一種動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性建模

何志超　楊　耕　盧蘭光　吳海?！」ⅰ∪A

(1.清華大學(xué)自動(dòng)化系　北京　100084 2.汽車安全與節(jié)能國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(清華大學(xué))　北京　100084)

一種動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性建模

何志超1楊耕1盧蘭光2吳海桑1耿華1

(1.清華大學(xué)自動(dòng)化系北京100084 2.汽車安全與節(jié)能國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(清華大學(xué))北京100084)

摘要為了對動(dòng)力電池進(jìn)行有效管理，首先需要準(zhǔn)確地建立動(dòng)力電池的動(dòng)態(tài)特性模型。提出了一種動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性的工程性建模方法。該方法基于電池內(nèi)部物理化學(xué)動(dòng)態(tài)機(jī)理及非線性恒流特性，核心為一個(gè)由恒流特性曲線和等效電路模型組成的動(dòng)態(tài)特性模型以及一套獲取該模型參函數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法和數(shù)據(jù)處理方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于已有方法，該文方法具有準(zhǔn)確度高、適應(yīng)性廣及更加易于工程實(shí)施的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性恒流特性曲線等效電路模型

0引言

在電動(dòng)汽車等的許多應(yīng)用場合，動(dòng)力電池大部分時(shí)間在動(dòng)態(tài)工況下運(yùn)行[1]，即電池工作電流的大小和方向不斷變化，使得電池體現(xiàn)出較為復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性。為了有效管理電池，必須準(zhǔn)確建立動(dòng)力電池的動(dòng)態(tài)特性模型。

圖1　動(dòng)力電池等效電路模型的一般結(jié)構(gòu)Fig.1　General form of battery equivalent circuit model

動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性建模研究主要基于電池的動(dòng)力學(xué)及熱力學(xué)機(jī)理進(jìn)行，目的是建立能夠準(zhǔn)確描述電池外特性的等效電路模型[2]。按照時(shí)間尺度進(jìn)行劃分，動(dòng)力電池內(nèi)部的動(dòng)態(tài)特性包括歐姆內(nèi)阻、雙電層過程、物質(zhì)傳輸過程、充放電循環(huán)過程、可逆過程及老化過程[3]，基于這些動(dòng)態(tài)特性可以建立如圖1所示的等效電路模型[4]。圖中，電壓源E表示電池的開路電壓，U表示電池的端電壓，阻抗Z表示電池的內(nèi)部阻抗，并用于表示在電流i作用下電池內(nèi)部不同動(dòng)態(tài)過程所造成的超電勢。因此，獲取Z的詳細(xì)結(jié)構(gòu)和參數(shù)是動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性建模的關(guān)鍵[5-8]。已有的獲取動(dòng)力電池內(nèi)部阻抗的方法有兩類：測定電化學(xué)阻抗譜和擬合端電壓曲線。

測定電化學(xué)阻抗譜是一種利用動(dòng)力電池Nyquist圖來獲取電池動(dòng)力學(xué)參數(shù)，并進(jìn)而建立電池阻抗模型的方法[9]。這種方法能夠細(xì)致地獲取動(dòng)力電池電化學(xué)阻抗的各個(gè)參數(shù)[10]，進(jìn)而對電池特性進(jìn)行判定[11，12]，并建立電池模型[13，14]。測定電化學(xué)阻抗譜的方法常被用于對動(dòng)力電池的正極材料特性進(jìn)行評價(jià)[15]，因此能夠有效獲取電池內(nèi)部的關(guān)鍵電化學(xué)參數(shù)。然而電化學(xué)阻抗譜的測定需要昂貴的專用儀器，并且難以反映不同工作條件下的電池特性，因此不利于工程實(shí)施。

擬合端電壓曲線是一種借助電池等效電路模型和系統(tǒng)辨識方法的電池建模方法。這種方法能夠在不同條件下[16]利用外特性獲取動(dòng)力電池的開路電壓[17]、內(nèi)部阻抗[18]、可用容量[19-21]及荷電狀態(tài)(State of Charge，SOC)[22-26]等參數(shù)。相比較于測定電化學(xué)阻抗譜的方法，擬合端電壓曲線方法不需要額外的裝置，能夠在線進(jìn)行且便于工程實(shí)施。然而已有的方法往往針對動(dòng)力電池短時(shí)間尺度下的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行建模，建立的模型無法在較長時(shí)間尺度下準(zhǔn)確反映電池特性，從而影響后續(xù)電池建模的研究。

決定動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性的主要因素為電池內(nèi)部在單次充放電循環(huán)以內(nèi)所發(fā)生的動(dòng)態(tài)特性，即歐姆內(nèi)阻、雙電層過程、物質(zhì)傳輸過程及充放電循環(huán)過程。這4個(gè)動(dòng)態(tài)特性的時(shí)間尺度分別為毫秒級、秒級、分鐘級和小時(shí)級[3]，因此可以采用多時(shí)間尺度動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模思路進(jìn)行建模。

為了盡可能充分利用電池?cái)?shù)據(jù)獲取電池內(nèi)部更多的信息，本文提出了一種動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性的工程性建模方法。該方法考慮恒溫條件下動(dòng)力電池在單次充放電循環(huán)以內(nèi)的動(dòng)態(tài)特性，并使用二階戴維南等效電路模型對其進(jìn)行描述；通過一系列恒流實(shí)驗(yàn)和電流階躍實(shí)驗(yàn)獲取電池在不同工作電流附近的特性曲線，并以此計(jì)算模型中的各個(gè)參函數(shù)，進(jìn)而獲取電池內(nèi)部參數(shù)隨工作條件的變化規(guī)律。首先介紹電池動(dòng)態(tài)特性中所涉及的物理化學(xué)機(jī)理，并給出本文所使用的等效電路模型及其參函數(shù)的機(jī)理解釋；然后介紹獲取模型參函數(shù)的方法，并對方法的原理進(jìn)行解釋；最后通過一組建模實(shí)例對所提出的建模方法進(jìn)行討論，并與現(xiàn)有方法進(jìn)行比較。

1機(jī)理分析

本文在建模過程中只考慮電池的歐姆內(nèi)阻、雙電層過程、物質(zhì)傳輸過程及充放電循環(huán)過程。其中，歐姆內(nèi)阻表示工作過程中電池內(nèi)部的電能損耗，在模型中使用可變電阻來表示[4]；雙電層過程即為電池電極表面的電荷轉(zhuǎn)移過程，其對電池外特性影響較小,可被近似忽略[27]；物質(zhì)傳輸過程即為電池內(nèi)部活性物質(zhì)遷移和擴(kuò)散的過程，可以使用一階慣性環(huán)節(jié)來表示[28]；充放電循環(huán)過程具體包括荷電狀態(tài)變化過程以及內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程，這兩個(gè)動(dòng)態(tài)過程混疊在一起難以被單獨(dú)獲取[3]。倘若能夠消除動(dòng)力電池荷電狀態(tài)變化過程對電池外特性及參數(shù)的影響，進(jìn)而暴露出內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程，那么便可使用如圖2所示的二階戴維南等效電路模型對動(dòng)力電池的歐姆內(nèi)阻、物質(zhì)傳輸過程以及內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行描述。由于不同工作電流以及荷電狀態(tài)條件下的電池參數(shù)有所不同，因此圖2所示等效電路模型中的各個(gè)阻容參數(shù)均為工作電流i及荷電狀態(tài)的函數(shù)。

圖2　二階戴維南等效電路模型Fig.2　The 2nd-order Thevenin equivalent circuit model

目前已有大量的研究對動(dòng)力電池的歐姆內(nèi)阻、電荷轉(zhuǎn)移過程以及物質(zhì)傳輸過程進(jìn)行建模[16-18，27，28]，并使用包含一組RC并聯(lián)支路的一階戴維南等效電路模型對其進(jìn)行描述[5]。對比一階戴維南等效電路模型中各參數(shù)的物理化學(xué)含義可知，圖2所示模型中的E、R0、R1以及C1分別表示動(dòng)力電池的電動(dòng)勢、歐姆內(nèi)阻、法拉第電阻以及雙電層電容[9]。

在工作過程中，動(dòng)力電池的熱力學(xué)特性使得電池模型參數(shù)發(fā)生變化[29]，并體現(xiàn)出一定的動(dòng)態(tài)過程[30]。例如隨著工作電流的增大，電池內(nèi)部產(chǎn)熱及溫度變化速率增加；由于電池內(nèi)阻具有負(fù)溫度系數(shù)[31]，因此消耗在內(nèi)阻上的電功率會(huì)隨內(nèi)部溫度升高而逐漸減小，并最終達(dá)到產(chǎn)熱傳熱的平衡狀態(tài)[32]。由此可知，動(dòng)態(tài)工況下電池端電壓曲線中存在一個(gè)與工作電流變化方向相反的慣性動(dòng)態(tài)過程分量，這個(gè)分量便是電池內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程在電池外特性中的體現(xiàn)。

根據(jù)以上分析可知，消除動(dòng)力電池荷電狀態(tài)變化過程對電池外特性及參數(shù)的影響后，電池的內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程能夠使用圖2所示等效電路模型中的R2和C2參數(shù)所表示。其中，R2表示內(nèi)部溫度變化所導(dǎo)致電池內(nèi)阻變化量。由于電池內(nèi)阻具有負(fù)溫度系數(shù)，因此辨識得到的R2始終小于零。C2表示電池內(nèi)部溫度變化量和所消耗熱量之間的關(guān)系，由電池的熱容和內(nèi)阻溫度系數(shù)共同決定。由于電池內(nèi)阻具有負(fù)溫度系數(shù)，因此辨識得到的C2同樣始終小于零。

由此可知，電池動(dòng)態(tài)特性建模的難點(diǎn)在于消除荷電狀態(tài)變化過程對電池外特性及參數(shù)的影響。由于荷電狀態(tài)變化過程和內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程具有接近的時(shí)間常數(shù)，因此這兩個(gè)過程相互混疊難以被單獨(dú)建模。如何充分利用已有的特性曲線對電池動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析，進(jìn)而暴露出電池內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程，并獲取圖2所示等效電路模型中的各個(gè)參函數(shù)，便成為電池動(dòng)態(tài)特性建模的關(guān)鍵。

2建模方法

本節(jié)給出獲取圖2所示動(dòng)力電池等效電路模型中各個(gè)阻容參函數(shù)的方法。

為了充分激勵(lì)電池內(nèi)部具有較大時(shí)間尺度的動(dòng)態(tài)特性，本文選取電流階躍測試作為動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性測試方案[6，24]?？紤]到動(dòng)力電池的非線性特性，測試過程中選取動(dòng)態(tài)過程前后的工作電流i1、i2以及電流變化瞬間的荷電狀態(tài)SOC0作為測試條件。

2.1特定條件下的動(dòng)態(tài)特性建模

由圖2所示等效電路模型可知，恒流工況以及變電流工況下動(dòng)力電池的端電壓曲線可表示為

Us(t)=E(SOC)+R(SOC,i,θi)i

(1)

Ud(t)=E(SOC)+Z(SOC,i,θ)i(t)

(2)

式中，Us為恒流工況下動(dòng)力電池的端電壓；Ud為變電流工況下動(dòng)力電池的端電壓；i(t)為電池的工作電流曲線，其中電流正方向?yàn)殡姵爻潆姺较?；θ為電池?nèi)部的熱力學(xué)溫度，在環(huán)境溫度恒定的條件下主要由工作電流所決定；SOC為電池的荷電狀態(tài)；R為電池的直流內(nèi)阻；Z為電池的內(nèi)部阻抗。對比式(1)與式(2)可以看出，在恒流工況下，動(dòng)力電池的內(nèi)部阻抗Z退化為直流內(nèi)阻R，并且內(nèi)部溫度處于常值。

在特定的i1、i2以及SOC0條件下，動(dòng)力電池的動(dòng)態(tài)特性模型參數(shù)可被惟一確定，此時(shí)圖2所示的變參數(shù)模型可被簡化為圖3所示的線性定常等效電路模型。于是，式(1)和式(2)可被改寫為

Us(t)=E(SOC0,i2,t)+R(SOC0,i2,θi2,t)i2

(3)

Ud(t)=E(SOC0,i,t)+Z(SOC0,i1,i2,θ,t)i(t)

(4)

式中，時(shí)間參數(shù)t表示在電池工作過程中電池電動(dòng)勢以及阻抗參數(shù)會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化。該變化反映動(dòng)力電池荷電狀態(tài)變化過程對電池外特性及參數(shù)的影響，在建模過程中需要被消除。

圖3　特定條件下的等效電路模型Fig.3　Equivalent circuit model of a specific condition

圖4為動(dòng)力電池的一組電流階躍測試結(jié)果。其中，圖4a為測試流程所用的工作電流曲線：首先以電流i1對電池進(jìn)行恒流放電，在t0時(shí)刻，即電池的荷電狀態(tài)達(dá)到SOC0時(shí)，放電電流由i1切換至i2，隨后電池以電流i2恒流放電至截止條件。圖4b為上述測試流程下的電池動(dòng)態(tài)特性曲線以及工作電流為i2條件下的恒流特性曲線。其中，t0時(shí)刻之前的動(dòng)態(tài)特性曲線片段即為工作電流為i1的恒流放電曲線片段，本文不對其進(jìn)行討論；t0時(shí)刻之后的動(dòng)態(tài)特性曲線片段和恒流特性曲線末端對齊后，曲線上具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)對應(yīng)相同的荷電狀態(tài)。從圖中可以看出，動(dòng)態(tài)特性曲線與恒流特性曲線并不完全重合。

圖4　電流階躍測試結(jié)果Fig.4　Experimental result of current step test

假設(shè)圖3所示等效電路模型中的C1和C2不隨時(shí)間發(fā)生變化，那么將式(4)和式(3)相減可得

Ud(t)-Us(t)

=Z(SOC0,i1,i2,θ,t)i(t)-R(SOC0,i2,θi2,t)i2

=[Z(SOC0,i1,i2,θ,t)-R(SOC0,i2,θi2,t)]i(t)

=Z′(SOC0,i1,i2,θ)i(t)

=[XF(SOC0,i1,i2,θi2)+Zθ(SOC0,i1,i2,Δθ)]i(t)

(5)

式中，Z′為中間變量；XF為恒流條件下的動(dòng)力電池法拉第電抗；Zθ為動(dòng)態(tài)工況下電池內(nèi)部溫度過渡過程所導(dǎo)致的阻抗變化分量。有關(guān)C1和C2的假設(shè)將在4.2節(jié)討論。

具體的，由于t0時(shí)刻之后的動(dòng)力電池工作電流恒為i2，因此式(5)中前三行的等號得以成立。這個(gè)結(jié)果說明，電池的恒流特性曲線已經(jīng)包含絕大部分的荷電狀態(tài)變化過程信息，將動(dòng)態(tài)特性曲線和恒流特性曲線按照荷電狀態(tài)對齊并求差便能夠消除荷電狀態(tài)變化對動(dòng)態(tài)外特性的影響。由式(5)中的第三行可以看出，動(dòng)態(tài)工況下電池阻抗還受到內(nèi)部溫度變化的影響。類似于物理學(xué)中的電阻溫度系數(shù)公式，將Z′改寫為加和的形式，便可將動(dòng)態(tài)工況下電池內(nèi)部熱動(dòng)態(tài)過程對電池阻抗的影響分離出來。在式(5)的基礎(chǔ)上加入動(dòng)力電池在t0時(shí)刻的直流內(nèi)阻R(SOC0，i2，θi2)，便可得電池阻抗Z(SOC0，i1，i2)的表達(dá)式為

Ud(t)-Us(t)+Us(t0)-E(SOC0)

=[R(SOC0,i2,θi2)+XF(SOC0,i1,i2,θi1)+

Zθ(SOC0,i1,i2,Δθ)]i(t)

=Z(SOC0,i1,i2)i(t)

(6)

進(jìn)一步對式(6)變形可得

Ud(t)-Us(t)+Us(t0)-Ud(t0)

=Z(SOC0,i1,i2)[i(t)-i1]

(7)式中，等號兩側(cè)在t

由式(5)得到式(7)的過程即為將圖4a中的電流曲線以及由圖4b得到的電壓殘差曲線平移得到圖5所示電流電壓曲線的過程。由第1節(jié)的分析可知，電壓殘差曲線中與電流變化方向相反的動(dòng)態(tài)過程分量即為動(dòng)力電池內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程在端電壓曲線中的體現(xiàn)。選取圖5所示電流電壓曲線作為輸入輸出數(shù)據(jù)，便可對等效電路模型中的阻容參數(shù)進(jìn)行辨識。

圖5　參數(shù)辨識輸入輸出數(shù)據(jù)Fig.5　Input and output data for parameter identification

2.2非線性特性建模

在安全工作區(qū)以內(nèi)，即電池廠商在電池手冊中所規(guī)定的電壓、電流以及環(huán)境溫度范圍內(nèi)，動(dòng)力電池的動(dòng)態(tài)特性模型結(jié)構(gòu)保持不變，因此2.1節(jié)所述的建模方法能夠被推廣到不同測試條件下，從而得到如圖6所示的建模方法。

圖6　動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性建模方法Fig.6　Modeling method for power battery dynamic

由圖6可知，等效電路模型參數(shù)的可辨識性是建模方法可行的關(guān)鍵。對于圖2所示的非線性等效電路模型而言，影響其參數(shù)可辨識性的因素有兩個(gè)：①模型所表示的不同動(dòng)態(tài)過程發(fā)生過程混疊；②部分動(dòng)態(tài)過程無法被充分激勵(lì)，使得相關(guān)參數(shù)無法辨識。針對因素①，由第1節(jié)的機(jī)理分析可知，模型所描述的歐姆內(nèi)阻、物質(zhì)傳輸過程及內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程具有不同的時(shí)間尺度，因此不會(huì)發(fā)生動(dòng)態(tài)過程混疊。針對因素②，當(dāng)電池內(nèi)部溫度較高，或當(dāng)SOC0較小時(shí)，電池內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程有可能無法被充分激勵(lì)，此時(shí)R2和C2參數(shù)無法辨識。更為具體的內(nèi)容將在第3節(jié)進(jìn)一步討論。

2.3對被忽略動(dòng)態(tài)的討論

電池的可逆過程以及老化過程會(huì)對實(shí)際建模結(jié)果產(chǎn)生影響。為了提高建模準(zhǔn)確度，需要改進(jìn)電池測試流程以盡可能消除這些影響?？赡孢^程特指電池經(jīng)過多次充放電循環(huán)后其特性所發(fā)生的變化，并且這種變化能夠通過深度充放電等手段來消除。圖6所示的建模方法中已經(jīng)考慮了消除可逆過程帶來的影響。老化過程是指電池在長時(shí)間使用過程中其特性發(fā)生的不可逆變化過程。為了減小測試過程所導(dǎo)致的電池老化，在滿足測試要求的前提下需要盡可能減少每塊電池所需的充放電循環(huán)數(shù)，例如可以使用多個(gè)電池同時(shí)進(jìn)行測試等。結(jié)合圖6可以設(shè)計(jì)出實(shí)現(xiàn)上述要點(diǎn)的更為詳細(xì)地測試流程，其細(xì)節(jié)由于篇幅所限不再贅述。

3建模實(shí)例

本節(jié)基于前文的建模方法給出一組磷酸鐵鋰電池單體的建模實(shí)例，并對建模結(jié)果進(jìn)行討論。

3.1測試條件

為了避免電池老化對建模結(jié)果的影響，選取8個(gè)全新同批次的磷酸鐵鋰電池進(jìn)行測試，具體電池參數(shù)如表1所示。可以看到，測試選取的8個(gè)電池的不一致性小于0.5‰，在建模過程中可以將其計(jì)入建模誤差?；诒?中的電池安全工作區(qū)可以確定表2所示的測試條件。其中，工作電流的選取涵蓋電池的整個(gè)安全工作區(qū)，其目的是更加完整地獲取電池模型中的參函數(shù)；環(huán)境溫度被恒定為298 K，其目的是便于后續(xù)內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程的建模。不失一般性，本文僅在放電條件下對動(dòng)力電池進(jìn)行建模。充電條件下的建模方法類似。

表1　電池參數(shù)

表2　實(shí)驗(yàn)條件

3.2特定測試條件下的建模結(jié)果

圖4和圖5給出了i1=3.9 A、i2=19.5 A、SOC0為80%條件下磷酸鐵鋰電池的測試結(jié)果。基于圖3所示的模型以及圖5所示的輸入輸出數(shù)據(jù)，使用最小二乘法可以獲取該條件下動(dòng)力電池模型的R0、R1、C1、R2、C2阻容參數(shù)。圖7給出了模型的輸出結(jié)果及其相對誤差?？梢钥吹剑瑒?dòng)力電池以19.5 A放電到SOC為5.556%時(shí)達(dá)到截止條件；在SOC大于11%的范圍內(nèi)，電池模型輸出的相對誤差小于0.5‰，已經(jīng)達(dá)到了實(shí)驗(yàn)室環(huán)境的準(zhǔn)確度極限。這個(gè)結(jié)果說明，采用本文提出的建模方法所建立的電池模型能夠準(zhǔn)確描述動(dòng)力電池在絕大部分放電過程中的動(dòng)態(tài)外特性。此外從圖7b可以看到，模型輸出偏差較大的地方出現(xiàn)在電池工作電流突變之后的約15 s以及電池達(dá)到截至條件之前的60 s，對這兩部分誤差的具體分析如下。

圖7　模型輸出及其相對誤差Fig.7　Modeling result and its relative error

由第1節(jié)的機(jī)理分析可知，電池在工作電流突變之后10 s內(nèi)的動(dòng)態(tài)特性主要由電池的歐姆內(nèi)阻和雙電層電容過程所決定。在之前的建模過程中，電池雙電層電容過程被簡單忽略，因此建立的電池模型在電流突變之后的短時(shí)間內(nèi)存在較大偏差。使用更高階的等效電路模型，例如三階戴維南等效電路模型可以進(jìn)一步提高建模準(zhǔn)確度。然而由于此處已經(jīng)達(dá)到了實(shí)驗(yàn)室環(huán)境的準(zhǔn)確度極限，并且使用高階戴維南等效電路模型會(huì)使參數(shù)辨識過程更加復(fù)雜。因此從實(shí)用的角度考慮，圖2所示的二階戴維南等效電路模型最合適。

在動(dòng)力電池放電過程中，電極表面反應(yīng)物的濃度會(huì)持續(xù)降低。當(dāng)電池接近放電截止?fàn)顟B(tài)時(shí)，電極表面的活性物質(zhì)不足以和電極內(nèi)部的電荷進(jìn)行反應(yīng)，此時(shí)電極上會(huì)出現(xiàn)電荷積累，并導(dǎo)致電池端電壓發(fā)生迅速變化[9]。電極板的電荷積累過程是動(dòng)力電池在荷電狀態(tài)較低時(shí)新出現(xiàn)的動(dòng)態(tài)過程，本文方法并未對其進(jìn)行考慮，因此當(dāng)電池SOC小于10%時(shí)會(huì)出現(xiàn)最大4‰的誤差。倘若需要進(jìn)一步提高建模準(zhǔn)確度，需要修改模型結(jié)構(gòu)以描述電荷積累過程，本文對此不做介紹。

除去以上誤差來源，圖7b中存在一個(gè)周期逐漸增加的小幅波動(dòng)誤差，這部分誤差的來源是對圖2所示等效電路模型中C1和C2參數(shù)不隨荷電狀態(tài)發(fā)生變化的假設(shè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，放電過程中C1和C2參數(shù)的絕對值會(huì)緩慢增加，從而使得建模結(jié)果與電池實(shí)際特性之間存在誤差。由于建模過程中使用了最小二乘參數(shù)辨識方法來獲取模型參數(shù)，因此模型輸出與試驗(yàn)結(jié)果的誤差體現(xiàn)為在0附近的波動(dòng)。從圖7b可以看出，假設(shè)C1和C2參數(shù)恒定所導(dǎo)致的建模誤差小于0.5‰，這個(gè)結(jié)果在本文的誤差允許范圍之內(nèi)，因此第2節(jié)中對C1和C2參數(shù)恒定的假設(shè)是有效的。

3.3不同測試條件下的建模結(jié)果

在不同條件下對動(dòng)力電池進(jìn)行測試，可以建立模型參函數(shù)map圖。圖8給出了SOC0為80%的條件下等效電路模型各阻容參函數(shù)隨i1和i2的變化規(guī)律，其中黑點(diǎn)為辨識得到的原始數(shù)據(jù)，曲面為原始數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。采用圖8所示模型參數(shù)在不同電流工況下所獲取的建模結(jié)果與圖7所示相同，即在SOC大于10%的范圍內(nèi)最大建模誤差小于0.5‰，在SOC小于10%的范圍內(nèi)最大建模誤差小于5‰。由于測試數(shù)量較多，因此無法在文中給出具體的建模結(jié)果。

圖8　不同i1、i2下辨識得到的模型阻容參函數(shù)Fig.8　Identified parameters in condition of different operating current i1and i2

由圖8a和圖8b可以看到，模型的R0和R1參數(shù)會(huì)隨工作電流i1或i2的增加而逐漸減小。這是由于在較大的工作電流條件下，電池內(nèi)部溫度較高，從而使得具有負(fù)溫度系數(shù)的電池內(nèi)阻具有較小的數(shù)值。對數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析可以發(fā)現(xiàn)，歐姆內(nèi)阻和工作電流之間近似滿足指數(shù)規(guī)律。這和表述物理化學(xué)過程速率常數(shù)與絕對溫度之間關(guān)系的Arrhenius公式相吻合。

由圖8c可以看到，等效電路模型中的C1參數(shù)與電池工作電流的變化方向相關(guān)：在i1i2的情況下，辨識得到的C1與i1-i2的大小正相關(guān)?；谝陨戏治隹梢缘玫饺缦陆Y(jié)論：①動(dòng)力電池物質(zhì)傳輸過程的動(dòng)態(tài)特性與工作電流變化方向相關(guān)，即與電池內(nèi)部電化學(xué)反應(yīng)速率與物質(zhì)擴(kuò)散速率的變化方向相關(guān)；②當(dāng)上述速率加快時(shí)，動(dòng)態(tài)過程時(shí)間常數(shù)主要受到電池內(nèi)部溫度的影響；③當(dāng)上述速率減慢時(shí)，動(dòng)態(tài)過程時(shí)間常數(shù)與動(dòng)態(tài)過程的幅度相關(guān)，體現(xiàn)出非線性特性。

由圖8d可以看到，在i1和i2均較小或較大的情況下，R2參數(shù)的辨識結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較大偏差。其中，在工作電流較大的情況下，電池內(nèi)部溫度相對較高，溫度的相對變化較小，并難以被準(zhǔn)確建模。實(shí)測結(jié)果顯示，當(dāng)工作電流小于16.9 A時(shí)，R2的絕對值與i1-i2的絕對值正相關(guān)，反映了不同幅度的電流階躍所導(dǎo)致電池內(nèi)部溫度變化程度不同；當(dāng)工作電流大于16.9 A時(shí)，R2無法被準(zhǔn)確辨識。

由圖8e可以看到，等效電路模型中的C2參數(shù)與電流i2正相關(guān)。由第1節(jié)的機(jī)理分析可知，C2參數(shù)由電池內(nèi)部材料的溫度系數(shù)和熱容共同決定，而這些參數(shù)是材料的基本物理屬性。由于電池內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程具有較大的時(shí)間常數(shù)，因此溫度變化過程中電池材料的組成和分布主要受到工作電流i2的影響，從而導(dǎo)致C2參數(shù)與i2相關(guān)。更為深入的機(jī)理解釋需要對動(dòng)力電池的熱動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行進(jìn)一步研究。

圖9以i1為3.9 A，i2為19.5 A條件為例，給出了不同SOC0條件下的模型阻容參函數(shù)辨識結(jié)果，其中黑點(diǎn)為辨識得到的原始數(shù)據(jù)，曲線為原始數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。其他電流工況下的辨識結(jié)果與此類似，由于篇幅所限本文不做具體介紹。采用圖中所示參數(shù)能夠在不同SOC0條件下獲得與前文相同的建模準(zhǔn)確度。

圖9　不同SOC0下辨識得到的模型阻容參函數(shù)Fig.9　Identified parameters in condition of different SOC0

圖9a、圖9b以及圖9d分別給出了不同SOC0條件下電池模型R0、R1以及R2參數(shù)的辨識結(jié)果。從圖中可以看出，隨著SOC數(shù)值的降低，電池歐姆內(nèi)阻、法拉第電阻以及R2參數(shù)的絕對值逐漸增加。其中前兩者的變化規(guī)律與現(xiàn)有研究一致[4]。在電流階躍工況下隨著電池直流內(nèi)阻的增加，相同電流變化量所導(dǎo)致的電池內(nèi)部產(chǎn)熱功率變化量以及內(nèi)部溫度變化量增加，從而使得辨識得到的R2參數(shù)增加。需要注意的是，圖9e虛線圈中的辨識結(jié)果出現(xiàn)了較大變化。這是由于在低SOC條件下，電池達(dá)到截止條件之前，其內(nèi)部溫度變化較小，即電池的熱動(dòng)態(tài)過程沒有被充分激勵(lì)。此時(shí)需要對電池工作電流曲線進(jìn)行改進(jìn)，以確保電池具有足夠的時(shí)間以供內(nèi)部平均溫度發(fā)生變化。

圖9c和圖9e分別給出了不同SOC條件下電池模型C1以及C2參數(shù)的辨識結(jié)果。從圖中可以看出，隨著SOC數(shù)值的降低，辨識得到的電容參數(shù)緩慢增加。其中前者的變化規(guī)律與現(xiàn)有研究一致[4]。與圖9d中的結(jié)果類似，當(dāng)SOC小于40%時(shí)，辨識得到的C2參數(shù)出現(xiàn)了較大變化。根據(jù)之前的分析可知這是由于電池的熱動(dòng)態(tài)過程沒有被充分激勵(lì)。需要說明的是，C1及C2參數(shù)的緩慢增加導(dǎo)致了圖7b中建模相對誤差的小幅波動(dòng)分量，這部分內(nèi)容在3.2節(jié)已進(jìn)行了分析。

至此，在不同條件下獲取電池模型參數(shù)的方法已經(jīng)給出?；诖四軌蚪㈦姵貎?nèi)部動(dòng)態(tài)過程參數(shù)隨工作電流和荷電狀態(tài)的變化規(guī)律，并有助于對電池內(nèi)部動(dòng)態(tài)過程機(jī)理的分析和建模。

3.4對比驗(yàn)證

本節(jié)選取文獻(xiàn)[22]中的方法與本文方法進(jìn)行比較。為了明顯地對比兩種建模方法在不同時(shí)間尺度下的建模準(zhǔn)確度，測試流程選取為“電流階躍+足夠長時(shí)間的恒定工況”的模式。文獻(xiàn)[22]使用二階戴維南等效電路模型來描述電池的動(dòng)態(tài)特性，并使用自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波器來獲取模型參數(shù)。與本文方法相比，文獻(xiàn)[22]方法的不同之處在于：①模型描述了電池的電荷轉(zhuǎn)移過程，而沒有涉及內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程；②模型參數(shù)通過直接擬合電池動(dòng)態(tài)特性曲線來獲取，而沒有利用電池的恒流特性曲線。為了簡單起見，本節(jié)假設(shè)文獻(xiàn)[22]方法所需的模型參數(shù)已被準(zhǔn)確獲取。

采用i1為3.9 A，i2為19.5 A，SOC0為80%條件下的動(dòng)力電池電流階躍測試數(shù)據(jù)作為待建模數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[17]所述方法的建模結(jié)果如圖10所示。對比圖7可以看出，文獻(xiàn)[22]方法能夠在電流突變之后的短時(shí)間內(nèi)具有更高的準(zhǔn)確度。這是由于該方法所用模型考慮了電池的電荷轉(zhuǎn)移過程，并且在電流突變之后的短時(shí)間內(nèi)荷電狀態(tài)變化過程和內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程影響較小。隨著放電過程的進(jìn)行，荷電狀態(tài)變化過程和內(nèi)部溫度變化動(dòng)態(tài)過程對外特性的影響逐漸明顯，文獻(xiàn)[22]方法開始出現(xiàn)較大誤差，而本文方法的準(zhǔn)確度幾乎不變。由此可知，端電壓擬合方法已經(jīng)能夠滿足短時(shí)間尺度下動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性建模的需求；對于較長時(shí)間內(nèi)的電池建模而言，本文提出的建模方法具有更高的準(zhǔn)確度。

圖10　端電壓擬合法建模結(jié)果Fig.10　Modeling result of the curve fitting method

4結(jié)論

本文提出了一種動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性的工程性建模方法。該方法考慮動(dòng)力電池的歐姆內(nèi)阻、雙電層過程、物質(zhì)傳輸過程以及充放電循環(huán)過程，并使用一個(gè)變參數(shù)等效電路模型來描述這些動(dòng)態(tài)特性以及非線性特性。該方法充分利用已知的電池恒流特性曲線特性，并設(shè)計(jì)了合適的動(dòng)態(tài)響應(yīng)模式和各個(gè)參函數(shù)獲取方法以便得到模型中的各個(gè)參函數(shù)。該方法所需的恒流實(shí)驗(yàn)和電流階躍實(shí)驗(yàn)內(nèi)容為數(shù)有限。相比較于已有的動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)特性建模方法，該方法具有更好的建模準(zhǔn)確度，也適應(yīng)于大多數(shù)固態(tài)化學(xué)動(dòng)力電池，并且不需要特殊的測試儀器，流程簡單易行。

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A Modeling Method for Power Battery Dynamics

He Zhichao1Yang Geng1Lu Languang2Wu Haisang1Geng Hua1

(1.Department of AutomationTsinghua UniversityBeijing100084China 2.State Key Laboratory of Automotive Safety and EnergyTsinghua UniversityBeijing100084China)

AbstractBattery’s dynamics need to be modeled accurately for effective battery management.A nengineering modeling method for power battery dynamics is proposed.This method is based on the internal physical-chemical mechanism of the battery dynamics and the nonlinearity of battery’s constant current characteristics.The core of the proposed method includes a model consisting of a constant current curve and an equivalent circuit model,and a set of procedures,i.e.battery test and data processing,for obtainingthe modelparameters.Compared with existing methods,the proposed method has better accuracy and wider applications,and is easier to be implemented.

Keywords：Power battery，dynamics，constant current curves，equivalent circuit model

收稿日期2015-04-29改稿日期2015-07-07

作者簡介E-mail：hezc10@mails.tsinghua.edu.cn E-mail：yanggeng@tsinghua.edu.cn(通信作者)

中圖分類號：TQ152；TP29

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61104046、61273045、51361135705)。

何志超男，1988年生，博士研究生，研究方向?yàn)閯?dòng)力電池的應(yīng)用模型。

楊耕男，1957年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樾履茉窗l(fā)電與電力電子技術(shù)。