第一屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題解答及分析

今年3月22日，上海市有76名中學(xué)生參加了第一屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽。競(jìng)賽結(jié)果，有2名獲得15分(滿分)，2名獲得13分，3名獲得12分，8名獲得11分，13名獲得10分?，F(xiàn)在，我們對(duì)這次競(jìng)賽的試題給出解答，并作扼要分析。這些解答未必最優(yōu)，僅供參考。一、設(shè)x，y和z都大于1，ω是正數(shù)，且有l(wèi)ogxω=24，1oyω=40，logxyzω=12，求logzω。

這是一道基本題。主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的性質(zhì)。極大多數(shù)考生完成了本題，其解法如下:

【解法一】由logχω=24，1ogyω=40，logχyzω=12，知0<χ≠1，00，且logωχ=1/24，1ogωy=1/40，于是logωχyz=logωx+logωy+logωz=1/12。

∴l(xiāng)ogωz=1/12-1/24-1/40=1/60，

logzω=60。

【解法二】根據(jù)題意，得

χ21=ω，y40=ω，(xyz)12=ω1/5。

∴ω=z60，logzω=60。

二、設(shè)f(χ)=|χ-p|+|χ-15|+|χ-p-15|，其中0

本題的目的，主要在于考查學(xué)生能否熟練地掌握絕對(duì)值概念和函數(shù)的最小值的含義。

【解】∵0

若要使f(x)最小，那么只須使x最大即可。所以當(dāng)x=15時(shí)，f(x)min=15。

是多少?

本題雖然難度不大，但有24名考生答錯(cuò)，尤其是其中22人的答數(shù)竟然都是720。分析其原因是直接將方程兩邊平方得出的是關(guān)于x的四次方程。這時(shí)新方程中的常數(shù)項(xiàng)是720，于是，欣然地根據(jù)推廣的韋達(dá)定理，卻不考慮這時(shí)的四個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)是增根，從而導(dǎo)致錯(cuò)錯(cuò)的結(jié)論。

【解法一】將原方程改寫成

∴χ2+18χ+45=25即χ2+18χ+20=0，其判別式為正?！鄡蓪?shí)根之積是20。

=2t(因?yàn)閠≥0)，t2-2t-15=0，(t一5)(t十3)=0。

∵t≥0，∴t=5。(t=-3舍去)

χ2+18χ+45=52，

即χ2+18χ+20=0。∴χ1χ2=20。

四、一金工車間的切割工具呈有缺口的圓形，如

之長(zhǎng)為2cm，∠ABC為直角。求B點(diǎn)到圓心的距離(以cm為單位)的平方。

這是一個(gè)可以用幾種不同方法來解答的幾何計(jì)算題。如果學(xué)生善于掌握有關(guān)三角函數(shù)的基本運(yùn)算以及余弦定理的運(yùn)用，那末就容易想到以下的三角解法。

【解法一】連接AC兩點(diǎn)，過O向AC作垂線交于D點(diǎn)(見圖1)，則AD=DC，

本題還可用幾何方法求解。

【解法二】如圖2，連AC，OB。過O、B點(diǎn)分別作直線AC的垂線，且分別交AC于E、D點(diǎn)，又過B點(diǎn)作BF⊥OE。

∴OB2=OF2+FB2=26。五、設(shè)兩復(fù)數(shù)χ和y的平方和為7，它們的立方和為10，χ+y能取到的最大實(shí)值是多少?

本題主要考查學(xué)生能否熟練地掌握解方程組和因式分解的基本技能。

【解法一】根據(jù)題意，得

將①式代入②式，得S3-21S+20=0，即(S-1)(S-4)(S+5)=0。

∴Smaχ=(χ+y)maχ=4。

【解法二】由(χ+y)2=χ2+y2+2χy及χ2+y2=7，

得(χ+y)3-21(χ+y)+20=0，

解得χ+y=1，χ+y=-5，χ+y=4。

∴(χ+y)maχ=4。

六、設(shè)an=6n+8n，決定a83除以49的余數(shù)

本題的得分率很低，有51名學(xué)生得零分，其原因是考生不能靈活正確運(yùn)用二項(xiàng)式定理來求解。

【解】an=(7-1)n+(7+1)n=〔7n-Cn17n-1+…-1〕+〔7n+Cn17n-1+…+1〕=2〔7n+Cn27n-2+…+Cnn-373+Cnn-17〕=2·49〔7n-2+Cn27n-4+…+Cnn-37〕+14n。于是

a83=49k+14·88=49k+1162.(k是整數(shù)

∵1162除以49的余數(shù)是35，∴a83除以49的余數(shù)是35。

七、某個(gè)國(guó)王的二十五位騎士圍坐在圓桌旁，他們中間的三位被選派去殺一條惡龍(設(shè)三次挑選都是等可能的)，令P是被挑到三位騎士中至少有兩位是鄰座的概率。若把P寫成一個(gè)既約分?jǐn)?shù)，其分子與分母之和是多少?

這是一個(gè)求等可能事件的概率題。在76名學(xué)生中，僅有16名答對(duì)?？梢妼W(xué)生在這類問題上是薄弱的。

【解法一】根據(jù)題意，總的基本事件數(shù)為Cn3，又根據(jù)在三位騎士中至少有兩位是鄰座的條件，于是，一種情況是，三位騎士依次相鄰，那么有n種選法；另一種情況是，二位騎士是鄰座，此時(shí)第三位騎士就不選在已經(jīng)鄰座的兩位騎士的兩旁。也就是說，第三位騎士只能在(n-4)位中任選一位，這樣有n(n-4)種選法。因此，滿足條件的基本事件數(shù)為n+n(n-4)

【解法二】從圍坐中選一人，有C125種選法，并始終約定被選中的人的右邊(或左邊)那個(gè)人也隨同而去。如此，已選得相鄰兩人，再在余下的人中選一人即可，為避免重復(fù)，在與已選兩人不相鄰的21人中選一人(有C121種選法)，然后加上已選兩人之右鄰(或左鄰)的一人的一種，計(jì)得(C121+1)種選法。故滿足條件的選法有C125(C121+1)種。于是

∴分子與分母之和是57。

的最大值是多少?本題主要考查組合公式及簡(jiǎn)單邏輯推理能力。

二位數(shù)質(zhì)因子，則0

在分子小于200的奇因子中，如果其含有最大的二位數(shù)質(zhì)因子p，那末它除含有p外，只能再含3的一個(gè)因數(shù)。∵183=3·61，∴p=61。

本題是一個(gè)函數(shù)極值的問題。大多數(shù)考生能熟練運(yùn)用平均值定理進(jìn)行求解。該題得分率較高。

【解法一】∵0<χ<π，∴χsinχ>0，于是

f(χ)min=12?！窘夥ǘ坑沠(χ)為y，記χsinχ為u，即有9u2-yu+4=0。

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(上接41頁)

由u是實(shí)數(shù)，得(-y)2-4·9·4≥0，即y2≥144，于是y≤-12，y≥12。

∵00，y>0，故y≤-12舍去。于是，當(dāng)y≥12時(shí)，而由

得xsinx=2/3，即xsinx=2/3時(shí)，ymin=f(x)min=12。

十、數(shù)1447，1005和1231有某些共同點(diǎn)，即每一個(gè)都是以1帶頭的四位數(shù)，且每個(gè)數(shù)恰好有兩個(gè)數(shù)字相等，這樣的數(shù)共有多少個(gè)?

這是一個(gè)組合題。如果學(xué)生能夠掌握組合概念和分類的思想方法，本題也不難解決，但本題得分并不理想，答錯(cuò)者竟達(dá)59人之多。

【解法一】事實(shí)上，滿足條件的四位數(shù)有如下六類:

11×△，1×1△，1×△1，1△△×，1×△△，1△×△。

(待續(xù))

(摘自《科學(xué)畫報(bào)》1983年第7期)