用變換的思想看全等

三角形全等是學(xué)習(xí)推理論證至關(guān)重要的一章，也是幾何學(xué)習(xí)中一大難點(diǎn).如果我們用運(yùn)動(dòng)的眼光、變換的思想去看全等，則可化繁為簡(jiǎn)，從本質(zhì)上把握三角形全等．

任何三角形全等都可以看成是一個(gè)三角形通過適當(dāng)?shù)淖儞Q得來(lái)的.這類變換主要有三種:平移、翻折、旋轉(zhuǎn)．有的可一步變換到位，有的則要通過幾次組合變換得到．如下圖中△ABC與△DEF全等．

圖(1)由△ABC沿直線BC平移得△DEF．

圖(2)由△ABC沿直線BC翻折得△DEF．

圖(3)由△ABC沿直線BC翻折再沿直線BC平移得△DEF．

圖(4)由△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DEF．

圖(5)由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得△DEF．

圖(6)由△ABC沿直線AC翻折，再繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得△DEF．

不僅在找三角形全等時(shí)可以把其中一個(gè)三角形看作是由另一個(gè)三角形變換得來(lái)的，而且變換的思想(平移、翻折、旋轉(zhuǎn))在添加輔助線構(gòu)造三角形全等中有極其重要的作用．

如：題1在△ABC中，AB=AC，E是AB上的一點(diǎn)，BE=CF，EF交BC于點(diǎn)D，試證明DE=DF．

分析：過E作EG∥AF，交BC于G，得△EGD.由∠B=∠EGB得EG=EB，再因?yàn)锽E=CF，所以CF=EG，從而可證△DEG≌△DFC，所以，DE=DF.

本題中△DEG≌△DFC，相當(dāng)于△DFC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得△DEG；也可看成線段CF平移得線段EG.

題2如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分線，求證：AC+CD=AB.

分析：在△ABC上取一點(diǎn)E，使AE=AC，連接DE，則△ACD

≌△AED(SAS).所以CD=DE，∠C=∠AED=2∠B．又因?yàn)椤螦ED

=∠B+∠EDB，所以∠B=∠EDB.

所以BE=DE，因此BE=CD.

可得：AC+CD=AB．

說明：在已知三角形角平分線時(shí)，翻折是常用的一種構(gòu)造三角形全等的方法．連接ED得△AED，相當(dāng)于將△ACD沿直線AD翻折得△ADE.本題介紹了用“截長(zhǎng)”法(將AB截成AE、BE兩段)證一線段(AB)是另兩線段(AC、CD)的和.

思考：如果將△ABD沿AD翻折，那么，輔助線怎么添，又如何證明呢?

這種證兩線段之和等于第三條線段的方法與上面介紹的方法有什么不同？

例3如圖，AD是△ABC的一條中線.求證：AB+AC＞2AD．

證明：延長(zhǎng)AD到A′，使得DA′=DA，連接A′C．

在△ADB與△A′DC中，

AD=A′D，∠ADB=∠A′DC，BD=CD，

∴△ADB≌△A′DC(SAS)． ∴ AB=A′C．

在△ACA′中，AC+A′C＞AA′，

∴ AC+AB＞2AD．

說明：本例也是一種常用的構(gòu)造三角形全等的方法，遇到三角形中線加倍延長(zhǎng)構(gòu)造△A′DC，其實(shí)可看成繞著D點(diǎn)，將△ADB旋轉(zhuǎn)180°得△A′DC.本題介紹了加倍法，即把2AD化為一條線段來(lái)證明的方法.

由上可知，用“變換的思想”看全等，使靜態(tài)的幾何圖形動(dòng)了起來(lái)，一方面便于我們從復(fù)雜的圖形中找出全等三角形，另一方面有助于我們構(gòu)造(添加輔助線)全等三角形.其實(shí)，變換的思想不僅是探索圖形性質(zhì)，認(rèn)識(shí)和描述空間位置關(guān)系的必要手段，而且也是解決現(xiàn)實(shí)世界中的具體問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要工具.愿我們用一雙動(dòng)態(tài)的眼睛學(xué)數(shù)學(xué)，看世界.

責(zé)任編輯/王寫之