來(lái)，而是借學(xué)生這種新的解題思路，提出了有趣的“分馬難題”。我有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，不斷豐富解決問(wèn)題的策略，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在表面問(wèn)題都得到解決后，我再一次引導(dǎo)學(xué)生深入思考，總結(jié)第一題的規(guī)律，鼓勵(lì)他們繼續(xù)驗(yàn)證第二題猜測(cè)的結(jié)論。一堂看似有點(diǎn)“跑題”的數(shù)學(xué)課，卻有這么多智慧的生成。我覺(jué)得值!