微積分教學(xué)的初步探索

許曉雪

鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南鄭州 450001

【關(guān)鍵字】微積分的本質(zhì)；微積分教學(xué)

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)性學(xué)科，它具有豐富的內(nèi)容和深刻的思想。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)已被廣泛應(yīng)用于信息、經(jīng)濟(jì)、管理、醫(yī)學(xué)和生命科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，目前已成為高等院校各個(gè)專業(yè)的必修課或選修課，在培養(yǎng)大學(xué)生的邏輯思維和思辨能力等方面扮演者重要角色。它是進(jìn)入科學(xué)研究的大門，通常安排在大學(xué)一年級(jí)，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。因此，微積分的教與學(xué)顯得尤為重要。

由于微積分本身的特點(diǎn)---高度的抽象性。很多學(xué)生覺得它枯燥無(wú)味，學(xué)習(xí)積極性不高，而且畏難情緒很大，使得課堂教學(xué)達(dá)不到預(yù)期的目標(biāo)。那么，到底怎樣才能學(xué)好微積分呢？首先，要搞清楚微積分的實(shí)質(zhì)。只有知道它是什么，研究什么問題，才能進(jìn)行針對(duì)性的學(xué)習(xí)。其次，老師的教學(xué)方法很重要。好的教學(xué)手段能把冷冰冰的數(shù)學(xué)符號(hào)變得活靈活現(xiàn)，把數(shù)學(xué)的魅力展現(xiàn)給學(xué)生，進(jìn)而提高課堂學(xué)習(xí)效率。最后也是非常關(guān)鍵的一步，學(xué)生必須投入足夠多的時(shí)間去學(xué)習(xí)，并不斷地總結(jié)，找到適合自己的學(xué)習(xí)方法。本文將圍繞這些問題進(jìn)行展開。

一、微積分的本質(zhì)

一直以來(lái)，微積分給人的印象就是不停地做習(xí)題，不停地計(jì)算，感覺很疲憊。其實(shí)在題目的海洋中隱藏著實(shí)質(zhì)性的內(nèi)容，一旦抓住了它，就會(huì)事半功倍。微積分的本質(zhì)是“以直代曲”。“直”用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說就是“線性”，物理上稱之為“均勻”；“曲”用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說就是“非線性”，物理上稱之為“非均勻”。因此，“以直代曲”就是用線性研究非線性，用均勻來(lái)探究非均勻。線性的對(duì)象相對(duì)容易，因此由簡(jiǎn)單的內(nèi)容探討復(fù)雜的非線性確實(shí)是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。從計(jì)算層面上講，微積分實(shí)質(zhì)上是以“導(dǎo)數(shù)”為出發(fā)點(diǎn)，尋求相應(yīng)函數(shù)的局部性態(tài)。

微積分，顧名思義包括微分和積分。一元函數(shù)的微分等于導(dǎo)數(shù)與自變量改變量的乘積。我們知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率，求出函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用點(diǎn)斜式就可得到過改點(diǎn)的切線方程。那么在研究函數(shù)的微分時(shí)，實(shí)際上是在做這樣一件事：用切線來(lái)近似代替函數(shù)圖像（一般為曲線），進(jìn)而獲得函數(shù)在指定點(diǎn)附近的信息。這一點(diǎn)在微分中值定理中表現(xiàn)的淋漓盡致。比如拉格朗日中值定理，它就是借助函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值乘以區(qū)間長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的增量，已被廣泛應(yīng)用于近似計(jì)算中。此外，還可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值、凹凸性、曲率等。綜合已得到的信息，最后甚至可以大致描繪出函數(shù)的圖形，至此已經(jīng)把函數(shù)刻畫的很清楚了。對(duì)于積分，在某種意義上它可看成微分的逆運(yùn)算。因此，見到函數(shù)就計(jì)算它的微分和積分，必有斬獲。

二、微積分的教學(xué)技巧

教學(xué)方法有很多種，就微積分而言，不僅要講清楚基本理論、基本思路和基本方法，還要教會(huì)學(xué)生如何運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決問題。在這個(gè)知識(shí)大爆炸的時(shí)代，為了適應(yīng)人類文明的進(jìn)步，微積分教學(xué)的形式和內(nèi)容都發(fā)生了許多變化。對(duì)教學(xué)方法來(lái)說，這既是機(jī)遇也是挑戰(zhàn)。在我看來(lái)，以下幾個(gè)技巧順應(yīng)了時(shí)代的需求。

1、案例式教學(xué)法

微積分教材的結(jié)構(gòu)是有規(guī)律可循的，每一節(jié)的內(nèi)容都是從定義出發(fā)，引出相應(yīng)的定理，最后以例題結(jié)尾。如果只看書自學(xué)的話，即使能看懂，也總是感覺抓不住。這就需要老師具有一定的駕馭能力，能夠把知識(shí)講活。首先，在引入新的概念之前，最好講一些相關(guān)的背景知識(shí)，讓學(xué)生清楚為何要研究這個(gè)問題，這樣他們?nèi)菀捉邮苄聝?nèi)容。我們可以從數(shù)學(xué)史上摘一些經(jīng)典的例子，也可與實(shí)際生活相聯(lián)系來(lái)說明概念的意義和用途。其實(shí)課本上的例題就是很好的案例，但不能單一地只講例子，而要告訴同學(xué)們它考察了那些知識(shí)點(diǎn)，以及所學(xué)的新定義是如何被運(yùn)用的。案例教學(xué)法能有效地培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

2、啟發(fā)式教學(xué)法

課堂上，老師要不斷地引導(dǎo)學(xué)生，鼓勵(lì)他們發(fā)表自己的見解，通過師生的討論，找到解決問題的辦法。這就打破了傳統(tǒng)的滿堂灌的教學(xué)模式。比如在進(jìn)行例題的講解時(shí)，可以先詢問同學(xué)們是怎么想的，甚至可以提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生走上講臺(tái)寫出自己的思路，然后就按學(xué)生的想法去做，如果成功了，他們就會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈地成就感，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)微積分的興趣；若失敗，師生可共同找出原因加以糾正。這種教學(xué)法能讓學(xué)生在課堂上親身經(jīng)歷做題過程，刺激他們獨(dú)立思考，增強(qiáng)學(xué)生積極參與課堂的意識(shí)，活躍課堂氣氛。同時(shí)師生間的互動(dòng)和交流，能促使教師及時(shí)更新知識(shí)，提高教學(xué)技能。教學(xué)相長(zhǎng)，相得益彰。

三、微積分的學(xué)習(xí)技巧

正確的學(xué)習(xí)方法很關(guān)鍵。就微積分而言，首先要做到課前預(yù)習(xí)，這樣聽課時(shí)才有針對(duì)性。課堂上，由于多媒體輔助教學(xué)，學(xué)生沒要必要用筆不停做筆記，而是要重點(diǎn)聽老師的思路。畢竟數(shù)學(xué)是理科，需要理解性記憶。最后，上課時(shí)聽懂了并不等于你學(xué)會(huì)了，課后必須做一定量的練習(xí)。學(xué)數(shù)學(xué)很像學(xué)打球，教練只能告訴你技巧，要想打好，每天堅(jiān)持訓(xùn)練是必不可少的。因?yàn)楝F(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)太方便，很多學(xué)生在做題時(shí)能從網(wǎng)上找到答案，于是就先看答案再做題，這在無(wú)形中剝奪了自己獨(dú)立思考問題的能力，對(duì)答案產(chǎn)生強(qiáng)烈地依賴性，到考試時(shí)還是沒有思路。這是目前大多數(shù)學(xué)生的壞習(xí)慣。因此，一定要嚴(yán)格要求自己，實(shí)在想不出來(lái)了再看答案或者問老師。只有這樣才能發(fā)現(xiàn)自己在微積分上的薄弱之處，以便有針對(duì)性的復(fù)習(xí)。實(shí)踐證明，這種學(xué)習(xí)方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力很有效。

微積分教學(xué)的探索是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，需要各位教師在教學(xué)一線大膽嘗試，勇于創(chuàng)新。堅(jiān)信微積分教學(xué)將更加具有科學(xué)性、合理性。