論直角坐標(biāo)系的建立

王少奇

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中會(huì)有很多問(wèn)題需要建立直角坐標(biāo)系，恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，會(huì)使運(yùn)算的過(guò)程簡(jiǎn)單，但建系方法是多樣的，絕不是單一的，所以在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該多聽(tīng)取學(xué)生的意見(jiàn)，課前必須多方面考慮，給學(xué)生教給靈活多樣的方法。

關(guān)鍵詞：直角坐標(biāo)系；主觀能動(dòng)性

在平面幾何問(wèn)題中，常常涉及到建立直角坐標(biāo)系的問(wèn)題，各類(lèi)資料的共同提法就是將圖象集中放在坐標(biāo)原點(diǎn)周?chē)?，若圖象為軸對(duì)稱圖象，盡量把對(duì)稱軸放在坐標(biāo)軸上，若圖象是中心對(duì)稱的，盡量以圖形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣有利于圖形各頂點(diǎn)坐標(biāo)的表示，可減少題中設(shè)入的變量，當(dāng)然也有的提法是將圖形中的頂點(diǎn)盡可能多的放在坐標(biāo)軸上，也是為了便于表示各頂點(diǎn)坐標(biāo)，減少設(shè)入的變量，提法有別，目標(biāo)一致，所以在具體應(yīng)用中應(yīng)靈活恰當(dāng)處理，才能達(dá)到理想的效果。

例如全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修二）第二冊(cè)（下B）人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)教材第9頁(yè)例2：畫(huà)水平放置的正五邊形的直觀圖。畫(huà)法如下：

（1）在已知正五邊形ABCDE（圖9-10）中，取中心O為原點(diǎn)，對(duì)稱軸FA為y軸，過(guò)點(diǎn)O與y軸垂直的直線為x軸，分別B，E過(guò)作BG//y軸，HE//y軸，與x軸分別交G，H。畫(huà)對(duì)應(yīng)的O'x'，O'y'軸，使x'O'y'=45°。

（2）以O(shè)'點(diǎn)為中心，在x'軸上取G'H'=GH，分別過(guò)G'，H'，在x'軸的上方，作G'B'//y'軸，H'E'//y'軸，使G'B'=[12]GB，H'E'=[12]HE；在y'軸的點(diǎn)O'上方取O'A'=[12]OA，在點(diǎn)O'下方取O'F'=[12]OF，并且以點(diǎn)F'為中心，畫(huà)C'D'//x'軸，且使C'D'=CD。

（3）連結(jié)A'B'，B'C'，C'D'、D'E'，E'A'，所得五邊形A'B'C'D'E'就是正五邊形ABCDE的直觀圖。

就此題而言，以上是教材中的畫(huà)法，當(dāng)然也可以如圖（1）、圖（2）建立直角坐標(biāo)系，我個(gè)人認(rèn)為也不失為一種好方法，也是便于操作的，學(xué)生也便于接受，在授課過(guò)程中也有的學(xué)生想到了這種方法，并且這些學(xué)生覺(jué)得自己的方法更便于作圖，教師應(yīng)該給予正面肯定，而不應(yīng)默守陳規(guī)，只按教材講解，讓學(xué)生思維受局限，應(yīng)極大程度地拓寬學(xué)生的視野，靈活地應(yīng)用自己所學(xué)知識(shí)多渠道解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。

再比如普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)②（必修）人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)教材第105頁(yè)例4：證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和。

分析：首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)量，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

證明：如圖3.3-3，以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，有A（0，0）。

設(shè)B（a，0），D（b，c），由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a+b，c），因?yàn)椋?/p>

[|AB|2=a2]，[|CD|2=a2]，[|AD|2=a2]，[|BC|2=a2]

[|AC|2=（a+b）2+c2]，[|BD|2=（b-a）2+c2]

所以，

[|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2（a2+b2+c2）]，

[|AC|2+|BD|2=2（a2+b2+c2）]

所以，[|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2]

以上是教材建系及解析過(guò)程，當(dāng)然我認(rèn)為如圖（3）、圖（4）建立直角坐標(biāo)系，并且在授課時(shí)也有學(xué)生提出這種建系的建議，對(duì)于設(shè)置變量也不復(fù)雜，我們?cè)賹?duì)比運(yùn)算過(guò)程。

證明：如圖（3）以AB邊所在直線為軸，使D點(diǎn)在y軸上建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（a，0），B（b，0），D（0，c）則有D（b-a，c）因?yàn)椋?/p>

[|AB|2=（b-a）2]，[|CD|2=（b-a）2]，[|AD|2=a2+c2]，[|BC|2=a2+c2]

[|AC|2=（b-2a）2+c2]，[|BD|2=b2+c2]

所以，

[AB2+CD2+AD2+BC2=4a2+2b2-4ab+2c2，AC2+BD2=4a2+2b2-4ab+2c2]

所以，[|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2]

我們看到運(yùn)算過(guò)程也是相當(dāng)簡(jiǎn)單的，并且多數(shù)學(xué)生也能接受，提出這種方法的學(xué)生也有成就感，為了讓學(xué)生能主動(dòng)去學(xué)，提高學(xué)生主觀能動(dòng)性，我們做教師的何樂(lè)而不為呢？總之在平時(shí)的教學(xué)中要極力挖掘?qū)W生的潛力，盡可能多的找方法，讓同一個(gè)問(wèn)題得到多渠道的解決辦法，給學(xué)生以發(fā)展的空間，教師能夠由原來(lái)的處于中心地位的知識(shí)權(quán)威轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者和合作伙伴、設(shè)計(jì)者、教育的研究者，更多關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生積極思考的品質(zhì)，學(xué)生應(yīng)該被看作為待點(diǎn)燃的火把，學(xué)生地位應(yīng)該由被動(dòng)的知識(shí)容器和知識(shí)受體轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)的主宰、學(xué)習(xí)的主體，成為教學(xué)活動(dòng)的積極參與者和知識(shí)的積極建構(gòu)者。