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    數(shù)學(xué)危機(jī)是會(huì)下金蛋的鵝(下)

    2006-12-31 00:00:00王樹禾
    中學(xué)生天地(B版) 2006年12期

    20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一龐加萊(Poincare,1854—1912,法國(guó))敏銳地指出:“邏輯并非不毛之地,它那里生長(zhǎng)著矛盾?!奔词钩删洼x煌的大數(shù)學(xué)家康托爾,在他首創(chuàng)的理論之中也蘊(yùn)含了危機(jī)和矛盾。歷史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生了“公理集合論”這一數(shù)學(xué)分支,而哥德爾的不可判定理論推翻了曾經(jīng)統(tǒng)治數(shù)學(xué)的“希爾伯特綱領(lǐng)”。

    3.第三次數(shù)學(xué)危機(jī)——產(chǎn)生公理集合論

    悖論不是謬論,悖論中充滿著令人驚奇的內(nèi)容——悖論可以推導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論,人們卻不能指出悖論非法的理由。

    集合是數(shù)學(xué)最基本的概念之一,也是整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ),當(dāng)今數(shù)學(xué)的每個(gè)分支都在使用集合論的言語(yǔ)進(jìn)行表述與推理。

    集合概念的建立,起首要作用的人物當(dāng)屬德國(guó)大數(shù)學(xué)家康托爾,他是大家公論的集合論的創(chuàng)始人。

    康托爾(cantor,1845-1918),生于俄國(guó)彼得堡的一個(gè)猶太富商之家。他17歲入蘇黎世大學(xué),后轉(zhuǎn)入格丁根大學(xué)和法蘭克福大學(xué),1866年獲得博士學(xué)位,1879年任哈雷大學(xué)教授。1891年,康托爾組建德國(guó)數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì),被選為第一任主席。1904年,倫敦皇家學(xué)會(huì)授予他當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)——西爾威斯特(Sylvester)獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

    康托爾的老師克羅內(nèi)克是一個(gè)“有窮論者”,他反對(duì)康托爾的“超窮數(shù)”觀點(diǎn),他不僅對(duì)康托爾的學(xué)術(shù)工作粗暴攻擊,還竭力阻止康托爾去柏林大學(xué)工作。由于克羅內(nèi)克的權(quán)威地位,其他數(shù)學(xué)家也跟著他攻擊康托爾,致使康托爾患上嚴(yán)重的精神病,并于1918年死于抑郁癥??低袪柕南聢?chǎng)不比古希臘的希帕蘇斯好多少,兩位數(shù)學(xué)史上的功臣都為了事業(yè)而犧牲。

    康托爾這個(gè)人是數(shù)學(xué)界的奇才,對(duì)數(shù)學(xué)的新奇思路和獨(dú)特創(chuàng)造,使他成了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界頗有爭(zhēng)議的人物。他用“一一對(duì)應(yīng)”的原理突破了“整體大于部分”這個(gè)天經(jīng)地義的舊觀念,例如全體正整數(shù)與全體正偶數(shù)一一對(duì)應(yīng),稱正整數(shù)集與正偶數(shù)集等勢(shì),相當(dāng)于傳統(tǒng)的“個(gè)數(shù)相等”。

    1871年康托爾給出集合的第一個(gè)樸素定義:“把一定的并且彼此可以明確識(shí)別的事物——這種事物可以是直觀的對(duì)象,也可以是思維的對(duì)象——放在一起,成為一個(gè)集合,這些事物的每一個(gè)稱為該集合的一個(gè)元素?!?/p>

    在之后的工作中,康托爾已經(jīng)察覺到他的這種樸素集合論在邏輯上要出事兒,他向數(shù)學(xué)家戴德金談過禁提“一切集合組成的集合”。可惜他本人沒有來(lái)得及建立一套公理系統(tǒng),給出明確無(wú)誤的集合論概念。

    1902年,英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素受到“理發(fā)師悖論”的啟發(fā),提出一個(gè)所謂的“羅素悖論”。

    理發(fā)師悖論說:“一個(gè)理發(fā)師宣稱,他不給自己刮臉的人刮臉,但給所有不自己刮臉的人刮臉?!比藗儐枺骸袄戆l(fā)師先生,您自己的臉誰(shuí)刮?”如果理發(fā)師回答自己刮,那么違背了約定的前半部分;如果回答不是自己刮,那么按他約定的后半部分,他必須給自己刮臉。理發(fā)師不可能自圓其說。

    羅素假設(shè),集合A由一切不屬于這個(gè)集合的元素所組成,然后問A是否屬于該集合?對(duì)這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題,怎樣回答都會(huì)陷入矛盾的境地。如果承認(rèn)A屬于集合A,根據(jù)該集合的定義,A是不能屬于A的;反之如果否認(rèn)A屬于集合A,同樣根據(jù)該集合的定義,A就必須屬于A。

    矛盾回避不了啦!康托爾的樸素集合論里發(fā)生了嚴(yán)重的邏輯混亂,于是出現(xiàn)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。德國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯代數(shù)的創(chuàng)始人弗雷格抱怨說:“當(dāng)大廈即將竣工之時(shí),基礎(chǔ)卻崩潰了!”

    1908年,法國(guó)數(shù)學(xué)家策墨羅(Zermelo)和弗倫克爾(Fraenkel)合作提出一套所謂ZF公理,創(chuàng)建公理集合論,從集合論中剔除了羅素悖論,解除了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)催生了“公理集合論”這一重要數(shù)學(xué)分支,使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)更加鞏固了。

    在公理集合論中,到目前為止還沒有發(fā)現(xiàn)任何悖論或矛盾,策墨羅宣稱沒有任何人會(huì)從中再制造出矛盾來(lái)。龐加萊則反唇相譏道:“為了防備狼,羊群已用籬笆圈起來(lái)了,卻不知圈里還有沒有狼?!?/p>

    1925年,希爾伯特自豪地說:“我們?cè)H歷過兩次危機(jī),頭一次是微積分悖論,第二次是集合論悖論,我們不會(huì)再經(jīng)歷第三次,而且永遠(yuǎn)不會(huì)?!彼@然過于樂觀了。1930年數(shù)學(xué)家貝爾說:“所謂建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的合理共識(shí),在任何意義上都是不存在的?!?/p>

    貝爾的話是對(duì)的。三次數(shù)學(xué)危機(jī)之后,數(shù)學(xué)界果然又發(fā)生了更令人難堪的矛盾。

    4.?dāng)?shù)學(xué)的家丑——真假不可判定

    公元前6世紀(jì),希臘人伊比孟德說:“我說這句話時(shí)正在說謊。”伊翁問聽眾,他下面說的那句話是真話還是假話?該怎么回答伊翁呢?

    當(dāng)代數(shù)學(xué)史上有個(gè)大人物叫做哥德爾,1906年他出生于奧地利布呂恩城,1924年他考入維也納大學(xué)攻讀理論物理專業(yè),1930年獲哲學(xué)博士學(xué)位。其代表作是1931年發(fā)表的《論‘?dāng)?shù)學(xué)原理’及有關(guān)系統(tǒng)中的不可判定命題》,該文被譽(yù)為“20世紀(jì)最有意義的數(shù)學(xué)真理”。

    哥德爾的不可判定命題對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行嚴(yán)肅的挑戰(zhàn)。一個(gè)命題就是一種判定,不論是否已經(jīng)知道它的真假,總歸或真或假,二者必居其一。例如“秦始皇是20世紀(jì)的中國(guó)皇帝”是一個(gè)命題,“2+2=4”則是另一個(gè)命題。顯然假命題是不可證明的。

    1931年哥德爾提出如下的命題:

    A:A不可證。

    下面證明了哥德爾命題A與其否定命題A┐(讀成“非A”)皆不可證明。

    (1)A真

    事實(shí)上,若A假,即“A不可證”為假,于是A可證,從而A假且A可證,此與假命題不可證明矛盾,由反證法知A真。

    (2)A不可證

    若A可證,則“A不可證”為假,即A假,與(1)中得到的A真相違,所以A不可證。

    (3)┐A不可證

    由(1)知A真,于是┐A是假的,而假命題不可證,所以┐A不可證。

    由(2)與(3)知A與┐A同時(shí)不可證,即對(duì)于命題A,不可證明也不可反駁,其真假不可判定!

    數(shù)學(xué)家克服了三次數(shù)學(xué)危機(jī),鞏固了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),建立了豐功偉績(jī)。數(shù)學(xué)界一派樂觀情緒,甚至認(rèn)為凡能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言明確提出的問題,都必須而且能夠嚴(yán)格地加以證明或證偽,誰(shuí)也沒想到會(huì)存在不能證其真也不能證其偽的命題。大數(shù)學(xué)家希爾伯特1930年發(fā)表《數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》一文,提出聞名于世的“希爾伯特綱領(lǐng)”,其要點(diǎn)有二:一是證明形式化(建立公理系統(tǒng),使用形式語(yǔ)言)之后,一切數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的定理都是可證的;二是證明形式化之后,數(shù)學(xué)系統(tǒng)是完備的,即一切數(shù)學(xué)真理都將是這個(gè)形式系統(tǒng)的定理。

    哥德爾的不可判定命題如晴天霹靂無(wú)情地宣判了希爾伯特綱領(lǐng)的崩潰。

    古今中外,多少人贊不絕口地歌頌著數(shù)學(xué)的完美、嚴(yán)謹(jǐn)與和諧。哥德爾則更令人肅然起敬,他并不因?yàn)樽约菏菙?shù)學(xué)家而陶醉于數(shù)學(xué)光明的一面,他嚴(yán)正地揭露了數(shù)學(xué)不完備性的黑暗面,不忌諱數(shù)學(xué)的家丑。正如美國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊因所說:“數(shù)學(xué)的確定性正在喪失!”

    一部充滿光輝成就的數(shù)學(xué)史,同時(shí)也是一部數(shù)學(xué)災(zāi)難史,悖論和危機(jī)此起彼伏,矛盾和難題層出不窮……數(shù)學(xué)是美麗的,數(shù)學(xué)是丑陋的,它的丑與美都值得我們研究,都值得我們鑒賞。

    (中國(guó)科技大學(xué)科技傳播系的王國(guó)燕老師為本文的撰寫提供了許多有益的建議,特表感謝。)

    作者簡(jiǎn)介:王樹禾。中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)教授,微分方程與應(yīng)用數(shù)學(xué)專家,數(shù)學(xué)科普作家。已出版了《數(shù)學(xué)聊齋》《數(shù)學(xué)演義》《數(shù)學(xué)思想史》等著作,主持編寫了高中數(shù)學(xué)新教材中“數(shù)學(xué)史”部分。

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