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    從“想不到”到“想得到”到“想得清”

    2018-01-07 01:20尉貴生
    關(guān)鍵詞:歸納高中數(shù)學(xué)分析

    尉貴生

    【摘要】文章通過對一個常見數(shù)列不等式證明過程中學(xué)生出現(xiàn)的思維障礙分析,挖掘該類問題的本質(zhì)內(nèi)涵和問題背景,從而提升問題解決過程中的思維深刻性和邏輯嚴密性.

    【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);歸納;分析

    一、想不到

    在一次學(xué)生的課外作業(yè)中,筆者布置了下面一道數(shù)列不等式的證明題:已知n∈N*,求證:1+12+13+…+1n<2n.

    由于筆者所帶的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對較好,盡管當時學(xué)生還沒有學(xué)過數(shù)學(xué)歸納法,我認為總會有部分學(xué)生能證明這個不等式.而事實上,在作業(yè)反饋時,居然沒有一位同學(xué)能正確做出解答,這是我事先“想不到”的!

    在第二天作業(yè)講評時,我給出了該不等式的證法.

    證明 由n∈N*,1n=22n<2n+n-1=2(n-n-1),

    得1+12+13+…+1n<2[(1-0)+(2-1)+(3-2)+…+(n-n-1)]=2n.

    在學(xué)生看了給出的證法之后,在感嘆放縮之精妙的同時,又給出了一聲嘆息:“想不到”!

    這兩個“想不到”引起了我的思考.一方面,我們在進行解題教學(xué)的時候,我們忽略了學(xué)生的認知構(gòu)建,忽略了學(xué)生是學(xué)習(xí)活動的主體這一基本原則.另一方面,對一些數(shù)學(xué)問題的解答,我們自己也常常憑借經(jīng)驗進行直接搬用、套用和模仿,缺少對問題本質(zhì)的深層次思考.如果按照這樣的教學(xué)模式長此以往,我們學(xué)生的思維也會變得越來越僵化,思路也會變得越來越單一,我們每個人的大腦都將變成別人思想的跑馬場,這將是教育的悲哀.

    那么,怎么樣才能讓學(xué)生從“想不到”到“想得到”呢?

    二、想得到

    事實上,從不等式的結(jié)構(gòu)形式來看,不等式左邊是一個數(shù)列的前n項和(無限的),右邊是一個給定的根式(有限的),要來比較兩者的大小,一種思路是將不等式左邊進行求和化簡,把無限項轉(zhuǎn)化為有限項,再對有限項與有限項進行比較大小,但要對不等式左邊直接進行放縮求和,思路似乎也不是很順暢,這也就陷入了“有方向但想不到”的境地.

    另一種想法是,干脆把不等式右邊的有限項轉(zhuǎn)化為無限項的和,使兩邊都擁有“一樣多”的無限項,通過比較每一項的大小來研究它們各自和的大小,由此,我們有了下面的想法.

    不妨記數(shù)列an=1n,{an}的前n項和為Sn=1+12+13+…+1n,記另一個數(shù)列為{bn},它的前n項和為Tn=2n.則當n≥2時,有bn=Tn-Tn-1=2(n-n-1),上式對n=1也適合,故bn=2(n-n-1).下面只要比較an=1n與bn=2(n-n-1)的大小即可,而bn=2(n-n-1)=2n+n-1>2n+n=1n=an,對n∈N*都成立,故Tn>Sn,即證.

    對上述證法,我們可以得出如下性質(zhì).

    性質(zhì)1 數(shù)列{an}和{bn}滿足an>bn,對n∈N*都成立,則∑nk=1ak>∑nk=1bk.

    對性質(zhì)1,我們做適當?shù)念惐?,還可得到如下結(jié)論.

    性質(zhì)2 數(shù)列{an}和{bn}滿足an>bn>0,對n∈N*都成立,則:∏nk=1ak>∏nk=1bk.

    例1 已知n∈N*,求證:2·4·6·…2n1·3·5·…(2n-1)>2n+1.

    證明 記數(shù)列an=2n2n-1,數(shù)列{bn}的前n項積記為Tn=b1·b2·…bn=2n+1,則當n≥2時,有bn=TnTn-1=2n+12n-1,上式對n=1也適合,故bn=2n+12n-1,n∈N*.由于an=2n2n-1=4n22n-1>4n2-12n-1=2n+12n-1=bn>0,故2·4·6·…2n1·3·5·…(2n-1)>31·53·…2n+12n-1=2n+1.

    三、想得清

    上面是我們通過對無限與有限的相互轉(zhuǎn)化來研究該數(shù)列不等式的證明,并且也給出了這一類不等式證明的通法,當然,這類問題我們也可用數(shù)學(xué)歸納法來嘗試,而數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是要把無限問題通過遞推轉(zhuǎn)化成有限問題來處理.

    除了對該不等式的結(jié)構(gòu)特征做分析思考之外,其實,我們還可以從“形”的角度來做進一步研究,借助“形”我們對問題本質(zhì)進行更深入的理解.

    記f(x)=1x,作出圖像如右圖所示,把區(qū)間[0,n]等分成n個小區(qū)間:[0,1],[1,2],…[n-1,n],過每一個區(qū)間右端點作x軸的垂線與f(x)=1x相交,如圖所示作出n個小矩形,記這n個小矩形的面積和為Sn,則Sn=1+12+13+…+1n.又由于f(x)=1x與x=0,x=n,y=0所圍成的曲線的面積為∫n01xdx=2x|n0=2n,由圖顯然可得Sn<∫n01xdx,即得所證不等式.

    按照上面的想法,其實,我們還可以得到下列不等關(guān)系:

    對n∈N*,有2(n+1-1)<1+12+13+…+1n<2n.

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