基于準(zhǔn)平衡滑翔的再入軌跡解析規(guī)劃方法

楊 明,劉 明,葛亞杰,楊 丁,曹晶瑩

(1.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410073;2.空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100076)

再入滑翔飛行器具有特殊的高升阻比氣動(dòng)構(gòu)型,能夠在臨近空間內(nèi)長(zhǎng)時(shí)間、遠(yuǎn)距離機(jī)動(dòng)飛行,具有速度快、航程遠(yuǎn)、機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)等突出優(yōu)勢(shì),是目前航空航天領(lǐng)域內(nèi)的研究熱點(diǎn)之一[1-3]。而再入滑翔飛行器的彈道規(guī)劃與制導(dǎo)技術(shù)的研究更是當(dāng)下國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)[3-5],本文針對(duì)再入滑翔飛行器在多種約束(如受力、熱、控制、禁飛區(qū)等)條件下的快速軌跡規(guī)劃問題,研究切合實(shí)際工程應(yīng)用需求的快速軌跡規(guī)劃技術(shù)。

在多約束條件(特別是禁飛區(qū)約束)下快速生成再入滑翔飛行器的參考軌跡或者飛行剖面,目前主要有2種途徑,即在線軌跡優(yōu)化技術(shù)和軌跡規(guī)劃技術(shù)。軌跡優(yōu)化技術(shù)一般是將上述問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。ZHAO等[6]基于分段優(yōu)化的策略,應(yīng)用高斯偽譜法解決了航路點(diǎn)和禁飛區(qū)等約束條件下的軌跡優(yōu)化問題。藺君等[7]采用相同的策略,應(yīng)用高斯偽譜法實(shí)現(xiàn)了多脈沖再入軌跡規(guī)劃問題。文獻(xiàn)[8]利用高斯偽譜法對(duì)狀態(tài)量和控制量進(jìn)行了離散,將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題求解,具有較高的優(yōu)化效率。文獻(xiàn)[9]引入稀疏差分法和網(wǎng)格細(xì)化算法,提升了偽譜法的運(yùn)算效率和精度。但是上述傳統(tǒng)的軌跡優(yōu)化技術(shù)在運(yùn)行效率上還有待進(jìn)一步的提升,目前尚難以滿足再入滑翔飛行器軌跡在線生成的使用需求。近年來,凸優(yōu)化技術(shù)由于其快速收斂特性而被應(yīng)用到再入滑翔飛行器的軌跡優(yōu)化問題求解中。LIU等[10]將基于二階錐規(guī)劃的凸優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用于再入滑翔飛行器多約束條件下的軌跡優(yōu)化問題求解。ZHAO等[11]采用分段優(yōu)化的策略,使用凸優(yōu)化技術(shù)解決了多航路點(diǎn)和多禁飛區(qū)等約束條件下的軌跡快速生成問題。WANG等[12-13]使用序列凸優(yōu)化方法,求解了多約束條件下再入滑翔飛行器跳躍滑翔軌跡的快速生成與跟蹤控制問題。然而,凸優(yōu)化技術(shù)及相關(guān)制導(dǎo)方法的研究目前仍處于探索階段,在處理實(shí)際問題時(shí),其可靠性等還需要進(jìn)一步的研究。目前,基于飛行剖面規(guī)劃的方法是經(jīng)歷過實(shí)踐驗(yàn)證的且有希望應(yīng)用于再入滑翔飛行器再入制導(dǎo)環(huán)節(jié)的典型方法。張科南等[14]研究了再入軌跡與禁飛區(qū)位置的幾何關(guān)系,利用準(zhǔn)平衡滑翔條件設(shè)計(jì)了不同模式的機(jī)動(dòng)再入突防模式彈道。楊丁等[15]利用準(zhǔn)平衡滑翔條件推導(dǎo)了高度、速度及航程等關(guān)鍵參數(shù)之間的解析關(guān)系,給出了一種面向工程應(yīng)用的縱向平面內(nèi)再入滑翔飛行器解析軌跡規(guī)劃方法。趙明等[16]在常值速度傾角和常值阻力加速度的假設(shè)條件下,提出了一種縱向平面內(nèi)解析軌跡規(guī)劃方法。YU等[17]更是基于解析軌跡規(guī)劃方法實(shí)現(xiàn)了多再入滑翔飛行器在多禁飛區(qū)等約束條件下的快速軌跡規(guī)劃。

綜上,本文采用經(jīng)典的基于飛行剖面的軌跡規(guī)劃思路,在縱向平面內(nèi)以準(zhǔn)平衡滑翔條件為基礎(chǔ),以剩余航程為自變量,構(gòu)建高度-航程空間內(nèi)的多約束飛行走廊;在橫向平面內(nèi),基于橫縱程多次函數(shù)的解析規(guī)劃方法,推導(dǎo)了禁飛區(qū)等約束條件下橫向剖面的解析形式。上述方法避免了傳統(tǒng)優(yōu)化算法循環(huán)迭代計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)且無法保證一定收斂等問題,實(shí)現(xiàn)了多約束下再入軌跡快速規(guī)劃,為再入滑翔飛行器再入軌跡規(guī)劃和制導(dǎo)提供了新的技術(shù)途徑。

1 數(shù)學(xué)描述

1.1 軌跡規(guī)劃參數(shù)定義

圖1 軌跡規(guī)劃再入坐標(biāo)系

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

為了便于軌跡規(guī)劃算法的研究分析,假設(shè)地球?yàn)榫|(zhì)圓球且不自轉(zhuǎn)。則再入滑翔飛行器質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程可表述為

(1)

式中:v為飛行速度,g為重力加速度,γ為速度傾角,ψ為速度偏角,s為航程,r為地心距,Re為地球平均半徑,σ為傾側(cè)角,λ為地心經(jīng)度,φ為地心緯度,aL和aD分別為飛行器的氣動(dòng)升力加速度和阻力加速度。

(2)

式中:ρ為大氣密度,Sr為氣動(dòng)參考面積,m為飛行器質(zhì)量,CL為升力系數(shù),CD為阻力系數(shù),h為飛行高度,χ=1/7 200。

2 基于高度-航程平衡滑翔空間

2.1 基于平衡滑翔的軌跡規(guī)劃參數(shù)解析解

aLcosσ=g-(v2/r)

(3)

基于平衡滑翔條件,根據(jù)式(1)中的動(dòng)力學(xué)關(guān)系,可得到如下表達(dá)式:

(4)

對(duì)式(4)積分可得:

(5)

式中:v0為航程計(jì)算初始速度,aLcosσ/aD為飛行縱向升阻比。針對(duì)確定目標(biāo)點(diǎn),當(dāng)已知滑翔終端航程及終端速度需求時(shí),可將式(5)改寫成如下表達(dá)式:

(6)

式中:st為滑翔終端航程,vt為滑翔終端速度。根據(jù)式(5)和式(6),可得基于平衡滑翔條件下的航程-速度解析關(guān)系為

(7)

阻力加速度-航程解析式:

(8)

高度-航程解析式為

(9)

在軌跡規(guī)劃算法研究中,滑翔飛行器氣動(dòng)力系數(shù)一般可近似表示為

(10)

式中:α為飛行攻角;κ0,κ1,κ2為升力系數(shù)擬合系數(shù);ζ0,ζ1,ζ2為阻力系數(shù)擬合系數(shù)。那么,根據(jù)以上表達(dá)式可得到攻角解析式為

(11)

傾側(cè)角解析式為

(12)

2.2 軌跡規(guī)劃飛行走廊建立

滑翔飛行器在飛行過程中受到諸多復(fù)雜飛行約束條件的限制,下面將首先建立各種約束條件的數(shù)學(xué)模型,然后再討論滑翔飛行器飛行走廊的具體形式。

2.2.1 模型建立

①熱流約束。

在研究滑翔飛行器軌跡規(guī)劃問題時(shí),駐點(diǎn)是飛行器加熱較嚴(yán)重的區(qū)域,因此以駐點(diǎn)熱流密度作為約束條件,其表達(dá)形式為

(13)

(14)

把式(7)代入,可得h-s空間熱流約束邊界:

(15)

②動(dòng)壓約束。

考慮到空氣舵有效工作范圍,給定最大動(dòng)壓約束和最小動(dòng)壓約束,即

(16)

整理得到動(dòng)壓約束邊界為

(17)

把式(7)代入可得高度-航程空間動(dòng)壓約束邊界:

hq,max(s)≤hq(s)≤hq,min(s)

(18)

③控制約束。

滑翔飛行器依靠空氣動(dòng)力實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行軌跡的控制,為了維持滑翔飛行器的穩(wěn)定飛行,對(duì)滑翔飛行器的攻角取值進(jìn)行約束:

αmin≤α≤αmax

(19)

根據(jù)式(2)可得:

(20)

基于氣動(dòng)模型,并代入式(7),可得高度-航程空間控制約束邊界為

hα,min(s)≤hα(s)≤hα,max(s)

(21)

④過載約束。

根據(jù)平衡滑翔條件aLcosσ=g-(v2/r),可解算出飛行器滑翔飛行中所受法向過載滿足:

(22)

如果令σ≤85°,v≥2 000 m/s,那么由式(22)可得n≤10.7。由于一般滑翔飛行器可承受最大法向過載遠(yuǎn)大于10.7,所以本文研究過程中暫不考慮過載約束。

2.2.2 規(guī)劃飛行走廊建立

圖2 二維飛行走廊

3 考慮禁飛區(qū)規(guī)避繞飛的再入軌跡解析規(guī)劃

再入飛行器飛行過程中需要考慮禁飛區(qū)約束,下面針對(duì)不同禁飛區(qū)約束開展機(jī)動(dòng)彈道規(guī)劃研究。

3.1 機(jī)動(dòng)繞飛下橫向剖面規(guī)劃基本原理

假設(shè)滑翔飛行器在飛行過程中需要繞飛半徑為R的禁飛區(qū)A(如圖3所示),在規(guī)劃起始點(diǎn)建立規(guī)劃坐標(biāo)系Oxyz,飛行器為了避開禁飛區(qū)從規(guī)劃起始點(diǎn)機(jī)動(dòng)飛行至終端T點(diǎn),初始速度為v0,終端速度為vt,飛行航程為st,對(duì)應(yīng)終端T點(diǎn)飛行縱程和橫程為L(zhǎng)stm和Lztm,對(duì)應(yīng)禁飛區(qū)中心點(diǎn)飛行縱程和橫程為L(zhǎng)sp和Lzp。

圖3 單禁飛區(qū)繞飛軌跡示意圖

根據(jù)滑翔飛行器滑翔機(jī)動(dòng)彈道特性,可得飛行縱程與橫程和航程之間的關(guān)系式為

式中:Ls為縱程,Lz為橫程,s為航程,a為橫向機(jī)動(dòng)系數(shù)。當(dāng)已知任意目標(biāo)位置,在規(guī)劃坐標(biāo)系下,可根據(jù)球面三角形解算得到對(duì)應(yīng)縱、橫程:

Lz=Rearcsin(sinφssin(Av-As))

Ls=Rearctan(tanφscos(Av-As))

式中:φs為地心角;Av為規(guī)劃起始點(diǎn)航向角;λ0和φ0分別為規(guī)劃起始點(diǎn)地心經(jīng)、緯度;λ和φ分別為任意點(diǎn)地心經(jīng)、緯度。

基于圖3所示幾何關(guān)系,可得如下方程組:

(Lstm-Lsp)2+(Lztm-Lzp)2=R2

(23)

(24)

(25)

求解式(23)～式(25),可得到橫向機(jī)動(dòng)系數(shù)a,根據(jù)建立的橫程與航程關(guān)系,可快速解算得到以航程為自變量的橫向機(jī)動(dòng)彈道。

3.2 軌跡規(guī)劃流程

對(duì)于多禁飛區(qū)軌跡規(guī)劃,可轉(zhuǎn)化為多個(gè)單禁飛區(qū)軌跡規(guī)劃問題,然后采用3.1節(jié)中的橫向軌跡規(guī)劃方法完成多禁飛區(qū)軌跡規(guī)劃。如圖4所示,假設(shè)飛行器規(guī)劃起始點(diǎn)是A0,初始速度為v0,目標(biāo)點(diǎn)是Tm,并有k個(gè)禁飛區(qū),假設(shè)選取路徑為A0→P1→P4→P5→Tm,那么可按如下流程進(jìn)行軌跡規(guī)劃(如圖4所示)。

圖4 軌跡規(guī)劃流程圖

①首先根據(jù)禁飛區(qū)位置對(duì)禁飛區(qū)進(jìn)行編碼;

②根據(jù)起始點(diǎn)、編碼禁飛區(qū)和目標(biāo)點(diǎn)選取路徑;

③根據(jù)選取路徑點(diǎn),將多禁飛區(qū)軌跡規(guī)劃分段為多段軌跡規(guī)劃,如圖5所示,并針對(duì)每分段軌跡完成規(guī)劃飛行走廊建立;

圖5 軌跡規(guī)劃示意圖

④規(guī)劃段S1:為了規(guī)避禁飛區(qū)1,飛行器完成機(jī)動(dòng)軌跡AB規(guī)劃,規(guī)劃起始點(diǎn)為A0,規(guī)劃起始速度為v0;

⑤規(guī)劃段S2:為了規(guī)避禁飛區(qū)2,飛行器完成機(jī)動(dòng)軌跡BC規(guī)劃,規(guī)劃起始點(diǎn)為AB段規(guī)劃軌跡終點(diǎn)B,規(guī)劃起始點(diǎn)速度為v1;

⑥規(guī)劃段S3:為了規(guī)避禁飛區(qū)k,飛行器完成機(jī)動(dòng)軌跡CD規(guī)劃,規(guī)劃起始點(diǎn)為BC段規(guī)劃軌跡終點(diǎn)C,規(guī)劃起始點(diǎn)速度為v2;

⑦規(guī)劃段Sk:為了到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)Tm,飛行器完成機(jī)動(dòng)軌跡DTm規(guī)劃,規(guī)劃起始點(diǎn)為CD段規(guī)劃軌跡終點(diǎn)D,規(guī)劃起始點(diǎn)速度為vk。

4 仿真分析

本文基于CAV-H氣動(dòng)模型開展相關(guān)研究。仿真算例規(guī)劃起始點(diǎn)為再入點(diǎn),規(guī)劃結(jié)束點(diǎn)為終端點(diǎn)。再入軌跡規(guī)劃分為再入初段和平衡滑翔段兩段進(jìn)行,再入初段采用定攻角飛行,平衡滑翔段進(jìn)行多約束下機(jī)動(dòng)軌跡繞飛規(guī)劃,文中約束主要針對(duì)平衡滑翔段軌跡規(guī)劃。仿真初始參數(shù)見表1和表2,約束參數(shù)見表3所示。

表1 飛行任務(wù)參數(shù)

表2 禁飛區(qū)參數(shù)

表3 約束參數(shù)

在給定的初始條件及約束條件下進(jìn)行仿真分析,仿真分為3個(gè)算例,算例1為離線規(guī)劃(標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)零偏差),算例2和算例3為考慮飛行器飛行過程中出現(xiàn)偏差情況進(jìn)行的在線軌跡規(guī)劃,偏差取值情況見表4所示。

表4 偏差取值

軌跡規(guī)劃結(jié)果參數(shù)如表5所示,軌跡規(guī)劃參數(shù)見圖6～圖13所示。

圖6 高度-航程曲線

圖7 速度-航程曲線

圖8 攻角-航程曲線

圖9 傾側(cè)角-航程曲線

圖10 橫向位置-航程曲線

圖11 緯度-經(jīng)度曲線

圖12 駐點(diǎn)熱流-航程曲線

圖13 動(dòng)壓-航程曲線

表5 軌跡規(guī)劃結(jié)果

根據(jù)仿真分析有如下結(jié)論:

①?gòu)膱D6～圖7可知,再入點(diǎn)高度、速度和傾角偏差導(dǎo)致平衡滑翔段起始點(diǎn)高度、速度存在差異,但是通過平衡滑翔段軌跡規(guī)劃,終端點(diǎn)高度、速度均滿足要求,終端高度與設(shè)計(jì)值最大偏差約5 m、速度與設(shè)計(jì)值最大偏差0、終端位置與設(shè)計(jì)值最大偏差約1 200 m。規(guī)劃軌跡高度、速度等參數(shù)非常平滑,易于工程實(shí)現(xiàn)。

②由圖8、圖9可知,平衡滑翔段規(guī)劃攻角范圍約10°～22°、傾側(cè)角約為50°,在控制約束范圍內(nèi),規(guī)劃攻角和傾側(cè)角較為平滑,易于制導(dǎo)控制跟蹤實(shí)現(xiàn)。

③由圖10～圖13可知,平衡滑翔段規(guī)劃軌跡與禁飛區(qū)完全相切,說明本文提出的再入軌跡規(guī)劃方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)多禁飛區(qū)的規(guī)避繞飛,滿足了禁飛區(qū)繞飛要求,且規(guī)劃軌跡駐點(diǎn)熱流和動(dòng)壓均滿足約束條件要求。

④本節(jié)仿真在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)(操作系統(tǒng)為Windows 7,編譯環(huán)境為VC++6.0,處理器為Intel core i5-4200H,雙核,內(nèi)存為RAM4.0G,主頻為2.8 GHz)上進(jìn)行,仿真時(shí)間約100 ms,采用該方法無須復(fù)雜的循壞迭代,計(jì)算量小。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)多約束下的再入軌跡規(guī)劃問題,提出了一種基于準(zhǔn)平衡滑翔的再入軌跡規(guī)劃解析方法,將復(fù)雜的多約束軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為解析求解,避免了傳統(tǒng)優(yōu)化算法循環(huán)迭代計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)和無法保證一定有解等問題,易于工程實(shí)現(xiàn),極大提高了規(guī)劃速度和可靠性。通過仿真分析可知,本文提出的規(guī)劃算法運(yùn)行速度快,規(guī)劃結(jié)果平滑,規(guī)劃精度較高,規(guī)劃邏輯簡(jiǎn)單,為再入滑翔飛行器軌跡在線規(guī)劃提供了新的技術(shù)途徑。