與集合相關(guān)的新定義問題解法探究

首都師范大學(xué)附屬中學(xué) (100048) 胥 慶

以集合為載體的新定義題，既強(qiáng)化了集合的相關(guān)知識(shí)，也考察了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)處理問題的能力，符合高考中以能力立意命題的指導(dǎo)思想，故而是高考的常備題型.求解此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定義的含義，再正確運(yùn)用集合的一些概念和性質(zhì)就能破題.本文通過舉例分析、探索解決此類問題的基本策略，供參考.

一、抓住定義

例1 定義A⊙B={z|z=xy(x+y)，x∈A，y∈B}，設(shè)集合A={1,2}，B={3,4}，則集合A⊙B中所有元素之和為.

分析：由A⊙B的定義及集合A、B可知，x，y的取值應(yīng)為x=1，y=3；x=1，y=4；x=2，y=3；x=2，y=4.從而A⊙B={12,20,30,48}，故所有元素之和為12+20+30+48=110.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)新定義的集合表述對(duì)x，y，分四種情況討論，確定新定義集合中的所有元素，然后求其和.由于所給集合A、B的元素比較少，用列舉法比較合理，如果元素比較多，應(yīng)該利用元素的規(guī)律性來探求.

A.[0，1]∪(2,+∞) B.[0,1)∪(2,+∞)

C.[0，1] D.[0，2]

分析：從A×B的定義可知x∈A∪B，且x?A∩B，則需先求出A∪B及A∩B.易知A={x|0≤x≤2}，B={x|x>1}，故A∪B={x|x≥0}，A∩B={x|12}，故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題中新定義的集合表述清晰，其運(yùn)算法則中的關(guān)鍵就是A∪B及A∩B，所以應(yīng)該先從非空集合A、B中解決這兩個(gè)部分，然后再運(yùn)算A×B.由于所給的集合A、B是無限集，正確用不等式列出A、B、A∪B、A∩B也是考查重點(diǎn).

二、數(shù)形結(jié)合

圖1

例3 設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，定義A-B={x|x∈A且x?B}，則A-(A-B)等于( ).

A.BB.A∩BC.A∪BD.A

分析：當(dāng)A∩B≠φ時(shí)，由圖1知A-B為圖中的陰影部分.則A-(A-B)=A∩B，而當(dāng)A∩B=φ時(shí)，A-(A-B)=φ，綜上所述，應(yīng)選B.

點(diǎn)評(píng)：由于題中的集合A、B沒有具體的元素，故而選擇用幾何圖形表示這兩個(gè)集合是非常適用的，一般情況下的抽象集合都可以這樣解決.注意分類表述也是必要的.

圖2

點(diǎn)評(píng)：題中新定義了集合“長(zhǎng)度”的概念，正確理解”這個(gè)概念極為重要.由于用數(shù)軸可形象直觀地表述實(shí)數(shù)集的集合問題，所以運(yùn)用數(shù)軸表示集合“長(zhǎng)度”是恰到好處.

三、分類討論

例5 若集合A1、A2滿足A1∪A2=A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規(guī)定當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2時(shí)，(A1，A2)與(A2，A1)為集合的同一種分拆，則集合A={a，b，c}的不同分拆種數(shù)是( ).

A.27 B.26 C.9 D.18

分析：考慮元素a，有3種情形：①a∈A1，a?A2；②a?A1，a∈A2；③a∈A1，a∈A2.同理元素b、元素c也都有3種情形，故共有3×3×3=27種不同的分拆.即選A.

點(diǎn)評(píng)：本題中的新定義是對(duì)集合中相關(guān)概念的一個(gè)提升，這里正確理解“一種分拆”非常重要，所以對(duì)集合A的元素逐個(gè)分類討論是必須的，沒有捷徑可走.

例6 對(duì)于a，b∈N*，定義a*b=

分析：由于題目的定義是分段形式，抓住a，b的奇偶情況進(jìn)行分類討論是常規(guī)思路.根據(jù)定義知A中的元素有兩類，下面分類討論：①a、b奇偶性相同，由36=1+35=2+34=…=17+19=18+18=19+17=…=35+1知這樣的元素共有35個(gè)，②a、b奇偶性相反，由36=1×36=3×12=4×9=9×4=12×3=36×1，知這樣的元素共有6個(gè)，綜合可知A中的元素個(gè)數(shù)為35+6=41個(gè).

點(diǎn)評(píng)：在解決問題時(shí)，如果不能一概而論，就應(yīng)該分而治之.抓住題目特點(diǎn)，挖掘問題關(guān)鍵，然后正確設(shè)定劃分標(biāo)準(zhǔn)是進(jìn)行分類討論的思維核心.

四、換位思考

例7 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A是全集U中含有4個(gè)元素的子集，若x∈A，有x-1?A，且x+1?A，則稱x為集合A的“獨(dú)立元素”，則U中無“獨(dú)立元素”的子集的個(gè)數(shù)為( ).

A.10 B.8 C.6 D.5

點(diǎn)評(píng)：本題求解關(guān)鍵是正確理解“獨(dú)立元素”這個(gè)概念，找到無“獨(dú)立元素”的數(shù)組是解題的突破口，由于直接找“獨(dú)立元素”非常繁瑣，所以通過整體地了解和把握題意，然后再排除特殊情況是最為優(yōu)化解題思路.

例8 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A、B都是U的子集，若A∩B={1，3，5}，則稱A、B為“理想配集”，記作(A，B)，這樣的“理想配集”(A，B)共有( ).

A.7個(gè) B.8個(gè) C.27個(gè) D.28個(gè)

分析：由A∩B={1，3，5}，可按A∪B分成以下四類求解：①若A∪B={1，3，5}，則“理想配集”(A，B)只有一個(gè)；②若A∪B={1，3，5，2}或A∪B={1，3，5，4}或A∪B={1，3，5，6}，則“理想配集”(A，B)各有2個(gè)，共計(jì)6個(gè)；③若A∪B={1，3，5，4，6}或A∪B={1，3，5，2，4}或A∪B={1，3，5，2，6}，則“理想配集”(A，B)各有22個(gè)，共計(jì)3×22=12個(gè)；④若A∪B={1，2，3，4，5，6}，則“理想配集”(A,B)有23=8個(gè).所以“理想配集”(A，B)共有1+6+12+8=27個(gè)，即選C.

點(diǎn)評(píng)：本題中的新定義“理想配集”，實(shí)際上就是從已知的A∩B中，逆向?qū)ふ曳蠗l件的A∪B.通過換位分析，將符合條件的A∪B全部找出，然后再求其子集的個(gè)數(shù)就很簡(jiǎn)單了.由此練習(xí)，將交集、并集運(yùn)算及子集個(gè)數(shù)的求法上升到了一個(gè)新的層次.