一類含絕對值函數(shù)問題的求導策略

蔡建華

(江蘇省常州市第三中學, 213000)

高中階段含絕對值的函數(shù)問題試卷中屢見不鮮,常考查恒成立(能成立)以及取值范圍等問題.學生遇到此類問題往往感到比較棘手.其原因之一是含絕對值問題一般需要分類討論去掉絕對值符號,二是含參數(shù)問題一般需要結(jié)合參數(shù)取值范圍分類討論,而這恰恰是學生的能力薄弱之處.那么如何避免此類痛點?這是一個值得思考的問題.

例1已知f(x)=ex|x-a|在(-1,2) 單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是______.

評注本題用常規(guī)解法比較繁瑣,而采用上述方法能避免分類討論,方便了對導函數(shù)的符號判別,起到化繁為簡的效果.

例2對于任意x∈[1,3],不等式x|x-a|+2≥a(a≥1)恒成立,求a的取值范圍.

解問題等價于(x|x-a|)min≥a-2,x∈[1,3].令g(x)=x|x-a|,則

例3設函數(shù)f(x)=(x-a)|x-a|-x|x|+2a+1(a<0),若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,則a的取值范圍是______.

解本題是存在性問題,依題意,僅需f(x)min≤0,x∈[-1,1].由絕對值函數(shù)求導策略,f′(x)=2(|x-a|-|x|),即

評注該題對原函數(shù)求導后,要確定導函數(shù)f′(x)=2(|x-a|-|x|)的符號,仍需要通過絕對值函數(shù)常規(guī)處理方法,利用分類討論得出導函數(shù)圖象,確定原函數(shù)在[-1,1]的單調(diào)性.