誰將采摘數(shù)學(xué)皇冠上的明珠

王連笑

二百多年前，有一個德國數(shù)學(xué)家叫哥德巴赫，他很喜歡研究一些整數(shù)的規(guī)律。他想，兩個奇數(shù)的和一定是偶數(shù)，特別是兩個奇素?cái)?shù)之和一定是偶數(shù)。那么反過來對不對呢?于是他做了一些試驗(yàn)，如:

6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5

12=3+9=5+7，16=13+3=7+9=5+11

他發(fā)現(xiàn)，一個不小于6的偶數(shù)不僅能寫成兩個奇數(shù)之和，而且至少有一組是兩個奇素?cái)?shù)之和。他同時(shí)還發(fā)現(xiàn)把一個不小于9的奇數(shù)也能分成三個奇數(shù)之和，并且其中也至少有一組是三個奇素?cái)?shù)之和，例如

31=3+11+17=7+9+15=5+11+15

這是不是一條普遍規(guī)律呢?他沒有把握，于是在1742年給世界著名的大數(shù)學(xué)家歐拉寫了一封信，提出了自己的猜想:

A.每一個不小于6的偶數(shù)都可以表示為兩個奇素?cái)?shù)之和；

B.每一個不小于9的奇數(shù)都可以表示為三個奇素?cái)?shù)之和。

歐拉當(dāng)時(shí)就住在德國，他接到信之后也進(jìn)行了探討，并給哥德巴赫回了信，認(rèn)為這兩個猜想是對的，但是不能給出一般的證明。這就是“哥德巴赫猜想”的由來。由于命題A是命題B的直接推論，所以人們的注意力就放在命題A上。

哥德巴赫猜想看起來淺顯易懂，似乎很容易證明。有人對三千三百萬以下的不小于6的偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，發(fā)現(xiàn)命題A都是正確的。

然而，事情并不那么簡單。驗(yàn)算并不能代替證明，一部分?jǐn)?shù)也不能代替一切數(shù)，問題的關(guān)鍵是對于一切大偶數(shù)，命題A是不是正確?“一切”這兩個字把看起來十分明顯的問題變得困難了，因?yàn)橐汛笈紨?shù)表示為兩個素?cái)?shù)之和，而素?cái)?shù)本身并沒有什么規(guī)律，并且自然數(shù)越大，素?cái)?shù)分布越稀疏，甚至對于一個相當(dāng)大的數(shù)究竟是不是素?cái)?shù)，人們也無法知道。利用電子計(jì)算機(jī)的幫助，人們至今發(fā)現(xiàn)的最大素?cái)?shù)是244497-1，這個數(shù)有13395位。我們只知道更大的素?cái)?shù)是存在的，但是到底是多少，并不知道，所以對于一個相當(dāng)大的偶數(shù)想把它表示為具體的兩個素?cái)?shù)之和已經(jīng)相當(dāng)困難，何況要證明把一切大偶數(shù)都表示為兩個素?cái)?shù)之和呢?面對哥德巴赫猜想的困難，有的人望而卻步了，而更多的人朝著這個高峰，繼續(xù)攀登著。

“哥德巴赫猜想”是十八世紀(jì)四十年代提出的，但是整個十八世紀(jì)、整個十九世紀(jì)沒有人能夠證明它，直到進(jìn)入二十世紀(jì)的時(shí)候，這個猜想的研究也沒有任何進(jìn)展。這時(shí)，人們在想，既然正面進(jìn)攻有困難，那么能不能迂回前進(jìn)呢?

由于一個不小于6的偶數(shù)能表為兩個奇數(shù)之和，而每個奇數(shù)如果不是素?cái)?shù)的話，也能分解為幾個素?cái)?shù)之積，例如

30=21十9=3×7+3×3

60=42+18=2×3×7十2×3×3

于是一個不小于6的偶數(shù)就肯定能表示為幾個素?cái)?shù)之積與幾個素?cái)?shù)之積的和?；谶@種想法，1919年挪威數(shù)學(xué)家布朗邁出了有決定意義的一步，他證明了一個大偶數(shù)可以表為兩個奇數(shù)之和，而每個奇數(shù)的素因子個數(shù)都不超過9，這個結(jié)果簡單地記為偶數(shù)=(9+9)。道路雖然開辟了，但行進(jìn)仍然艱難，(7+7)，(6十6)，(5+5)……從1920年到1958年，我國數(shù)學(xué)家已經(jīng)前進(jìn)到了(2+3)。

但是這個方法也有一個弱點(diǎn)，就是兩個加數(shù)中沒有一個肯定是素?cái)?shù)，于是有人又開辟了另一個戰(zhàn)場:使兩個加數(shù)中有一個是素?cái)?shù)，即把不小于6的偶數(shù)表示為一個素?cái)?shù)與另一個奇數(shù)之和，而這個奇數(shù)是幾個素?cái)?shù)因子的乘積，這種結(jié)果可以簡記為偶數(shù)=(1+R)，其中R表示是R個素因子乘積，而哥德巴赫猜想就可以簡記為偶數(shù)=(1+1)。直到1947年匈牙利數(shù)學(xué)家雷尼證明了這樣的常數(shù)R是存在的，但是R究竟是多少，還不得而知，因此這只是一個定性的結(jié)果，還需要進(jìn)行定量的研究。十幾年過去了，我國數(shù)學(xué)家潘承洞證明了偶數(shù)=(1+5)，王元和潘承洞又證明了(1+4)，接著蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家在1965年證明了(1十3)，這在當(dāng)時(shí)已經(jīng)是了不起的成就了，人們?nèi)匀徽J(rèn)為向(1十2)挺進(jìn)是相當(dāng)困難的。

1973年，陳景潤在這些工作的基礎(chǔ)上，取得了一個重大的突破，他證明了偶數(shù)=(1十2)，轟動了國內(nèi)外的數(shù)學(xué)界，當(dāng)時(shí)英國數(shù)學(xué)家哈勃斯丹和西德數(shù)學(xué)家李希特的著作《篩法》正在印刷廠付印，他們見到陳景潤的論文，立即在這部書里添了第十一章:“陳氏定理”。此后又有不少數(shù)學(xué)家做了大量工作，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、丁夏畦和王元在1975年發(fā)表了對偶數(shù)=(1+2)的簡化證明。

哥德巴赫猜想到底有什么用呢?它的直接應(yīng)用可能并不那么明顯，然而任何一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重大突破，必然伴隨著數(shù)學(xué)方法的重大創(chuàng)造。在論證哥德巴赫猜想的過程中，人們開創(chuàng)和發(fā)展了一些嶄新的數(shù)學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)了一些新的數(shù)學(xué)規(guī)律，大大豐富了人類對整數(shù)之間的相互關(guān)系的認(rèn)識，推動了數(shù)學(xué)的向前發(fā)展。

有人曾把哥德巴赫猜想比做數(shù)學(xué)皇冠上的明珠，為了摘取它，人們占領(lǐng)了一個又一個高地，攀登了一個又一個臺階，現(xiàn)在站在最高處的是陳景潤。(1+2)距離(1十1)的最后解決只有一步之遙了，然而這是十分艱難的一步。這顆明珠將由誰來摘取呢?是陳景潤?還是不知名的后來者?看吧，數(shù)學(xué)皇冠上的明珠，正在向人們招手呢!

(本文由《從哥德巴赫猜想說起》一書作者根據(jù)該書改寫)