對原版教材一道“路徑最短”問題的探究

董鳳娥

[摘 要] 本文對原版人教版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第42頁的一道路徑最短問題進行了探究.

[關(guān)鍵詞] 原版教材；新版教材；將軍飲馬問題；路徑最短；軸對稱

背景簡介

首先讓我們看一道路徑最短問題：如圖1，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線路徑最短？

該問題是原版人教版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第42頁“軸對稱”這一章的一個路徑最短探究活動問題. 本題乍一看和古希臘著名的“將軍飲馬問題”極其相似，但仔細推敲還是有區(qū)別的. 請讀者自行和新版人教版教材“軸對稱”這一章第85頁問題一的“將軍飲馬問題”比對一下，本文從略. 因大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了“將軍飲馬問題”，筆者稱之為“海倫解法”，所以原版人教版數(shù)學(xué)教材八年級上冊對這個問題給出的解答就是“海倫解法”.

前些年，因全國各地極少數(shù)教師們對原版教材選擇此題和給出的解答并不認同，并經(jīng)常在報刊各抒己見，故新版人教版教材就把這道例題撤掉了，換上了真正的大家公認的“將軍飲馬問題”，以考查學(xué)生運用軸對稱解決實際問題的能力. 盡管如此，有些教師，尤其是老教師，對于這道題仍然念念不忘，時不時講完“將軍飲馬問題”后，把和這道題說法類似的問題搬出來供學(xué)生練習(xí)使用，但給出來的答案竟然和原版人教版教材的解答實質(zhì)一樣，這種做法或多或少有點令人遺憾. 出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因在于大多數(shù)教師沒有真正領(lǐng)會什么才是大家公認的“將軍飲馬問題”，遇見類似問題，總是憑直覺按過去的老一套進行處理. 本題既然和“將軍飲馬問題”不一樣，究竟應(yīng)該如何進行處理呢？正是基于這樣的背景并帶著這樣的疑問，筆者想借貴刊一角，表達自己的看法，和大家進行探討.

探究情況

一個偶然的機會，筆者發(fā)現(xiàn)陜西師范大學(xué)主辦的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》雜志在2016年第4期下旬刊學(xué)研版第49～50頁，刊登了王春安老師的《對一道路徑最短問題的探究》一文，讀后受益匪淺，令人耳目一新. 受該文的啟發(fā)，筆者對原版人教版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第42頁的這道路徑最短問題進行了嘗試性的探究，發(fā)現(xiàn)這道題很耐人尋味，現(xiàn)解答如下.

情形一：當直線L和AB不平行時，A，B在L的異側(cè).

根據(jù)兩點之間線段最短可知，泵站應(yīng)建在直線L和AB的交點處，輸氣管線路徑最短為AB.

情形二：當直線L和AB平行時，A，B在L的同一側(cè).

如圖2，已知AB∥L，作AD，BE與L垂直，垂足分別為D，E，延長BE到G，使BE=EG，連接AG與直線L交于C點，連接BC.

探究結(jié)論

由上述探究過程可知，兩個小鎮(zhèn)到燃氣管道的距離以及兩個小鎮(zhèn)之間的距離對路徑最短問題的結(jié)果是有影響的，忽視這些因素，就會造成漏解. 原版人教版教材對此題的解答即便是緊緊抓住“如圖”這一字眼展開解答，也還是漏掉了情形二的三種結(jié)果和情形三的另外兩種結(jié)果. 出現(xiàn)這種矛盾的原因就在于“將軍飲馬問題”的答案具有唯一性，而原版教材恰恰就是把這個本來就不是“將軍飲馬問題”的問題看成了“將軍飲馬問題”，這也是少數(shù)教師對原版教材選擇此題和教材中給出的解答表示不認同的原因.

對原版教材上的這個問題，多數(shù)教師照本宣科，從不質(zhì)疑. 即便有教師質(zhì)疑過但也不知道如何描述本題的解答，更何況學(xué)生呢？新版人教版教材刪掉這個問題而給出大家公認的“將軍飲馬問題”實乃明智之舉，應(yīng)該給予點贊. 因為新版教材給出的解答是針對大家公認的“將軍飲馬問題”而言的，答案具有唯一性，無需分類討論，既不會引起人們的質(zhì)疑，還符合學(xué)生的認知規(guī)律.

以上探究過程、結(jié)論和觀點等等，只是筆者的一孔之見，不妥之處，請同行斧正.