基于非線性模型的全輪轉(zhuǎn)向重型車(chē)輛相平面特性分析

袁磊 史輝 劉洋

（北京特種車(chē)輛研究所，北京 100072）

主題詞：全輪轉(zhuǎn)向 相平面 非線性

1 前言

輪式重型車(chē)輛使用環(huán)境通常較為惡劣，低附著路面上的轉(zhuǎn)向制動(dòng)、轉(zhuǎn)向加速等極限行駛工況較為常見(jiàn)，這些工況下，車(chē)輛輪胎極易進(jìn)入非線性區(qū)域，導(dǎo)致車(chē)輛的轉(zhuǎn)向行為較難控制，容易出現(xiàn)轉(zhuǎn)向失穩(wěn)狀況。為提高車(chē)輛非線性區(qū)域的操縱穩(wěn)定性，多采用車(chē)輛縱向或橫向力的主動(dòng)控制方法改變車(chē)輛機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，包括全輪轉(zhuǎn)向控制、主動(dòng)制動(dòng)控制和橫擺穩(wěn)定性控制等。針對(duì)車(chē)輛非線性區(qū)域的操縱穩(wěn)定性控制，有別于傳統(tǒng)的線性車(chē)輛動(dòng)力學(xué)理論，車(chē)輛性能較難分析和預(yù)測(cè)，車(chē)輛穩(wěn)定性范圍的分析和界定較為困難，且國(guó)內(nèi)針對(duì)多軸車(chē)輛的該方面研究較少。因此，本文采用相平面分析方法，以某三軸重型車(chē)輛為研究對(duì)象，對(duì)其不同工況下的車(chē)輛特性進(jìn)行分析，以期為車(chē)輛的高速穩(wěn)定性控制提供支撐。

2 相平面概述

相平面是龐加萊提出的一種求解一、二階常微分方程的圖解方法，是時(shí)域分析法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用和推廣[1]。它可以不必求解非線性方程，而是通過(guò)系統(tǒng)的相軌跡分析穩(wěn)定性、平衡位置、穩(wěn)定精度以及穩(wěn)定條件對(duì)系統(tǒng)的影響。對(duì)于一階非線性系統(tǒng)，有：

式中，xi為狀態(tài)變量。

設(shè)xi為時(shí)間的函數(shù)，其初始值可表示為：

式（2）中滿(mǎn)足初始條件的解xi(t)能夠完全確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。以xi、xj（i≠j）為直角坐標(biāo)系的平面，稱(chēng)為系統(tǒng)的相平面。系統(tǒng)每個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為相點(diǎn)，該點(diǎn)在xi-xj平面上的曲線為相軌跡。軌跡的起始點(diǎn)為初始點(diǎn)(xi(0),xj(0))，系統(tǒng)的相軌跡表示系統(tǒng)在某一輸入激勵(lì)和不同初始條件下的響應(yīng)特性[2]。

相軌跡在xi-xj平面上任一時(shí)刻的斜率為：點(diǎn)(xi(t),xj(t))相軌跡的斜率為定值，通過(guò)該點(diǎn)的相軌跡不可能多于1 條，即相軌跡不會(huì)在該點(diǎn)相交。當(dāng)fi=fj=0 時(shí)，這樣的點(diǎn)稱(chēng)為相軌跡的奇點(diǎn)，也稱(chēng)為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。奇點(diǎn)處相軌跡無(wú)確定的斜率，因此，沒(méi)有軌跡通過(guò)該點(diǎn)或者不止1 條曲線通過(guò)該點(diǎn)。奇點(diǎn)根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的不同可有多種類(lèi)型。根據(jù)李雅普諾夫的一次近似判斷準(zhǔn)則[2]，在滿(mǎn)足一定條件時(shí)，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于其一次近似微分方程在奇點(diǎn)的穩(wěn)定性（穩(wěn)定、漸進(jìn)穩(wěn)定或不穩(wěn)定）。

3 全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛相平面分析模型

3.1 車(chē)輛二自由度模型

車(chē)輛動(dòng)力學(xué)控制一般分為軌跡保持與穩(wěn)定性控制2 類(lèi)任務(wù)：軌跡保持主要用質(zhì)心側(cè)偏角來(lái)描述，取決于車(chē)輪的綜合作用力；穩(wěn)定性主要用橫擺角速度來(lái)描述，取決于所有車(chē)輪力對(duì)車(chē)輛質(zhì)心的橫擺力矩。質(zhì)心側(cè)偏角與橫擺角速度之間存在一定耦合，因此，在全輪轉(zhuǎn)向基本轉(zhuǎn)向特性和控制算法的研究中，多選取這2個(gè)變量作為狀態(tài)變量，并采用含有車(chē)輛橫向和橫擺2個(gè)自由度的動(dòng)力學(xué)模型作為控制模型，如圖1所示[3]。圖1中，δi、αi分別為第i軸車(chē)輪的轉(zhuǎn)角和側(cè)偏角，li為第i軸到轉(zhuǎn)向中心的距離，β為質(zhì)心側(cè)偏角，Ψ為車(chē)輛偏航角，φ為質(zhì)心偏航角。

圖1 三軸車(chē)輛單軌動(dòng)力學(xué)模型

忽略車(chē)輛其他因素引起的耦合項(xiàng)，提取出車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角β和橫擺角速度r，設(shè)第i軸車(chē)輪的所受側(cè)向力和縱向力分別為Fyi、Fxi，則車(chē)輛動(dòng)力學(xué)微分方程為：

式中，m為整車(chē)質(zhì)量；vx為車(chē)輛縱向速度；Iz為車(chē)輛繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

3.2 UA輪胎模型

UA 輪胎模型將輪胎與地面的接觸面積假設(shè)為矩形，假設(shè)接地線長(zhǎng)度l、輪胎自由半徑r0和徑向變形ρ的關(guān)系為l=。數(shù)學(xué)模型分析中忽略輪胎側(cè)傾角對(duì)其縱向力和側(cè)向力的影響，同時(shí)忽略輪胎回正力矩和滾動(dòng)阻力矩。第i軸車(chē)輪縱向滑移率sxi和橫向滑移率syi為：

第i軸車(chē)輪縱向滑移和側(cè)偏聯(lián)合作用的合成滑移率為：

車(chē)輪與地面之間的附著系數(shù)與滑移率的關(guān)系為：

式中，μi為第i軸車(chē)輪附著系數(shù)；μmaxi、μmini分別為第i軸車(chē)輪與地面的最大、最小附著系數(shù)。

由輪胎摩擦圓特性可得第i軸輪胎與地面的縱向和側(cè)向附著系數(shù)分別為：

式中，μ為地面實(shí)際總附著系數(shù)。

UA輪胎模型根據(jù)輪胎在地面上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨滑移率的變化而發(fā)生滾動(dòng)和滑動(dòng)，定義第i軸臨界縱向滑移率為：

式中，F(xiàn)zi為第i軸垂向力；Cxi為第i軸垂向力。

第i軸臨界側(cè)向滑移率為：

式中，Cyi為第i軸側(cè)偏剛度。

第i軸無(wú)量綱臨界滑移率為：

定義輪胎與路面無(wú)量綱接觸長(zhǎng)度為lni=1-sni，不考慮輪胎回正力矩特性，可得第i軸輪胎與地面間的縱向力為：

第i軸輪胎與地面的側(cè)向力為：

4 全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛相平面特性分析

描述轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)的2 個(gè)關(guān)鍵參數(shù)為質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度。質(zhì)心側(cè)偏角反映了車(chē)輛偏離行駛方向的程度，由各軸車(chē)輪側(cè)向力共同決定，對(duì)于該三軸車(chē)輛，選取車(chē)速為72 km/h、地面附著系數(shù)為0.3，由式（4）可得不同前輪轉(zhuǎn)角條件下質(zhì)心側(cè)偏角與橫擺力矩的關(guān)系曲線如圖2所示。由圖2可知：隨質(zhì)心側(cè)偏角的增大，車(chē)輛橫擺力矩逐漸增大并最終趨于飽和；當(dāng)質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)一步增大時(shí)，車(chē)輛橫擺力矩趨于零，這主要是車(chē)輪飽和特性導(dǎo)致的。因此，質(zhì)心側(cè)偏角對(duì)于判定車(chē)輛高速操縱穩(wěn)定性具有一定意義，特別是在低附著路面高速轉(zhuǎn)向工況下。

圖2 質(zhì)心側(cè)偏角與橫擺力矩的關(guān)系

橫擺角速度反映了車(chē)輛繞自身垂直軸旋轉(zhuǎn)的程度，由各軸車(chē)輪合力對(duì)質(zhì)心的橫擺力矩決定。對(duì)于該三軸車(chē)輛，選取車(chē)速為72 km/h、地面附著系數(shù)為0.3，可作出不同前輪轉(zhuǎn)角條件下車(chē)輛穩(wěn)態(tài)橫擺角速度的變化曲線和由地面附著系數(shù)引起的橫擺角速度最大值變化曲線，如圖3所示。由圖3可知：車(chē)輛橫擺角速度隨著車(chē)速的提高而逐漸增大，當(dāng)?shù)竭_(dá)某點(diǎn)時(shí)，由于實(shí)際橫擺角速度不能超過(guò)路面附著條件，因此橫擺角速度只能沿著虛線下降。

圖3 橫擺角速度與車(chē)速的關(guān)系

綜上所述，車(chē)輛高速轉(zhuǎn)向時(shí)容易發(fā)生側(cè)滑或急轉(zhuǎn)，質(zhì)心側(cè)偏角將出現(xiàn)較為明顯的飽和，此時(shí)質(zhì)心側(cè)偏角更能反映車(chē)輛的穩(wěn)定狀態(tài)，而在車(chē)速較低時(shí)，橫擺角速度隨車(chē)速提高而逐漸增大，能夠較好地反映車(chē)輛的轉(zhuǎn)向能力。通常，車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度相互聯(lián)系、相互耦合，共同決定了車(chē)輛的偏航行駛，因此，本文利用與橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角2 個(gè)狀態(tài)變量相關(guān)的相平面來(lái)分析車(chē)輛的高速穩(wěn)定性，以找出三軸車(chē)輛高速轉(zhuǎn)向的穩(wěn)定性邊界。

車(chē)輛操縱動(dòng)力學(xué)的相平面主要包括以車(chē)輛狀態(tài)參數(shù)為坐標(biāo)的相平面和具有一定物理意義的能量相平面。在穩(wěn)定性系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，被廣泛采用的是以車(chē)輛狀態(tài)參數(shù)為坐標(biāo)的相平面，其主要有2 種，即Inagaki 提出的質(zhì)心側(cè)偏角—質(zhì)心側(cè)偏角速度相平面β-和Sacks 提出的質(zhì)心側(cè)偏角—橫擺角速度相平面β-wz[4]。針對(duì)三軸車(chē)輛，采用包含車(chē)輪非線性特性的車(chē)輛模型對(duì)其β-wz和β-相平面進(jìn)行分析。基于一定的前輪轉(zhuǎn)角δ1和車(chē)速vx，給定一組不同初始狀態(tài)的(β0,wz0)，利用數(shù)值差分方法和參數(shù)傳遞的方式可確定車(chē)輛相平面。

4.1 β-wz相平面穩(wěn)定性分析

針對(duì)原三軸雙前橋轉(zhuǎn)向基型車(chē)進(jìn)行β-wz相平面分析，以掌握車(chē)輛的相平面特性。取前輪轉(zhuǎn)角δ1=2°，車(chē)速vx分別為80 km/h 和120 km/h，地面附著系數(shù)分別為0.8和0.4 的仿真工況，設(shè)置車(chē)輛初始質(zhì)心側(cè)偏角的范圍為-0.6～0.6 rad，初始橫擺角速度范圍為-0.6～0.6 rad/s，得到三軸雙前橋轉(zhuǎn)向基型車(chē)與三軸全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛的β-wz相平面特性，如圖4、圖5所示。

圖4 三軸雙前橋轉(zhuǎn)向基型車(chē)β-wz相平面

圖5 三軸全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛β-wz相平面

由圖4和圖5可得以下結(jié)論：

a.由圖4 和圖5a 可知，第一、第三象限區(qū)域都能夠穩(wěn)定到焦點(diǎn)，而第二、第四象限部分區(qū)域出現(xiàn)了發(fā)散，即當(dāng)初始橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角同號(hào)時(shí)，車(chē)輛能夠收斂到穩(wěn)定點(diǎn)，這些區(qū)域稱(chēng)為穩(wěn)定區(qū)域，該工況下雙前橋轉(zhuǎn)向和全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛的穩(wěn)定性區(qū)域差別不大；

b.由圖4和圖5b可知，低附著路面上的相軌跡收斂區(qū)域變窄，且第一象限的穩(wěn)定區(qū)域逐漸消失，即車(chē)輛質(zhì)心側(cè)偏角與橫擺角速度同為正號(hào)時(shí)系統(tǒng)逐漸發(fā)散，此時(shí)車(chē)輛出現(xiàn)過(guò)度轉(zhuǎn)向；

c.由圖4 和圖5c、圖5d 可知，雙前橋轉(zhuǎn)向車(chē)輛難以收斂到一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，而全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛依然能夠收斂到穩(wěn)定點(diǎn)，說(shuō)明全輪轉(zhuǎn)向能夠在一定程度上提高車(chē)輛的高速穩(wěn)定性。

4.2 β-相平面穩(wěn)定性分析

由圖6和圖7可得以下結(jié)論：

a.由圖6a和圖7a可知，第二、第四象限區(qū)域都能夠穩(wěn)定到焦點(diǎn)，而第一、第三象限的部分區(qū)域出現(xiàn)了發(fā)散，即當(dāng)質(zhì)心側(cè)偏角與質(zhì)心側(cè)偏角速度異號(hào)時(shí)，車(chē)輛能夠收斂到穩(wěn)定區(qū)域；

圖6 三軸雙前橋轉(zhuǎn)向基型車(chē)β-相平面

圖7 三軸全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛β-相平面

b.由圖6b 和圖7b 可知，低附著路面上的相軌跡收斂區(qū)域變得更狹窄，且第一、第四象限的穩(wěn)定區(qū)域消失；

c.由圖6c、圖6d 和圖7c、圖7d 可知，雙前橋轉(zhuǎn)向車(chē)輛難以收斂到一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，而全輪轉(zhuǎn)向控制的車(chē)輛依然能夠收斂到穩(wěn)定點(diǎn)，說(shuō)明全輪轉(zhuǎn)向能夠提高車(chē)輛的高速穩(wěn)定性。

另外，從圖4～圖7 中還以看出：隨著車(chē)輛初始質(zhì)心側(cè)偏角絕對(duì)值的增大，車(chē)輛逐漸失穩(wěn)，駕駛員越來(lái)越難以控制車(chē)輛；路面附著系數(shù)越低，車(chē)輛對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角越敏感，車(chē)輛穩(wěn)定的最大質(zhì)心側(cè)偏角絕對(duì)值也越??；三軸車(chē)輛β-wz相平面隨車(chē)速和地面附著系數(shù)的變化較大且規(guī)則性差，較難進(jìn)行穩(wěn)定區(qū)域的界定，而相平面穩(wěn)定區(qū)域形狀變化較為固定，因此本文利用相平面進(jìn)行車(chē)輛高速穩(wěn)定性區(qū)域的劃分。

5 全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛穩(wěn)定區(qū)域影響因素分析

5.1 車(chē)速對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域的影響

選取典型地面附著系數(shù)和前輪轉(zhuǎn)角，分析車(chē)速對(duì)全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛穩(wěn)定性區(qū)域的影響。選取較低地面附著系數(shù)μ=0.4，前輪轉(zhuǎn)角δ1=0°，車(chē)輛縱向行駛速度vx分別為30 km/h、60 km/h、90 km/h和120 km/h的工況，設(shè)置車(chē)輛初始質(zhì)心側(cè)偏角的范圍為-0.6～0.6 rad，初始橫擺角速度變化范圍為-0.6～0.6 rad/s，得到三軸全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛的相平面如圖8所示。

由圖8可知：當(dāng)車(chē)速為30 km/h時(shí)，基于初始條件設(shè)置的(β0,wz0)可使車(chē)輛在整個(gè)區(qū)域內(nèi)都穩(wěn)定；車(chē)速提高后，β-的相平面收斂區(qū)域、曲線位置、形狀大致相同，這與兩軸車(chē)輛的分析結(jié)果類(lèi)似。

圖8 不同車(chē)速下三軸全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛β-相平面

5.2 前輪轉(zhuǎn)角對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域的影響

選取典型車(chē)速vx和地面附著系數(shù)μ，分析車(chē)輛不同前輪轉(zhuǎn)角δ1對(duì)全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛穩(wěn)定性區(qū)域的影響。選取車(chē)速為120 km/h，地面附著系數(shù)為0.8，前輪轉(zhuǎn)角δ1分別為0°、2°、4°和6°的工況進(jìn)行仿真分析，結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同前輪轉(zhuǎn)角下三軸全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛β-相平面

6 全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛穩(wěn)定區(qū)域確定

由前文分析可知，三軸全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛穩(wěn)定區(qū)域的截距和斜率主要受地面附著系數(shù)的影響。進(jìn)一步確定不同附著系數(shù)下相平面的穩(wěn)定性邊界，即確定邊界的斜率和截距。截距可通過(guò)非線性動(dòng)力學(xué)方程組進(jìn)行鞍點(diǎn)求解，如圖10所示；斜率可采用初始穩(wěn)定平衡相點(diǎn)分布法，通過(guò)鞍點(diǎn)相鄰穩(wěn)定初始相點(diǎn)斜率平均值進(jìn)行確定，如圖10 所示。另外，在求解過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)鞍點(diǎn)絕對(duì)值稍有差異的情況，本文采用保守方法，取絕對(duì)值較小者進(jìn)行邊界設(shè)計(jì)。

圖10 三軸全輪轉(zhuǎn)向車(chē)輛β-相平面

由圖10 可知：系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因此選取左側(cè)邊界進(jìn)行計(jì)算。設(shè)其截距為M、斜率為N，選取δ1=2°、vx=120 km/h 的工況進(jìn)行鞍點(diǎn)求解和斜率確定，可得不同地面附著系數(shù)下，穩(wěn)定性邊界的截距和斜率如表1所示。

表1 穩(wěn)定性邊界的截距和斜率

由表1 可知：當(dāng)路面附著系數(shù)從0.1 到0.9 變化時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域邊界斜率和截距的絕對(duì)值逐漸增大，意味著穩(wěn)定性區(qū)域逐漸變寬。采用最小二乘法對(duì)表1 的數(shù)據(jù)進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，可得車(chē)輛穩(wěn)定性區(qū)域的表達(dá)式為：

7 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)研究相平面三軸雙前橋轉(zhuǎn)向重型車(chē)輛和全輪轉(zhuǎn)向重型車(chē)輛高速穩(wěn)定性區(qū)域的影響因素，選取了質(zhì)心側(cè)偏角-質(zhì)心側(cè)偏角速度相平面作為其穩(wěn)定性判定的依據(jù)，并采用鞍點(diǎn)求解法構(gòu)造了穩(wěn)定性邊界，可為三軸輪式重型車(chē)輛全輪轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性系統(tǒng)提供控制依據(jù)，為車(chē)輛穩(wěn)定性分析與評(píng)價(jià)提供理論參考。后續(xù)研究將建立包含車(chē)輪旋轉(zhuǎn)自由度的動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)一步研究在驅(qū)動(dòng)或制動(dòng)等縱向力變化工況下，車(chē)輛的高速穩(wěn)定性邊界。