“新思維具象圖”在初中一元二次方程中的運用

李碧秀

（晉江市潘徑中學(xué)，福建 晉江 362271）

一元二次方程在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的位置.一方面，它起到了貫通前后知識的作用，不但對前面學(xué)過的實數(shù)、一元一次方程、因式分解、二次根式等知識進行鞏固，又對今后將學(xué)習(xí)的其他高元方程、一元二次不等式、二次函數(shù)等知識打下良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)；另一方面通過一元二次方程的教學(xué)過程可以將高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)等滲透到課堂中.為讓學(xué)生能更好地理解和掌握一元二次方程的運用方法，需要運用更有效的教學(xué)方法來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等能力.筆者在近三年的教學(xué)中，運用了“新思維具象圖”這一新的教學(xué)法對一元二次方程的解法進行梳理、歸類，通過新教學(xué)法的開展，促進了學(xué)生思維能力的提升.

一、認(rèn)識“新思維具象圖”的內(nèi)涵及價值

“新思維具象法”是福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院陳祖標(biāo)老師在傳統(tǒng)“思維導(dǎo)圖”的啟發(fā)下，通過與認(rèn)知科學(xué)、思維科學(xué)、可視化理論等相關(guān)學(xué)科研究成果相結(jié)合，創(chuàng)造性地提出了這一新的教學(xué)法.晉江市僑聲中學(xué)張鵡老師在教育部重點課題中做了進一步的研究，并在僑聲潘徑教育集團校全科推廣.［1］筆者將此法運用在初中數(shù)學(xué)科的教學(xué)中，經(jīng)過三年多的教學(xué)實踐，教學(xué)效果顯著.

“新思維具象法”的內(nèi)涵是：通過借助擬人化或擬物化的“圖片”方式，將在頭腦中“看不見、抽象的知識關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)、思維路徑等”轉(zhuǎn)化成為“看得見、具象化的圖形”表達(dá)出來，這樣就使得“看圖知其意”.這種全新的思維教學(xué)法運用到我們的實際教學(xué)中，將知識結(jié)構(gòu)等繪制成“新思維具象圖”，除了有助于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維，還可以讓教師及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維中存在的不足之處并進行糾正，這樣長期堅持下去，將有力地促進學(xué)生的思維提升.

提高教學(xué)的有效性，教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法至關(guān)重要.目前很多學(xué)?；旧隙际且哉n堂中的“灌輸”為主，缺乏對學(xué)生思維能力的培養(yǎng).我們立足“可視化理論”來研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性，從而改進教學(xué)方式，促使學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式、提升學(xué)科思維能力.從心理學(xué)角度來看，初中12 至16 周歲這個年齡段學(xué)生，對以“圖片”方式呈來的知識內(nèi)容興趣大而且記憶深刻，“新思維具象圖”正符合了這一年齡段學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.“新思維具象圖”是知識可視化理論和認(rèn)知工具理論相結(jié)合的產(chǎn)物，在抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用“新思維具象圖”能夠幫助學(xué)生降低認(rèn)知負(fù)荷、激發(fā)探究興趣、構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).以獨創(chuàng)的“新思維具象法”理念為指導(dǎo)，重新審視、理解和創(chuàng)新初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，有獨到的探索意義，對于豐富拓展數(shù)學(xué)教學(xué)理論和達(dá)成初中數(shù)學(xué)、物理等多門課程的總目標(biāo)即“提高全體學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)”，均具有重要的作用.

二、“新思維具象圖”在一元二次方程解題中的運用

一元二次方程的基本解法一共分為三種：直接開平方法、配方法和因式分解法.我們在授課中可以用兩種方式進行對照.

一是用“思維導(dǎo)圖”（如圖1）：

圖1

二是用“新思維具象圖”（如圖2）：

圖2

我們可以從圖1、圖2 明顯體會到它對學(xué)生的興趣和吸引力不同，用“新思維具象圖”開展教學(xué)活動，可以做到既有趣又提高學(xué)生記憶力.其實此方法也對培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”能力有很大的幫助，因為“新思維具象圖”可以幫助學(xué)生從圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征.

（一）“新思維具象圖”在一元二次方程的概念中的運用

一元二次方程在培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”能力方面有重要作用，它可以化成統(tǒng)一的“模型”形式：［2］

（1）對整式方程先進行去分母、去括號、移項、合并同類項等變形；

（2）一般形式中的b、c 可以是任意實數(shù)，而二次項中的系數(shù)a≠0，若a=0，方程就不是一元二次方程了，但也未必就一定是一次方程，這需要對b 進行討論才能決定；

（3）要確認(rèn)一元二次方程的各項系數(shù)，必須先要將此方程轉(zhuǎn)化為一般形式，再確定a、b、c 的值，一定不要漏掉符號；

（4）項與項的系數(shù)一定要區(qū)分開來；

（5）一元二次方程的根：如果x0滿足ax02+bx0+c=0（a≠0），則x0就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根.

“新思維具象圖”形式生動有趣，既能讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，又能便于記憶，能有效提升學(xué)生對一元二次方程的學(xué)習(xí)效果.教師用“新思維具象圖”在給出相關(guān)概念之后，再配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)（如圖3），就可以讓學(xué)生通過練習(xí)掌握什么是“一元二次方程”了.

圖3

例：判斷下列方程是不是一元二次方程.

①2x2-kx-1=0（k 為 常數(shù)）

②4/(x+3)=1

③1-x2=0

④5x2=0

⑤x2+y=0

⑥（x+3）2=（x-3）2

⑦mx2-3x+2=0（m 為常數(shù)）

⑧（a2+1）x2+（2a-1）x+5-a=0（a 為常數(shù)）

解析：①③④⑧易錯點：二次項前面的系數(shù)不為0，和一次項前面系數(shù)及常數(shù)項無關(guān)；②是分式方程；⑤是二元方程；⑥整理后是一元一次方程；⑦當(dāng)m=0時，是一元一次方程；⑧因為a2+1≠0 永遠(yuǎn)成立，所以無論a 為何值，方程⑧都是一元二次方程.

（二）直接開方法解一元二次方程

直接開方法：形如（x+a2）=b（b≥0）的方程可用直接開平方法求解，兩邊直接開平方得：

（1）直接開平方的理論根據(jù)是平方根的定義，注意這里的條件是b≥0，若b＜0，則方程（x+a）=b 無實數(shù)根；

（2）在實際問題中，要聯(lián)系實際情況確定方程的解.

運用直接開方法求解過程中，對于形如x2=m或一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負(fù)數(shù)，可用直接開平方法求解（如圖4）.

圖4

例2：用直接開平方法解關(guān)于x 的方程：

（1）（3x+2）（3x-2）=12

（2）2（x-4）2/3=6

（3）（x-m）2=n

（4）（2x-1）2=b+4c

解析：

（1）x1=4/3，x2=-4/3

（2）x1=1，x2=7

當(dāng)b+4c＜0 時，無實數(shù)根.

此法可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的“邏輯推理”能力.此處的“新思維具象圖”主要是可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生掌握從特殊到一般的推理或從一般到特殊的推理，從面建構(gòu)起一元二次高中生的知識框架，形成有有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

（三）配方法解一元二次方程

配方法是“數(shù)學(xué)運算”中的一種常見的方法，它是指在明確運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)“運算法則”解決數(shù)學(xué)問題的過程.通過此法可以促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，使之養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣.用配方法解一元二次方程的一般步驟，可制作一張如圖5 所示的“新思維具象圖”.當(dāng)然也可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛好，制作自己的“新思維具象圖”，這樣幫助學(xué)生掌握和牢記“配方法”解一元二次方程的方法和步驟，再配合一定的習(xí)題去練習(xí)，以達(dá)到鞏固所學(xué)知識和技能的目的.

圖5

例3：用配方法求方程：

（5）無實根（或無實數(shù)根）.注意，不能說無解！

（四）因式分解法解一元二次方程

因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即：若ab=0，則a=0 或b=0.

因式分解法的一秀解題步驟的“新思維具象圖”如圖6：

圖6

歸納：

（1）采用因式分解法可以將“一元二次方程”作為兩個“一元一次方程”來求解，它體現(xiàn)了一種“降階”要求和降低難度的思想；

（2）將方程右邊變形為0，左邊化為(ax+b) (cx+d)=0

（3）因式分解法是比前兩種簡單的一種方法，若能用此法優(yōu)先考慮;

（4）為便于運算，應(yīng)先把方程整理成一般形式，并且首項取為正號.

因式分解法解一元二次方程是大家在三種解法當(dāng)中覺得最困難的一種，其中不僅是因式分解的過程比較困難，而且在計算的時候也比較容易出錯.所以，教學(xué)中一定要讓學(xué)生注意：一是解方程時，不能兩邊同時約去含未知數(shù)的項；二是因式分解法的前提是方程一邊等于0.

例4：用因式分解法解方程：

“新思維具象圖”教學(xué)法，讓學(xué)生深刻理解并掌握一元二次方程的三大解法，并對學(xué)生掌握每一種解法都給出了實質(zhì)的建議和解題技巧.在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的同時，可以很好地將數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)落實到課堂上來，讓我們的課堂教學(xué)既有趣，又便于學(xué)生學(xué)習(xí)掌握、深刻記憶，從而提高課堂教學(xué)效率.