因式分解的常用方法

胡國忠

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解.因式分解是整數(shù)質(zhì)因數(shù)分解的發(fā)展，實質(zhì)是多項式乘法的逆運算.它是多項式的一種恒等變形，主要包含以下三方面內(nèi)容：

１.因式分解的對象是多項式，無論是被分解式還是分解后的每一個因式都是多項式或單項式.

２.因式分解的過程是多項式的恒等變形，每一步保持前后兩式恒等，可以逆用多項式乘法或代入具體數(shù)值來檢驗.

３.因式分解的結(jié)果是整式連乘積的形式，并且每個因式都要分解到不能再分解為止.

因式分解的方法很多，技巧性較強，常用的有提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、配方法.這些方法在應(yīng)用時有一定的規(guī)律，但沒有固定模式，且在分解因式時常常是將幾種方法結(jié)合交替使用.現(xiàn)以競賽題為例，說明分解因式的一般方法.

一、提公因式法

例１分解因式：２ｘ^３－ｘ^２ｚ－４ｘ^２ｙ＋２ｘｙｚ＋２ｘｙ^２－ｙ^２ｚ.

（１９９９年天津市初二數(shù)學(xué)競賽試題）

解：原式＝２ｘ^３－４ｘ^２ｙ＋２ｘｙ^２－（ｘ^２ｚ－２ｘｙｚ＋ｙ^２ｚ）

＝２ｘ（ｘ^２－２ｘｙ＋ｙ^２）－ｚ（ｘ^２－２ｘｙ＋ｙ^２）

＝２ｘ（ｘ－ｙ）^２－ｚ（ｘ－ｙ）^２＝（ｘ－ｙ）^２（２ｘ－ｚ）.

評點：不管用什么方法分解因式，有公因式的一定要先提公因式.分組要有預(yù)見性，本題的關(guān)鍵是要從系數(shù)和字母ｚ入手，觀察得到含字母ｚ的三項與不含ｚ的三項系數(shù)比都是１∶（－２）∶１.

二、先分組，再套公式

例2將多項式ｘ^２－４ｙ^２－９ｚ^２－１２ｙｚ分解成因式的積，結(jié)果是（）.

（Ａ）（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）（ｘ－２ｙ－３ｚ） （Ｂ）（ｘ－２ｙ－３ｚ）（ｘ－２ｙ＋３ｚ）

（Ｃ）（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）（ｘ＋２ｙ－３ｚ）（Ｄ）（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）（ｘ－２ｙ－３ｚ）

（第９屆“希望杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽題）

解：原式＝ｘ^２－（４ｙ^２＋１２ｙｚ＋９ｚ^２）

＝ｘ^２－（２ｙ＋３ｚ）２＝（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）（ｘ－２ｙ－３ｚ）.選（Ｄ）.

評點：解本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)４ｙ^２＋１２ｙｚ＋９ｚ^２是個完全平方式.

三、先分組，再代入確定系數(shù)

例3設(shè)ｘ^３＋３ｘ^２－２ｘｙ－ｋｘ－４ｙ可分解為一次與二次因式之積，則ｋ＝_______.

解：ｘ^３＋３ｘ^２－２ｘｙ－ｋｘ－４ｙ

＝（ｘ^３＋３ｘ^２－ｋｘ）－（２ｘｙ＋４ｙ）＝ｘ（ｘ^２＋３ｘ－ｋ）－２ｙ（ｘ＋２）.

欲使此式可分解，則ｘ^２＋３ｘ－ｋ應(yīng)含因式ｘ＋２.

以ｘ＝－２代入ｘ^２＋３ｘ－ｋ，則它的值為０，

即（－２）^２＋３（－２）－ｋ＝０，故ｋ＝－２.

評點：把含有字母ｙ的項分成一組，其他的項分成另一組，然后利用“ｘ＝－２代入ｘ^２＋３ｘ－ｋ，它的值為０”確定ｋ的值是解題的關(guān)鍵.

四、十字相乘法

2a-b

例4已知ａｂ≠０，ａ^２＋ａｂ－２ｂ^２＝０，那么———的值為________.

2a+b

（１９９９年全國初中數(shù)學(xué)競賽題）

解：由條件得（ａ＋２ｂ）（ａ－ｂ）＝０，故可得ａ＋２ｂ＝０或ａ－ｂ＝０.

2a-b5

當(dāng)ａ＋２ｂ＝０時，即ａ＝－２ｂ，＝———=——；

2a+b3

２a-b１

當(dāng)ａ－ｂ＝０時，即ａ＝ｂ，————＝——.

２a+b3

２a-b5 １

故———的值為——或——.

２a+b3１

評點：解本題的關(guān)鍵是利用十字相乘法把ａ２＋ａｂ－２ｂ^２分解因式，從而得到ａ、ｂ之間的關(guān)系式.

五、先將多項式“全部還原”或“部分還原”，再分組

例5把多項式ｂ^２－ｃ^２＋ａ（ａ＋２ｂ）分解因式，得_______.

（２００１年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

解：ｂ^２－ｃ^２＋ａ（ａ＋２ｂ）＝ｂ^２－ｃ^２＋ａ２＋２ａｂ

＝（ａ２＋２ａｂ＋ｂ^２）－ｃ^２＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）.

評點：當(dāng)多項式是幾項積的和時，先將多項式“全部還原”或“部分還原”，再重新整理分組，是解決此類問題比較好的方法.

請做下面幾道競賽題：

１.分解因式：ｘｙ－１－ｘ＋ｙ＝_______.

（第１０屆“希望杯”初中數(shù)學(xué)競賽題）

２.下列５個多項式，其中在有理數(shù)范圍內(nèi)可以進行因式分解的有（）.

①ａ２ｂ^２－ａ２－ｂ^２－１；

②ｘ^３－９ａｘ^２＋２７^ａｘ－２７ａ^３；

③ｘ（ｂ＋ｃ－ｄ）－ｙ（ｄ－ｂ－ｃ）－２ｃ＋２ｄ－２ｂ；

④３ｍ（ｍ－ｎ）＋６ｎ（ｎ－ｍ）；

⑤（ｘ－２）２＋４ｘ.

（Ａ）①②③ （Ｂ）②③④

（Ｃ）③④⑤（Ｄ）①②④

（第１０屆“希望杯”初中數(shù)學(xué)競賽題）

３.下列各式分解因式后，可表示為一次因式乘積的是（ ）.

（Ａ）ｘ^３－９ｘ^２＋２７ｘ－２７ （Ｂ）ｘ^３－ｘ^２＋２７ｘ－２７

（Ｃ）ｘ^４－ｘ^３＋２７ｘ－２７ （Ｄ）ｘ^３－３ｘ^２＋９ｘ－２７

（第１３屆“希望杯”初中數(shù)學(xué)競賽題）