基于元件組合理論的砂巖動態(tài)損傷本構模型*

江雅勤，吳帥峰，劉殿書，賈 貝，王 蒙，李曉璐

(1.中國礦業(yè)大學(北京)力學與建筑工程學院，北京 100083； 2.中國水利水電科學研究院巖土工程研究所，北京 100044)

在地下礦開采、大斷面公路隧道、大型地下工程、高陡巖石邊坡、深埋洞室等巖體工程中，常常遇到砂巖動力學問題。致密砂巖氣是國際上開發(fā)規(guī)模最大的非常規(guī)天然氣。中國致密砂巖氣的儲量豐富，具有廣闊的發(fā)展前景，在天然氣能源結構中的重要性日趨顯著[1-2]。砂巖在鉆井開采時承受著沖擊荷載，要提高機械鉆井速度和開發(fā)水平、降低開發(fā)成本，對砂巖的動態(tài)力學特性進行研究是十分必要的[3]。牛雷雷等[4]利用擺錘沖擊加載分離式霍普金森壓桿(split Hopkinson pressure bar， SHPB)裝置，得出動態(tài)抗壓強度與加載應變率具有正相關性的結論。朱晶晶[5]對砂巖進行沖擊試驗，結果表明在動態(tài)應力峰值附近，砂巖損傷發(fā)生變化，巖石內(nèi)部裂紋進入發(fā)育階段。石祥超等[6]基于三軸動態(tài)試驗，給出了砂巖的Johnson-Holmquist模型參數(shù)，并借助AUTODYN軟件模擬驗證了參數(shù)的準確性。趙光明等[7]對砂巖和泥巖兩種典型的軟巖進行沖擊試驗，通過用損傷體代替非線性彈簧，修改了朱-王-唐模型，建立了用于軟巖的動態(tài)本構模型。到目前為止，還未見能夠全面反映砂巖動態(tài)力學特性的本構關系[8]，因此構建砂巖的動態(tài)本構模型具有重要的實際意義。

本研究中利用SHPB對砂巖進行沖擊壓縮試驗，根據(jù)試驗結果，考慮應變率效應和損傷軟化效應，結合元件組合理論，構建基于損傷的砂巖本構模型，并利用LS-DYNA軟件二次開發(fā)平臺對致密砂巖的損傷本構模型進行模擬驗證。

1 動態(tài)力學性能實驗研究

從圖2和圖3可以看出，砂巖在沖擊作用下具有如下特征。

(1) 彈塑性特征。在不同的中低應變率作用下，砂巖的本構曲線在達到峰值應力之前具有不同的特性。當應變率小于50 s-1時，砂巖的本構曲線在達到峰值應力前基本呈近似線彈性，部分試件表面有裂紋，但均未發(fā)生破碎。當應變率大于50 s-1時(見圖3)，達到峰值應力前的應力-應變曲線可分為3個階段。第1階段(AB段)為近似線彈性段。第2階段(BC段)中，應力-應變曲線的斜率較小，應變增量較大，而應力增長緩慢，表明砂巖進入塑性階段。在應力波作用下砂巖內(nèi)部原始裂隙擴展，形成大量新裂隙，但還未形成宏觀上的破壞。第3階段(CD段)是塑性增強階段，斜率明顯增大，但遠小于AB段斜率，應力增加較快，逐漸達到應力峰值。當塑性應變較小時，試件裂紋繼續(xù)發(fā)育，內(nèi)部發(fā)生損傷，但未發(fā)生明顯的宏觀破壞；當應變達到某臨界值時，試件發(fā)生破壞。達到峰值應力后(DE段)，應變持續(xù)緩慢增加，而應力迅速下降，曲線為正卸載，未出現(xiàn)回彈現(xiàn)象，表明砂巖發(fā)生不可逆的變形損傷和破壞。

式中：KD為損傷待定系數(shù)，β為材料常數(shù)。

(3) 黏性特征。砂巖的動態(tài)強度與應變率具有明顯的相關性，即動態(tài)強度隨著應變率的增大而增大。這種特征在本構模型中描述為黏性，在元件理論中用牛頓體表示：

式中：σ為應力，η為黏滯系數(shù)。

2 沖擊作用下砂巖動態(tài)本構模型構建

對于三參量模型，根據(jù)串、并聯(lián)元件基本規(guī)則，可得：

其中：

由此可得：

因此式(6)可化為：

其中：

采用拉普拉斯變換消去函數(shù)中的應力率項，使本構方程變?yōu)閼兒蛻兟实暮瘮?shù)。對式(11)進行拉普拉斯變換[11]，可得：

式中：s為復變參量。把邊界條件σ2(0)=0代入式(13)，得到：

對式(14)進行拉普拉斯逆變換，可得：

將式(16)化簡整理得：

根據(jù)應變率定義，式(17)可化為：

對于Maxwell模型，由串聯(lián)得:

其中:

則

對式(21)進行拉普拉斯變換，得：

把式(19)代入式(22)，結合邊界條件ε1(0)=0時，σ1(0)=0，式(22)變換為:

再由拉普拉斯逆變換，求得:

根據(jù)圖4構建的含損傷的砂巖本構模型為:

式中：E1、E2、E3、E4為擬合參數(shù)。

3 SHPB沖擊砂巖模擬應用

LS-DYNA是常用的顯式非線性動力分析程序，以Lagrange算法為主，能夠計算碰撞、爆炸、沖擊等問題。運用LS-DYNA進行SHPB系統(tǒng)的模擬計算時，采用Lagrange中心差分算法，通過用戶材料子程序UMAT[12]定義模型，通過定義失效關鍵字*MAT_ADD_EROSION實現(xiàn)單元失效[13]。自定義本構模型在LS-DYNA中的計算流程如圖5所示，按上述方法編譯程序，使用新生成的求解器提交K文件至求解器中求解。

按照試驗設備建立直徑為50 mm的SHPB系統(tǒng)模型，其中撞擊桿、入射桿和透射桿長度分別為400、2 000和2 000 mm，試件長度為50 mm。系統(tǒng)桿密度為2 800 kg/m3，彈性模量為77 GPa，泊松比為0.27。對7.5、9.5、11.5和13.5 m/s 4種不同沖擊速度(v)下的SHPB試驗進行模擬，與對應的試驗情況進行比較分析。

圖6為4種沖擊速度下砂巖試驗和數(shù)值模擬得到的應力-應變曲線。從圖6中可以看出：對于彈性極限及其對應的應變，試驗曲線和模擬曲線具有較好的一致性；模擬曲線能夠較好地描述彈性段結束時短暫的塑性段；在塑性段結束后，模擬曲線同樣能準確地描述塑性強化段，具有與試驗曲線較一致的峰值強度，所對應的峰值應變較試驗曲線略小，而最大應變基本一致。模擬結果顯示出與試驗結果相同的應變率效應，砂巖的動態(tài)強度隨著沖擊速度的提高而提高。說明本研究中所構建的動態(tài)本構方程可以較全面地反映砂巖的動態(tài)本構關系，具有較好的模擬效果。

方法v/(m·s-1)ε/s-1σd,max/MPaεmax/10-3方法v/(m·s-1)ε/s-1σd,max/MPaεmax/10-3模擬7.555.5348.081.820試驗7.552.3950.932.000模擬9.564.0663.182.170試驗9.564.7163.322.260模擬11.581.3688.943.920試驗11.578.2395.873.900模擬13.585.2597.146.080試驗13.590.69102.746.017

4 結 論

(1) 對砂巖進行了動態(tài)沖擊試驗，由砂巖的動態(tài)本構曲線可知：砂巖具有動態(tài)強度隨應變率增大而增強的黏性特征，同時具有近似線彈性特征、理想塑性及塑性增強特征；損傷的發(fā)展與應變率相關，并由此建立了損傷與應變率及應變的函數(shù)關系。

(2) 根據(jù)砂巖的動態(tài)力學特征，采用元件組合理論，構建了由損傷體、Maxwell模型和三參量模型組合而成的含損傷的砂巖本構模型。

(3) 利用LS-DYNA對所構建的本構模型進行內(nèi)嵌編譯，并對砂巖進行沖擊試驗模擬。結果顯示，模型所得的應力-應變曲線彈性段、動態(tài)峰值強度及最大應變均與試驗情況一致，且相對誤差小于10%，表明該模型可以較全面、準確地反映砂巖的動態(tài)本構關系。

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